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2024年广东省云浮市郁南县九年级中考二模数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把你认为正确选项前的字母写在答题卷对应的位置上．
1．（2024九下·郁南模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用有理数的减法运算法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）分析求解即可.
2．（2024九下·郁南模拟）剪纸是我国民间传统艺术，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，故A、B、C错误，D正确
故答案为：D．
【分析】
本题考查的中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键，中心对称图形是：把“某个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合.
3．（2024九下·郁南模拟）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．地球与月球之间的平均距离约为384000千米．数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意可得：．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2024九下·郁南模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
移项得： 即
解得：
在数轴上表示不等式的解集如下：
故答案为：B
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求解并在数轴上画出解集即可。
5．（2024九下·郁南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2a和4不是同类项，不能合并，所以答案A错误；
B、a2×a3=a2+3=a5，所以B正确；
C、(2a)2=22×a2=4a2，所以答案C错误；
D、a3÷a3=a3-3=1，所以答案D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；用积的乘方的法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可判断X选项.
6．（2024九下·郁南模拟）光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（　　）
A．65° B．55° C．45° D．41°
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
7．（2024九下·郁南模拟）垃圾分类（），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】A
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：可回收垃圾的百分率为：1-50%-29%-1%=20%60÷20%=300（吨）
（吨）
估计全市可收集的干垃圾总量为1500吨
故答案为：．
【分析】先计算出可可回收垃圾的百分率，再根据60÷20%=300（吨）求出试点区域的垃圾总量，再乘以得到全市垃圾总量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可.
8．（2024九下·郁南模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合，，求出点D的坐标即可.
9．（2024九下·郁南模拟）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：72÷8=9，即大建从A点出发最后回到出发点时共旋转了9次，
∵每次沿直线前进均为8米，旋转角为α
∴旋转角α=360°÷9=40°.
故答案为：B.
【分析】由题意可求出大建从A点出发最后回到出发点时共旋转了9次，再根据外角和为360°及正多边形性质得α=360°÷9=40°，即可得出正确答案.
10．（2024九下·郁南模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠GFE＝50°，则∠CDE的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接AD
∵以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，
∴AD⊥BC.
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=60°.
∵∠GFE=50°，
∴∠GAC=2∠GFE=100°，
∴∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAC)=70°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】连接AD，由切线的性质可得AD⊥BC，则∠BAD=90°-∠B=60°，根据圆周角定理可得∠GAC=2∠GFE=100°，由角的和差关系可得∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可求出∠ADE的度数，然后根据∠CDE=∠ADC-∠ADE进行计算.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上．
11．（2024九下·郁南模拟）计算的结果为　 　．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
12．（2024九下·郁南模拟）下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是　 　.
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是.
故答案为：.
【分析】根据统计表提供的数据，用体重“标准”的人数除以七年级学生的总人数即可算出答案.
13．（2024九下·郁南模拟）如图，矩形的面积为18，对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，作于，
，
，
四边形是矩形， 且面积为18，
∴BC⊥CO，
，
，
，
∴
∵
双曲线在第二象限，
．
故答案为：．
【分析】先根据预备定理证明，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，再由反比例函数系数的几何意义可得答案．
14．（2024九下·郁南模拟）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸．按此规律，则第10个图中所贴剪纸“”的个数为　 　．
【答案】32
【知识点】探索规律-图形的个数规律
15．（2024九下·郁南模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：如图，
∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴点Q在以AC为直径的圆上运动，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB=4，
∴∠CAB＝60°
因此点Q运动的弧的圆心角是120°
∴ACAB＝2，
∴r=1
∴点Q的运动路径长为π
故答案为：.
【分析】先根据定角定弦型，得出点Q的运动轨迹：点Q在以AC为直径的圆上运动，根据30°所对的直角边是斜边的一半，求出半径，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出点Q运动的弧的圆心角，最后根据弧长公式，计算点Q的运动路径长.
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上．
16．（2024九下·郁南模拟）计算.
【答案】原式=4+1-2=3.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据绝对值是非负数，非零实数的零次幂等于1，负整数指数幂的运算法则计算各项的值，再计算最后的结果即可.
17．（2024九下·郁南模拟）已知，求的值.
【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式及单项式乘以多项式的法则分别计算，再合并同类项化简，最后将x的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
18．（2024九下·郁南模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式．
【答案】解：由题意知：
令y=2，
∴，
解得，
∴，
把代入反比例函数中得：
∴反比例函数解析式为：.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】先把点A的坐标代入 ，正比例函数 中，求出a的值，得出点A的坐标，再把点A代入 反比例函数 中，求出k值即可.
19．（2024九下·郁南模拟）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水面最深地方的高度为．
（1）用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；
（2）求该输水管的半径．
【答案】（1）解：如图，
如图，先作线段的垂直平分线，交圆于两点，
∴EF必过圆心
再作线段的垂直平分线，
∴MN必过圆心
∴两条线的交点即为圆心.
（2）解：如图：过点作于点，连接，
∵AB=8
∴
设
∵水面最深地方的高度为
OD=r-2
在中，
即
解得：
故该输水管的半径为．
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线EF，根据垂径定理的推论：可知EF必过圆心，同理：再作EF的垂直平分线MN，两垂直平分线的交点为圆心
（2）先根据垂径定理，得出，由题意知：水面最深地方的高度为，因此可以表示出OD=r-2，再根据勾股定理：，列出方程，解出半径r即可.
20．（2024九下·郁南模拟）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度.
【答案】解：设张老师骑自行车速度为xkm/h，则汽车速度为3xkm/h，根据题意得
解之：x=15，
经检验x=15是原方程的解.
答：张老师骑自行车速度为15km/h.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】此题的等量关系：汽车速度=自行车速度×3；汽车行驶45千米的时间+2=骑自行车行驶45千米的时间；再设未知数，列方程求出方程的解即可.
四、解答题（二）（本大题3小题，21、22小题每小题8分，23小题10分，共26分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上．
21．（2024九下·郁南模拟）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148
152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
145
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】（1）165；150
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【知识点】统计表；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）根据题干中的数据可知，165出现的次数最多，故众数a=165；将数据从小到大排列，可知排列中间的两个数分别是148，152，故中位数b=，
故答案为：165，150.
【分析】（1）利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可；
（3）根据中位数的性质求解即可。
22．（2024九下·郁南模拟）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）延长交于点，即可得哦大，在中，根据正弦定义求得长，再根据线段的和差求出OM长，比较大小解题即可．
23．（2024九下·郁南模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：
由题意知：抛物线经过点，对称轴为直线x=2∴c =0，，解得b=-1
该抛物线解析式为
（2）解：如图，过点作直线于点
∴MG∥BC
∵2-，且点M在x轴下方
点的纵坐标为
令
解得：，（舍去）
设直线的解析式为
把点M和点B(2，0)代入得：
解得：
直线的解析式为
令，解得：
当x=6时，y=3
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（）由题意知：抛物线过原点和抛物线的对称轴为直线x=2，因此可得：c =0，，解得b=-1即可（2）根据预备定理得出：，列出比例式，求出MG，从而求出点M的坐标，再利用待定系数法，过点B和点M两点，求出直线的解析式，再令，解出x，即可求出点N的坐标.
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上．
24．（2024九下·郁南模拟）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出，利用全等三角形的性质可得，从而可证出矩形是正方形；
（2）先证出四边形是矩形，再结合，，证出四边形是正方形，利用正方形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）连接AC，利用，可得，再证出，可得，再证出，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可．
25．（2024九下·郁南模拟）如图1，AB为半圆的直径，为BA延长线上一点，CD切半圆于点，交CD延长线于点，交半圆于点，已知.如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点作于点.设.
（1）求CE的长和关于的函数表达式.
（2）当，且长度分别等于，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值.
（3）延长交半圆于点，当时，求的长.
【答案】（1）解：如图1，连接OD.
∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CE，即∠ODC=90°，
∵OA=，AC=1，
∴OC=，
在Rt△OCD中，由勾股定理得CD=2，
∵BE⊥CE，OD⊥CE，
∴OD∥BE，
，即
∴CE=；
如图2，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠E=90°，
∴AF∥CE，
又∵MN∥CB，
∴四边形APMC是平行四边形，
，
∵MN∥BC，
∴△MNE∽△CBE，
∴，
∴，
；
（2）解：三边之比为3∶4∶5
可分为三种情况：
①当PH∶PN=3∶5时，PN=PH，
∴，
解得x=，
；
②当PH∶PN=4∶5时，PN=PH，
∴，
解得x=，
；
③当PH∶PN=3∶4时，PN=PH，
∴，
解得x=，
；
（3）解：如图3，连结AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，
∴，
∴∠QAB=∠BQG，
∵AH=x
∴，
解得x=
即MN的长为.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥CE，在Rt△OCD中，由勾股定理算出CD的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得OD∥BE，由平行线分线段成比例定理建立方程可求出CE的长；由直径所对的圆周角是直角得∠AFB=90°，由同位角相等，两直线平行，推出AF∥CE，进而由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形APMC是平行四边形，由平行四边形的性质、∠1的正弦函数及等角的同名三角函数值相等得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△MNE∽△CBE，进而由相似三角形对应边成比例建立方程可得y关于x的函数解析式；
（2）分类讨论：①当PH∶PN=3∶5时，PN=PH，②当PH∶PN=4∶5时，PN=PH，③当PH∶PN=3∶4时，PN=PH，分别列出方程，求解即可用含x的式子表示出a；
（3）连结AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，由平行线间的距离相等得QG=PH=x，由同角的余角相等得∠QAB=∠BQG，进而根据线段的和差用含x的式子表示出HG、AG，由等角的同名三角函数值相等得，据此表示出BG，然后根据AB=AG+BG建立方程可求出x的值，最后将x的值代入（1）所求的函数解析式算出对应的y的值，从而得出MN的长.
1 / 12024年广东省云浮市郁南县九年级中考二模数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把你认为正确选项前的字母写在答题卷对应的位置上．
1．（2024九下·郁南模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C．1 D．3
2．（2024九下·郁南模拟）剪纸是我国民间传统艺术，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·郁南模拟）2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．地球与月球之间的平均距离约为384000千米．数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·郁南模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·郁南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·郁南模拟）光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（　　）
A．65° B．55° C．45° D．41°
7．（2024九下·郁南模拟）垃圾分类（），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
8．（2024九下·郁南模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·郁南模拟）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
10．（2024九下·郁南模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠GFE＝50°，则∠CDE的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上．
11．（2024九下·郁南模拟）计算的结果为　 　．
12．（2024九下·郁南模拟）下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是　 　.
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
13．（2024九下·郁南模拟）如图，矩形的面积为18，对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为　 　．
14．（2024九下·郁南模拟）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸．按此规律，则第10个图中所贴剪纸“”的个数为　 　．
15．（2024九下·郁南模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为　 　．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上．
16．（2024九下·郁南模拟）计算.
17．（2024九下·郁南模拟）已知，求的值.
18．（2024九下·郁南模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式．
19．（2024九下·郁南模拟）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水面最深地方的高度为．
（1）用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；
（2）求该输水管的半径．
20．（2024九下·郁南模拟）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度.
四、解答题（二）（本大题3小题，21、22小题每小题8分，23小题10分，共26分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上．
21．（2024九下·郁南模拟）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148
152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
145
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
22．（2024九下·郁南模拟）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
23．（2024九下·郁南模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求点的坐标．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上．
24．（2024九下·郁南模拟）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
25．（2024九下·郁南模拟）如图1，AB为半圆的直径，为BA延长线上一点，CD切半圆于点，交CD延长线于点，交半圆于点，已知.如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点作于点.设.
（1）求CE的长和关于的函数表达式.
（2）当，且长度分别等于，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值.
（3）延长交半圆于点，当时，求的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用有理数的减法运算法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，故A、B、C错误，D正确
故答案为：D．
【分析】
本题考查的中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键，中心对称图形是：把“某个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意可得：．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
移项得： 即
解得：
在数轴上表示不等式的解集如下：
故答案为：B
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求解并在数轴上画出解集即可。
5．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2a和4不是同类项，不能合并，所以答案A错误；
B、a2×a3=a2+3=a5，所以B正确；
C、(2a)2=22×a2=4a2，所以答案C错误；
D、a3÷a3=a3-3=1，所以答案D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；用积的乘方的法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可判断X选项.
6．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
7．【答案】A
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：可回收垃圾的百分率为：1-50%-29%-1%=20%60÷20%=300（吨）
（吨）
估计全市可收集的干垃圾总量为1500吨
故答案为：．
【分析】先计算出可可回收垃圾的百分率，再根据60÷20%=300（吨）求出试点区域的垃圾总量，再乘以得到全市垃圾总量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合，，求出点D的坐标即可.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：72÷8=9，即大建从A点出发最后回到出发点时共旋转了9次，
∵每次沿直线前进均为8米，旋转角为α
∴旋转角α=360°÷9=40°.
故答案为：B.
【分析】由题意可求出大建从A点出发最后回到出发点时共旋转了9次，再根据外角和为360°及正多边形性质得α=360°÷9=40°，即可得出正确答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接AD
∵以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，
∴AD⊥BC.
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=60°.
∵∠GFE=50°，
∴∠GAC=2∠GFE=100°，
∴∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAC)=70°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】连接AD，由切线的性质可得AD⊥BC，则∠BAD=90°-∠B=60°，根据圆周角定理可得∠GAC=2∠GFE=100°，由角的和差关系可得∠DAC=∠GAC-∠BAD=40°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可求出∠ADE的度数，然后根据∠CDE=∠ADC-∠ADE进行计算.
11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是.
故答案为：.
【分析】根据统计表提供的数据，用体重“标准”的人数除以七年级学生的总人数即可算出答案.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，作于，
，
，
四边形是矩形， 且面积为18，
∴BC⊥CO，
，
，
，
∴
∵
双曲线在第二象限，
．
故答案为：．
【分析】先根据预备定理证明，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，再由反比例函数系数的几何意义可得答案．
14．【答案】32
【知识点】探索规律-图形的个数规律
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：如图，
∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴点Q在以AC为直径的圆上运动，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB=4，
∴∠CAB＝60°
因此点Q运动的弧的圆心角是120°
∴ACAB＝2，
∴r=1
∴点Q的运动路径长为π
故答案为：.
【分析】先根据定角定弦型，得出点Q的运动轨迹：点Q在以AC为直径的圆上运动，根据30°所对的直角边是斜边的一半，求出半径，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出点Q运动的弧的圆心角，最后根据弧长公式，计算点Q的运动路径长.
16．【答案】原式=4+1-2=3.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据绝对值是非负数，非零实数的零次幂等于1，负整数指数幂的运算法则计算各项的值，再计算最后的结果即可.
17．【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式及单项式乘以多项式的法则分别计算，再合并同类项化简，最后将x的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
18．【答案】解：由题意知：
令y=2，
∴，
解得，
∴，
把代入反比例函数中得：
∴反比例函数解析式为：.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】先把点A的坐标代入 ，正比例函数 中，求出a的值，得出点A的坐标，再把点A代入 反比例函数 中，求出k值即可.
19．【答案】（1）解：如图，
如图，先作线段的垂直平分线，交圆于两点，
∴EF必过圆心
再作线段的垂直平分线，
∴MN必过圆心
∴两条线的交点即为圆心.
（2）解：如图：过点作于点，连接，
∵AB=8
∴
设
∵水面最深地方的高度为
OD=r-2
在中，
即
解得：
故该输水管的半径为．
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线EF，根据垂径定理的推论：可知EF必过圆心，同理：再作EF的垂直平分线MN，两垂直平分线的交点为圆心
（2）先根据垂径定理，得出，由题意知：水面最深地方的高度为，因此可以表示出OD=r-2，再根据勾股定理：，列出方程，解出半径r即可.
20．【答案】解：设张老师骑自行车速度为xkm/h，则汽车速度为3xkm/h，根据题意得
解之：x=15，
经检验x=15是原方程的解.
答：张老师骑自行车速度为15km/h.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】此题的等量关系：汽车速度=自行车速度×3；汽车行驶45千米的时间+2=骑自行车行驶45千米的时间；再设未知数，列方程求出方程的解即可.
21．【答案】（1）165；150
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【知识点】统计表；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）根据题干中的数据可知，165出现的次数最多，故众数a=165；将数据从小到大排列，可知排列中间的两个数分别是148，152，故中位数b=，
故答案为：165，150.
【分析】（1）利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可；
（3）根据中位数的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）延长交于点，即可得哦大，在中，根据正弦定义求得长，再根据线段的和差求出OM长，比较大小解题即可．
23．【答案】（1）解：
由题意知：抛物线经过点，对称轴为直线x=2∴c =0，，解得b=-1
该抛物线解析式为
（2）解：如图，过点作直线于点
∴MG∥BC
∵2-，且点M在x轴下方
点的纵坐标为
令
解得：，（舍去）
设直线的解析式为
把点M和点B(2，0)代入得：
解得：
直线的解析式为
令，解得：
当x=6时，y=3
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（）由题意知：抛物线过原点和抛物线的对称轴为直线x=2，因此可得：c =0，，解得b=-1即可（2）根据预备定理得出：，列出比例式，求出MG，从而求出点M的坐标，再利用待定系数法，过点B和点M两点，求出直线的解析式，再令，解出x，即可求出点N的坐标.
24．【答案】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出，利用全等三角形的性质可得，从而可证出矩形是正方形；
（2）先证出四边形是矩形，再结合，，证出四边形是正方形，利用正方形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）连接AC，利用，可得，再证出，可得，再证出，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可．
25．【答案】（1）解：如图1，连接OD.
∵CD切半圆O于点D，
∴OD⊥CE，即∠ODC=90°，
∵OA=，AC=1，
∴OC=，
在Rt△OCD中，由勾股定理得CD=2，
∵BE⊥CE，OD⊥CE，
∴OD∥BE，
，即
∴CE=；
如图2，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠E=90°，
∴AF∥CE，
又∵MN∥CB，
∴四边形APMC是平行四边形，
，
∵MN∥BC，
∴△MNE∽△CBE，
∴，
∴，
；
（2）解：三边之比为3∶4∶5
可分为三种情况：
①当PH∶PN=3∶5时，PN=PH，
∴，
解得x=，
；
②当PH∶PN=4∶5时，PN=PH，
∴，
解得x=，
；
③当PH∶PN=3∶4时，PN=PH，
∴，
解得x=，
；
（3）解：如图3，连结AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，
∴，
∴∠QAB=∠BQG，
∵AH=x
∴，
解得x=
即MN的长为.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥CE，在Rt△OCD中，由勾股定理算出CD的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得OD∥BE，由平行线分线段成比例定理建立方程可求出CE的长；由直径所对的圆周角是直角得∠AFB=90°，由同位角相等，两直线平行，推出AF∥CE，进而由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形APMC是平行四边形，由平行四边形的性质、∠1的正弦函数及等角的同名三角函数值相等得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△MNE∽△CBE，进而由相似三角形对应边成比例建立方程可得y关于x的函数解析式；
（2）分类讨论：①当PH∶PN=3∶5时，PN=PH，②当PH∶PN=4∶5时，PN=PH，③当PH∶PN=3∶4时，PN=PH，分别列出方程，求解即可用含x的式子表示出a；
（3）连结AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，由平行线间的距离相等得QG=PH=x，由同角的余角相等得∠QAB=∠BQG，进而根据线段的和差用含x的式子表示出HG、AG，由等角的同名三角函数值相等得，据此表示出BG，然后根据AB=AG+BG建立方程可求出x的值，最后将x的值代入（1）所求的函数解析式算出对应的y的值，从而得出MN的长.
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