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2024年广东省广州市广东实验中学中考二模数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024九下·广州模拟）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2024九下·广州模拟）剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·广州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·广州模拟）如图是某一物体的三视图，则此三视图对应的物体是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·广州模拟）若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·广州模拟）如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2024九下·广州模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024九下·广州模拟）正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·广州模拟）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·广州模拟）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2024九下·广州模拟）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为　 　．
12．（2024九下·广州模拟）分解因式： 　 　．
13．（2024九下·广州模拟）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为　 　cm．（结果用π表示）
14．（2024九下·广州模拟）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
15．（2024九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 　 　．
16．（2024九下·广州模拟）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．
（1）　 　（填“，或”）：
（2）若，，则　 　．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024九下·广州模拟） 解二元一次方程组：
18．（2024九下·广州模拟）如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：．
19．（2024九下·广州模拟）先化简代数式，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值.
20．（2024九下·广州模拟）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如图：
（1）成绩前三名是2名男生和1名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
（2）赛前规定，成绩由高到低前的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由．
21．（2024九下·广州模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时________（填“有”或“没有”）安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
22．（2024九下·广州模拟）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
23．（2024九下·广州模拟）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
（1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的长．
24．（2024九下·广州模拟）如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连接、、、，设．
（1）的最小值是______；此时x的值是______．
（2）如图2，若的延长线交边于点，并且．
①求证：点是的中点；
②求的值．
（3）如图2，若的延长线交边于点，求线段的最小值．
25．（2024九下·广州模拟）在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为，点为轴上一点．在平面内存在点，使，且这样的点有且只有一个，则点的坐标为______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：微信零钱收入与微信零钱支出是具有相反意义的量，
收入100元，记作元，那么支出50元应记作为元，
故答案为：B．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项合题意；
D．，故本选项不合题意．
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
4．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：B、从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故不符合题意；
C、从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故不符合题意；
D、从主视图和左视图可以看出这个几何体是由上、 下两部分组成的且宽相等，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据组合体的三视图逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
∴，
不等式的解集为：，
在数轴上可表示为： ，
故答案为：B．
【分析】根据第三象限点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得
实数m的值可以是 2，
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式求得m的取值范围，结合选项即可求解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥OB，
则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
故答案为：A．
【分析】作EF⊥OB，根据勾股定理可得OE，再根据余弦定义即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 点， 在二次函数（a为常数，且）的图象上，
对称轴为
a<0，
抛物线开口向下，
2-1=1，1-（-2）=3，
点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为3，到对称轴的距离为2，
，
故答案为：C.
【分析】先求得对称的对称轴为x=1，结合抛物线的开口方向以及二次函数图象上的点坐标特征，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
过作，交于，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】 连接， 先利用“SAS”证出，再证出是等腰直角三角形， 过作，交于，再证出是等腰直角三角形， 可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，结合，求出即可.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】运用平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；可得.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r==6，
∴2πr=2π×6=12π，
故答案为12π．
【分析】设底面圆的半径为rcm，根据勾股定理可得r=6，再根据圆周长即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
．
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，由对称可知反射光线所在直线过点，设的解析式为：，根据待定系数法将点A'坐标代入解析式可得的解析式为：，再将点C坐标代入方程即可求出答案.
15．【答案】（3，2）
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【分析】利用位似图形的性质得到，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
16．【答案】；1
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）延长交于点，连接，如图：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解．
17．【答案】解：
由①得：③
将③代入②得：
解得，
将代入③得：
∴该方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法先消去y解得x的值，再代入③计算即可求解.
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】解：
，且，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将m的值代入计算即可.
20．【答案】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有4个，
∴恰好选中1男1女的概率为；
（2）某参赛选手的比赛成绩为78分，不能获奖，理由如下：
参赛选手总人数为：（人），
则成绩在“”的所占百分比为：，
∴“”和“”两分数段的百分比之和为：，
即参赛选手的比赛成绩为78分，位于成绩由高到低前之后，所以不能获奖．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好选中1男1女的结果，再由概率公式求解即可求出答案.
（2）先求出参赛选手总人数为50人，再求出”和“”两分数段的百分比之和为，即可得出结论．
21．【答案】（1）有
（2）解：在中，，，
∴（米），
∵米，
∴(米)，
即阴影的长为2.2米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过A作于F，于E，则四边形是矩形，
∴，，
在中，米，，，
∴（米），（米），
∵米，
∴（米），
∴米，，
则人进出此遮阳棚时有安全感，
故答案为：有；
【分析】（1）过A作于F，于E，根据矩形性质可得，，再根据正弦定义可得BF，AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据正切定义及特殊角的三角函数值可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵点的坐标是，点为中点，
∴，，
将绕着点逆时针旋转得到，
即，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
故将代入，求得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：作轴于，如图：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，如图：
∴
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据旋转性质可得，，则，再根据待定系数法将点C'代入反比例函数表达式即可求出答案.
（2）作轴于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，则，过作轴于，根据，结合三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：作法：1．延长；
2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、；
3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
4．作射线交的延长线于点；
5．连接交于点，
线段、、点就是所求的图形．
（2）证明：连接，则，
，
的平分线交于，
，
，
，
交的延长线于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
（3）解：作于点，则
∵是的切线．
∴
平分，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的长是5．
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可.
（2）连接，则，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）作于点，则，根据切线性质可得，作于点，交的延长线于点，根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，设，根据余弦定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
24．【答案】（1）；
（2）①证明：在正方形中，，，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
即为的中点；
②解：根据题意可得：，，，，
∴，
在中，，
即，
解得：．
（3）解：在正方形中，，，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
连接，
则是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
作的外接圆，圆心为，如图：
∵，
∴，
过点作交于点，设的半径为，
则，，，
∵，
即，
解得：，
∴，
则的最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的外接圆与外心；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）当，，三点共线时，的最小值，此时，
∵正方形的边长为，
即，
∴，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，
故，，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：；．
【分析】（1）当，，三点共线时，的最小值，此时，由勾股定理求出的值，根据对称可得，，推得，，是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值即可；
（2）①根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出，，结合对称的性质得出，，即可推得，，根据等角的余角相等得出，，根据等角对等边可得，同理可得，推得，即可证明；
②结合①得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求出的值；
（3）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得，，根据对称可得，，，推得，，根据等边对等角可得，根据等角的余角相等可得，根据等角对等边可得，连接，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可得出是的角平分线，即可求得，作的外接圆，圆心为，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点作交于点，设的半径为，根据等腰直角三角形的性质和直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，，根据三角形的两边之和大于第三边得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可求解．
25．【答案】（1）解：联立，得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
（2）解：存在，理由：
∵与相切，
联立，得，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，抛物线的表达式为：，则顶点的坐标为，
在平面内存在点，使，
即点、、在同一个上，
又∵点为轴上一点，且这样的点有且只有一个，
故点是与轴的切点，
如图：过点作轴交于点，确定的中点，连接，
∵，，
故中点的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
则点在直线上，故设点，则点，
则，
∵，，
∴，
解得：，（舍去）
故点
故答案为：．
【分析】（1）联立直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）联立直线与得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，求出切点的坐标，求出抛物线的表达式为：，联立直线与得到关于的一元二次方程，根据方程有唯一解，得出根的判别式，据此列出关于的一元二次方程，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）先求出点的坐标，判断出点是与轴的切点，过点作轴交于点，确定的中点，连接，求出的中点的坐标和点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，据此设点，则点，根据两点间的距离公式列出方程，求出的值，即可求解．
1 / 12024年广东省广州市广东实验中学中考二模数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024九下·广州模拟）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：微信零钱收入与微信零钱支出是具有相反意义的量，
收入100元，记作元，那么支出50元应记作为元，
故答案为：B．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．（2024九下·广州模拟）剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．（2024九下·广州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项合题意；
D．，故本选项不合题意．
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
4．（2024九下·广州模拟）如图是某一物体的三视图，则此三视图对应的物体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：B、从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故不符合题意；
C、从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故不符合题意；
D、从主视图和左视图可以看出这个几何体是由上、 下两部分组成的且宽相等，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据组合体的三视图逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024九下·广州模拟）若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
∴，
不等式的解集为：，
在数轴上可表示为： ，
故答案为：B．
【分析】根据第三象限点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
6．（2024九下·广州模拟）如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系即可求出答案.
7．（2024九下·广州模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得
实数m的值可以是 2，
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式求得m的取值范围，结合选项即可求解.
8．（2024九下·广州模拟）正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥OB，
则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
故答案为：A．
【分析】作EF⊥OB，根据勾股定理可得OE，再根据余弦定义即可求出答案.
9．（2024九下·广州模拟）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 点， 在二次函数（a为常数，且）的图象上，
对称轴为
a<0，
抛物线开口向下，
2-1=1，1-（-2）=3，
点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为3，到对称轴的距离为2，
，
故答案为：C.
【分析】先求得对称的对称轴为x=1，结合抛物线的开口方向以及二次函数图象上的点坐标特征，即可求解.
10．（2024九下·广州模拟）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
过作，交于，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】 连接， 先利用“SAS”证出，再证出是等腰直角三角形， 过作，交于，再证出是等腰直角三角形， 可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，结合，求出即可.
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2024九下·广州模拟）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
12．（2024九下·广州模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】运用平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；可得.
13．（2024九下·广州模拟）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为　 　cm．（结果用π表示）
【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r==6，
∴2πr=2π×6=12π，
故答案为12π．
【分析】设底面圆的半径为rcm，根据勾股定理可得r=6，再根据圆周长即可求出答案.
14．（2024九下·广州模拟）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
．
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，由对称可知反射光线所在直线过点，设的解析式为：，根据待定系数法将点A'坐标代入解析式可得的解析式为：，再将点C坐标代入方程即可求出答案.
15．（2024九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 　 　．
【答案】（3，2）
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【分析】利用位似图形的性质得到，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
16．（2024九下·广州模拟）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．
（1）　 　（填“，或”）：
（2）若，，则　 　．
【答案】；1
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）延长交于点，连接，如图：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024九下·广州模拟） 解二元一次方程组：
【答案】解：
由①得：③
将③代入②得：
解得，
将代入③得：
∴该方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法先消去y解得x的值，再代入③计算即可求解.
18．（2024九下·广州模拟）如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．（2024九下·广州模拟）先化简代数式，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值.
【答案】解：
，且，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将m的值代入计算即可.
20．（2024九下·广州模拟）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如图：
（1）成绩前三名是2名男生和1名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
（2）赛前规定，成绩由高到低前的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由．
【答案】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有4个，
∴恰好选中1男1女的概率为；
（2）某参赛选手的比赛成绩为78分，不能获奖，理由如下：
参赛选手总人数为：（人），
则成绩在“”的所占百分比为：，
∴“”和“”两分数段的百分比之和为：，
即参赛选手的比赛成绩为78分，位于成绩由高到低前之后，所以不能获奖．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好选中1男1女的结果，再由概率公式求解即可求出答案.
（2）先求出参赛选手总人数为50人，再求出”和“”两分数段的百分比之和为，即可得出结论．
21．（2024九下·广州模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时________（填“有”或“没有”）安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）有
（2）解：在中，，，
∴（米），
∵米，
∴(米)，
即阴影的长为2.2米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过A作于F，于E，则四边形是矩形，
∴，，
在中，米，，，
∴（米），（米），
∵米，
∴（米），
∴米，，
则人进出此遮阳棚时有安全感，
故答案为：有；
【分析】（1）过A作于F，于E，根据矩形性质可得，，再根据正弦定义可得BF，AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据正切定义及特殊角的三角函数值可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2024九下·广州模拟）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
【答案】（1）解：∵点的坐标是，点为中点，
∴，，
将绕着点逆时针旋转得到，
即，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
故将代入，求得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：作轴于，如图：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，如图：
∴
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据旋转性质可得，，则，再根据待定系数法将点C'代入反比例函数表达式即可求出答案.
（2）作轴于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，则，过作轴于，根据，结合三角形面积即可求出答案.
23．（2024九下·广州模拟）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
（1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：作法：1．延长；
2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、；
3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
4．作射线交的延长线于点；
5．连接交于点，
线段、、点就是所求的图形．
（2）证明：连接，则，
，
的平分线交于，
，
，
，
交的延长线于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
（3）解：作于点，则
∵是的切线．
∴
平分，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的长是5．
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可.
（2）连接，则，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）作于点，则，根据切线性质可得，作于点，交的延长线于点，根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，设，根据余弦定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
24．（2024九下·广州模拟）如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连接、、、，设．
（1）的最小值是______；此时x的值是______．
（2）如图2，若的延长线交边于点，并且．
①求证：点是的中点；
②求的值．
（3）如图2，若的延长线交边于点，求线段的最小值．
【答案】（1）；
（2）①证明：在正方形中，，，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
即为的中点；
②解：根据题意可得：，，，，
∴，
在中，，
即，
解得：．
（3）解：在正方形中，，，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
连接，
则是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
作的外接圆，圆心为，如图：
∵，
∴，
过点作交于点，设的半径为，
则，，，
∵，
即，
解得：，
∴，
则的最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的外接圆与外心；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）当，，三点共线时，的最小值，此时，
∵正方形的边长为，
即，
∴，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，，
故，，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：；．
【分析】（1）当，，三点共线时，的最小值，此时，由勾股定理求出的值，根据对称可得，，推得，，是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值即可；
（2）①根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出，，结合对称的性质得出，，即可推得，，根据等角的余角相等得出，，根据等角对等边可得，同理可得，推得，即可证明；
②结合①得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求出的值；
（3）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得，，根据对称可得，，，推得，，根据等边对等角可得，根据等角的余角相等可得，根据等角对等边可得，连接，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可得出是的角平分线，即可求得，作的外接圆，圆心为，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，过点作交于点，设的半径为，根据等腰直角三角形的性质和直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，，根据三角形的两边之和大于第三边得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可求解．
25．（2024九下·广州模拟）在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为，点为轴上一点．在平面内存在点，使，且这样的点有且只有一个，则点的坐标为______．
【答案】（1）解：联立，得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
（2）解：存在，理由：
∵与相切，
联立，得，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，抛物线的表达式为：，则顶点的坐标为，
在平面内存在点，使，
即点、、在同一个上，
又∵点为轴上一点，且这样的点有且只有一个，
故点是与轴的切点，
如图：过点作轴交于点，确定的中点，连接，
∵，，
故中点的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
则点在直线上，故设点，则点，
则，
∵，，
∴，
解得：，（舍去）
故点
故答案为：．
【分析】（1）联立直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）联立直线与得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，求出切点的坐标，求出抛物线的表达式为：，联立直线与得到关于的一元二次方程，根据方程有唯一解，得出根的判别式，据此列出关于的一元二次方程，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）先求出点的坐标，判断出点是与轴的切点，过点作轴交于点，确定的中点，连接，求出的中点的坐标和点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，据此设点，则点，根据两点间的距离公式列出方程，求出的值，即可求解．
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