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2025年甘肃省部分学校高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的焦点在圆上，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.半径为的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列说法，其中正确的有( )
A. 随机变量，若，，则
B. 随机变量，若，则
C. 一组数据的经验回归方程为，若，则
D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10.已知函数的部分图象如图，则( )
A. B.
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增
11.在数列中，，是数列的前项和，则( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为______；，是双曲线的焦点，点在双曲线上，且，则 ______．
13.在的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为：，则 ______．
14.在中，内角，，的对边分别为，，若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近年的广告费投入单位：亿元进行了统计，具体数据如下表：
年份代号
广告费投入
并随机调查了名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据如下表：
认可 不认可
岁以下
岁及以上
求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程；
依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联？
附：经验回归方程中，；
，其中．
16.本小题分
已知无穷数列满足：对于为常数．
若，，设，求数列的前项和；
若，，求证：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上．
当为上靠近点的四等分点时，求证：平面；
若直线与平面所成的角为，当为的中点时，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知点，直线：，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．
指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程．
过点的动直线交曲线于，两点，且点在第一象限，．
求的面积的最小值．
是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求的极值点；
讨论的单调性；
若函数在上恒小于，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意，得 ，
则，
则，
故广告费投入 与年份代号 之间的线性经验回归方程为；
零假设为 ：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于．
16.解：当，时，，等差数列的首项为，公差为，
所以，所以．
所以，
所以．
证明：当，时，等差数列 的首项为，公差为，
所以，所以．
因为，
当时，，
当时，，
当时，，
可得 ．
综上，．
17.解：证明：如图，连接交于点，连接，
因为，所以∽，所以，
因为为上靠近点的四等分点，
所以．
因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以为与底面所成的角，所以，
因为，所以，
由题意得，又平面，
所以，，两两垂直，
故以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
因为，
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
18.解：因为点到定点的距离与它到定直线：的距离相等，
所以点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
由题意知，抛物线开口向右，且，所以，
所以抛物线的标准方程为．
设，，
由题意知，直线的倾斜角不为，
设直线的方程为，
由
消去，化简得，
因为，
所以，，
所以，
如图，因为，
当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值是．
假设存在直线：满足题意，
设以为直径的圆为圆，则，
如图，过点作，垂足为．
设圆与直线的一个交点为，连接，
则，
又，
所以
，
当时，，
此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值，
因此存在直线：满足题意．
19.解：当时，，定义域为．
，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
在时取得极大值，无极小值．
所以的极大值点是，无极小值点．
，则，，
当时，，
，，函数单调递增，
，函数单调递减．
当时，恒成立，函数单调递减．
综上：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
函数在上恒小于，等价于．
由知，当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意；
当时，若，即，函数在上单调递减，
故，成立，故符合题意；
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，解得，故；
若，即，函数在上单调递增，
故，解得，故无解．
综上所述：．
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