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2023-2024学年福建省龙岩高级中学八年级（下）期中数学试卷
一、单选题（共40分，每小题4分）
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．＝3 B． +＝ C．＝ D．（）2＝2
4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠C＝∠A+∠B B．∠A＝35°，∠B＝65°
C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝3，b＝4，c＝5
5．（4分）在 ABCD中，已知∠A+∠C＝150°，则∠B的度数为（　　）
A．75° B．105° C．115° D．150°
6．（4分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是正方形
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．3 B． C．3 D．
8．（4分）四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线AC＝BD，则四边形EFGH是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
9．（4分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．（4分）如图，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F，若ED＝2AE，△AOE的面积为2，则四边形ABFO的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（共24分，每小题4分）
11．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．（4分）线段AC、BD为菱形ABCD的对角线，若AC＝8，BD＝6，则菱形的面积等于 　 　 ．
13．（4分）如图，以正方形ABCD的边AB为边作等边△ABE，连接DE，则∠AED的度数为　 　 ．
14．（4分）如图，点A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为 　 　 ．
15．（4分）如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 　 　 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，GF的长是 　 　 ．
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，点E，F在平行四边形ABCD的对角线BD上，BE＝DF，求证：四边形AECF为平行四边形．
20．如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以AC为对角线的四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
21．如图，一张三角形纸片ABC，已知，AB＝10，AC＝8，BC＝6，将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点E．
（1）求△ABC的面积．
（2）求折痕DE的长．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是10．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CM∥AB，CM与∠BAC的角平分线相交于M，AM与BC相交于N，且AN＝BN，点D为边AB的中点，连接DM．
（1）求∠B的度数；
（2）判断并证明四边形ADMC的形状．
24．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，
（1）如图△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
25．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）【性质探究】如图1，在垂美四边形ABCD中，证明：AB2+CD2＝BC2+AD2．
（3）【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10，求GE长．
2023-2024学年福建省龙岩高级中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B B D B A C C
一、单选题（共40分，每小题4分）
1．【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、＝，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
2．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝BC＝4．
故选：B．
3．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项不符合题意；
B、与不能合并，所以B选项不符合题意；
C、为最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D、原式＝2，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．【解答】解：∵∠C＝∠A+∠B，∠C+∠A+∠B＝180°，
∴∠C＝90°，故选项A不符合题意；
∵∠A＝35°，∠B＝65°，
∴∠C＝80°，故选项B符合题意；
∵（b+c）（b﹣c）＝a2，
∴b2﹣c2＝a2，
∴a2+c2＝b2，故选项C不符合题意；
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：在 ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝150°，
∴∠A＝∠C＝75°，
∴∠B＝180°﹣75°＝105°，
故选：B．
6．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
8．【解答】解：如图：，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EF＝AC，GHAC，
∴EF∥HG，EF＝GH，
∴EFGH是平行四边形．
同理FG＝AC．
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴EFGH是菱形，
故选：A．
9．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C＝6+10，
∴S正方形C＝8．
故选：C．
10．【解答】解：如图，连接AF，DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△CFO（AAS），
∴S△AOE＝S△COF＝2，OE＝OF，
∴S△AOE＝S△AOF＝2，
∵ED＝2AE，
∴S△DEF＝2S△AEF＝2（S△AEO+S△AOF）＝8，
设平行四边形AD边上的高为h，
∴S四边形ABCD＝AD h，S，
∴SS四边形ABCD＝S△AEF+S△DEF＝12，
∴S四边形ABFO＝S△ABC﹣S△COF＝10，
故选：C．
二、填空题（共24分，每小题4分）
11．【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．【解答】解：∵线段AC、BD为菱形ABCD的对角线，AC＝8，BD＝6，
∴；
故答案为：24．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：15°．
14．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝5，OA＝4．
在Rt△ABO中，OB＝＝3．
∴B（0，3）．
故答案为：（0，3）．
15．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，
∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝4，
在Rt△BCF中，FM＝BC＝4，
又∵EF＝5，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝4+4+5＝13．
16．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2，
∵点G是边CD的中点，
∴，
∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF＝BA＝2，
∴点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共86分）
17．【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
18．【解答】解：原式＝，
当时，
原式＝．
19．【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
20．【解答】解：如图，以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD，
则AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
即平行四边形ABCD为所求．
21．【解答】解：（1）∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝AC BC＝×8×6＝24；
（2）连接BD，设CD＝x，
∵△ADE≌△BDE，
∴AE＝BE＝5，AD＝BD，
设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，
BD2＝CD2+BC2，即（8﹣x）2＝x2+36，
解得，DC＝，AD＝BD＝8﹣＝，
同理，在Rt△BDE中，
DE＝＝＝．
22．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，正方形ABCD即为所求．
23．【解答】解：（1）∵AN＝BN，
∴∠B＝∠BAN，
∵A M平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠CAN，
∴∠B＝∠BAN＝CAN，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠B+∠BAN+CAN＝3∠B＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）四边形ADMC是菱形，理由如下：
∵CM∥AB，
∴∠AMC＝∠BAN，
∵∠BAN＝∠CAN，
∴∠AMC＝∠CAN，
∴AC＝CM，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，
∴AD＝AC＝CM，
又∵AD∥CM，
∴四边形ADMC是平行四边形，
∵AD＝AC，
∴四边形ADMC是菱形．
24．【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝1，
由勾股定理得，AD＝＝2，
∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC＝＝3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（2）2，
解得，BC＝4，
综上所述，BC＝3或BC＝4．
25．【解答】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形；
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）解：设CE交AB于点M，交BG于点N，如图3，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得 CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝8，AB＝10，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：CG＝＝＝，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝10，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝292，
∴．

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