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江苏省无锡市新吴区梅村高级中学2024-2025学年高一下学期三月阶段测数学试题（春卷）
一、单选题
1．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
2．设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则（ ）
A．9 B．18 C．6 D．12
4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
5．已知，，，则的最小值为 （ ）
A． B． C．2 D．4
6．已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．黄鹤楼地处蛇山之 濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶 楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
二、多选题
9．已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数，则复数z的虚部等于
C．若复数为纯虚数，则
D．若，则
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D．若点为的重心，则
11．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则下列选项正确的是（ ）
A．外接圆的半径为 B．面积的最大值为
C．的最大值为2 D．的最小值为32
三、填空题
12．已知平面向量满足，则与夹角的大小为 .
13．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为 ．
14．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知复数
(1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；
(2)若复数满足，求．
16．已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
17．记的内角，，的对边分别，，，已知．
(1)求；
(2)设是边中点，若，求．
18．如图，中，，，，是的中点，延长交于点.

(1)用，表示；
(2)设，求的值；
(3)若，，求面积的最大值.
19．我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．

(1)证明：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D A D A B CD BCD
题号 11
答案 ABC
12．
13．2
14．
15．（1）
，所以，
（2）由可得
故
16．（1）由可得，则，
于是，
；
（2）由，可得，解得，
则，于是，
设与的夹角为，则，
因，故，即与的夹角为；
（3）由与的夹角是钝角，可得，
解得且，故实数k的取值范围是.
17．（1）在中，由正弦定理及，
得，又，
则，而，
化简得，即，而，因此，
所以.
（2）在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是边中点，得，
则，因此，
在中，由正弦定理，得.
18．（1）由点是的中点，
得.
（2）设，，，，
则，①
又
，②
所以对比①②得，得，
所以；
（3）由（2）得，即，

因为，，
所以
，
即，当且仅当，即时等号成立，
此时面积最大，为.
19．（1）证明：因为，两分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，
所以
，
即，
（2）因为向量的“@未来坐标”分别为，
所以
，
令，则，
因为，所以，即，
令（），
因为对称轴为，函数图象开口向上，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的最小值为，最大值为.

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