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2025年普通高等学校招生全国统一考试
(第二次模拟考试)
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.C8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9.ABD 10.BD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.-7
13.8014.25
5
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.解：（迪会-品3，得正-成=3(a+a）,又01+.0，所以a4-a.=3
又a1=3,所以数列{αn}是以3为首项，以3为公差的等差数列.…5分
(2)由(1得6，=3，于是6=写4
假设存在正整数t,m,使得b1,b2,bn(m>2)成等比数列，则b,bn=b2,
即23x3m
3子×3=(6，
即(G+沿m+巧-6整理得m=4+吕
9m
36
因为t,m均为正整数且m>2,
所以m=4+的正整数解为：=1，或=2，
或=3，
1m=16,m=10,lm=8,
或或6，或[
1m=6,1m=5,
所以存在正整数t,m,使得b1,b2,bn(m>2)成等比数列.
13分
16.解：(1)因为AB∥DC,且CDd平面ABFE,ABC平面ABFE,
所以CD∥平面ABFE.
又因为CDC平面SCD,平面SCD∩平面ABEF=EF
所以DC∥EF.…
4分
(2)取AB的中点P,连接CP,则DC=AP,又DC∥AP,所以四边形APCD为平行四边形
因为AD⊥平面SCD,CDC平面SCD,所以AD⊥DC,故四边形
木Z
APCD为矩形.
在Rt△CPB中，CB2=CP2+PB2=16+9=25,又SD2=BC2=25,
所以在△SCD中，SD2=DC2+SC2,所以SC⊥CD.
因为AD⊥平面SCD,SCC平面SCD,所以AD⊥SC,
又因为AD,DCC平面ABCD,且ADODC=D,
所以SC⊥平面ABCD,
以CD为x轴，CP为y轴，CS为z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系C-yz.
一1-
则C(00,0),D(3,0,0),A(3,40),B(-34,0),S(00,4),E(20,2).
i=(34,-2),Di=(0,4,0),=(-60,0),D=(-3,0,4),
E·元1=0，
设平面DAE的法向量为元=(x1,y1,名)，则
DA.元=0，
即层+4%-2=0，可取-40.3》
4y1=0,
E·=0,
设平面ABE的法向量为元=(x2,y2,2),则
A8.元=0，
即+42-2=0，可取元=(0,1,2
(-6x1=0,
设二面角D-AE-B的大小为0(0<0<π)，
则1cos01=1co8<元，元>1=l·元-6-65
1元112155-25
sin6=√-cos2a=49
25
…10分
(3)设D成=xD,A∈(0,1)，则A应=D成-D=(-3A,0,4)-(0,4,0)=(-31,-4,4),
设平面ABE的法向量为元=(，y,),
则
花.元=0即-34+4=0可取所=(0，A,).
a店.元=0,1-6x,=0,
因为DA=(0,4,0),S2=(-3,4,-4),
所以d1=
成：.4=感：1-441义
1元1√2+11元1√2+1√2+1
故4,4，=16A(1-A2
λ2+11
设A)16》Ae0..则)-7n1-2A-A.
令h'()=0,得2+2入-1=0，解得1=-1-2（舍去），2=-1+2，
故入e(0,-1+2)时，h'()>0,入∈(-1+√2,1)时，h'()<0,
所以h(A)≤h(-1+2)=8(2-1),
故d1d2的最大值为8（万-1）.…
…15分
17.解：(1)当a=1时f(x)=xe-(x+1)2+6,f(x)=(x+1)e2-2(x+1),
f(0)=-1,f(0)=5,故曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x+5.…
…6分
(2)f(x)=(x+1)(ae-2)(x>0),
①当a≤0时，ae-2<0,因为x+1>0,所以f(x)<0,此时f(x)在(0，+∞)无最小值；
②当a>0时，
一2—

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