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江苏省苏州市昆山八校联考2024--2025学年下学期九年级数学中考零模试卷（2025.4）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（）
A．0 B．－1 C． D．
2．根据公布数据显示，2019年苏州市户籍人口约7 220 000人．数据“7 220 000”用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是【 】
A．3a+2a=5a2
B．（2a）3=6a3
C．（x+1）2=x2+1
D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
4．一个多边形的每个内角均为108 ，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
5．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜ B．m＞ C．m＜且m≠0 D．m＞且m≠0
6．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A．， B．， C．， D．，
7．如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（ ）
A． B． C．20 D．24
8．如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1< x2，且x1+ x2>2，则y1> y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
二、填空题
9．的相反数是 ．
10．若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
11．分解因式： ．
12．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是
13．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为 °．
14．若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是 ．
15．如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ．
16．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
19．解不等式组，并写出它的整数解．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
22．数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
活动课题 遮阳篷前挡板的设计
问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长．
测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可．
解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度．
运算过程 ．．．．．．．．
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，
23．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；
(3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
25．某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)每件文创用品的利润为 元/件，每天销售数量y＝ 件（不要求写自变量的取值范围）；
(2)设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？
(3)营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
26．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接，当时，求点E的坐标；
(3)在(2)的条件下，在y轴上任取一点，过P，A，B三点作新抛物线．
①当新抛物线顶点在线段上时，求m的值．
②当新抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
27．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
①求证：；
②推断：的值为　 　；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．
《江苏省苏州市昆山八校联考2024--2025学年下学期九年级数学中考零模试卷（2025.4）》参考答案
1．C
A、0是整数，是有理数，选项错误；
B、-1是整数，是有理数，选项错误；
C、是无理数，选项正确；
D、是分数，是有理数，选项错误．
故选C．
2．A
解：7 220 000=7.22×106．
故选A．
3．D
A、3a+2a=5a，故本选项错误；B、（2a）3=8a3，故本选项错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；D、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故本选项正确．故选D．
4．C
因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360
÷72=5（边）.
5．A
解：整理得
∵有两个不相等的实数根
∴==4-12m＞0
解得m＜．
故选A．
6．D
∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则 = =2，
解得：b= 4，
∴x2+bx=5即为x2 4x 5=0，
则(x 5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2= 1.
故选D.
7．C
解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为；
故选C．
8．C
解析：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x=-=1，当a=-1时有=1，解得b=3，故本选项错误；
③∵x1+x2＞2，
∴＞1，
又∵x1-1＜1＜x2-1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；
则DE=；D′E′=；
∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
9．
解析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是
10．
，
∴．
故答案为
11．
解：
故答案为：
12．2018
解：∵a是方程x2＋x－1＝0的一个根，
∴a2＋a－1＝0，即a2＋a＝1，
∴－2a2－2a＋2020＝－2（a2＋a）＋2020＝－2×1＋2020＝2018．
故答案为：2018．
13．80
解：∵DE∥AF，
∴∠BED＝∠BFA，
又∵∠CAF＝20°，∠C＝60°，
∴∠BFA＝20°＋60°＝80°，
∴∠BED＝80°，
故答案为80．
14．
，
去分母，得，
解得．
∵原方程有增根，
∴，
即，
∴，
解得．
故答案为：．
15．
解：设，
轴，垂足为，，
，
点，在双曲线上，
，
，
的面积为，面积为，
，
解得，
故答案为：．
16．
解：过点作于点，连接，如图所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即在点的运动过程中，的大小不变且等于，
当时，最小，
设此时，
，
，
，
，
，
代入，解得，
，
，
，
，
故答案为：
17．0
解：∵，，，
∴
．
18．
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
19．；整数解为
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∴整数解为．
20．，
解：
，
将代入原式得．
21．（1）见解析；（2）3
（1）四边形是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中
即
解得：
22．（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为．
解：（1）如图，作于，
，．
在中，，即，
，
答：遮阳篷前端到墙面的距离约为；
（2）解：如图，作于，于，延长交于，则，
四边形、四边形是矩形，
由（1）得，
，
在中，，即，
，
由题意得：，
，
在中，，即，
，
，
答：挡沿部分的长约为．
23．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
24．(1)③
(2)
(3)
（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案为③；
（2）解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
令，则有，
∴，，
∴；
（3）解：由可得：，
∴，
令，则有：
．
25．(1)，
(2)55元；1250元
(3)方案A；理由见解析
（1）解：∵销售单价x元/件，进价为每件28元，销售一件需缴纳网络平台管理费2元，
∴每件文创用品的利润为：元；
∵每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，
∴设y与x的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
，
，
∵，
∴当时，W最大，最大值为1250，
∴销售单价为55元时，每天获利最大，最大利润是1250元；
（3）解：方案A的最大利润更高．理由如下：
方案A：，
由（2）可知，当时，W取得最大值，最大值（元）；
方案B：由题意知：，
解得，
由（2）知，当时，W最大，最大值为（元），
∵，
∴方案A的最大利润更高．
26．(1)
(2)
(3)①；②或或
（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：过点E作轴于点H，由抛物线的表达式知，点，则点，
则，
则，
则，
则点；
（3）解：①令，则或3，
则点A、B的坐标分别为：、，则抛物线的对称轴为直线，
由点D、E的坐标得，设直线的表达式为：，则，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，，
则顶点的坐标为：；
设新抛物线的表达式为：，
把代入上式得：，
解得：，
当时，，
即；
②根据图象知，当或时，新抛物线与线段只有一个公共点；
设新抛物线的表达式为：．
将点A、P的坐标代入抛物线表达式得：，
即，，
则新抛物线的表达式为：，
联立上式和并整理得：，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
综上，m的取值范围为：或或．
27．（1）①证明见解析；②解：结论：．理由见解析；（2）结论：．理由见解析；（3）．
（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴≌，
∴．
②解：结论：．
理由：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为1．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，作于．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴∽，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
（3）解：如图2﹣1中，作交的延长线于．
∵，，
∴，
∴，
∴可以假设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴或﹣1（舍弃），
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴∽，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．

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