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第十章 二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
（第2课时）
经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或______时，把这两个方程的两边分别相____或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称加减法．
2.加减消元法的依据是_______________.
相等
加
加减
等式的性质
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能用加减法解方程组吗？
例1：用加减法解方程组：
分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元．观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了．
①×2
②+
解：①×2，得
②＋③，得
＝2
把＝2代入①，得
3×2－2＝4
＝1
所以这个方程组的解是
→ 加减
→ 代入
→ 求解
→ 写解
→ 变形
注意：检验方程组的解
基本思想 → 消元
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
1.变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
2.加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
3.代入：把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中；
4.求解：求出另一个未知数的值；
5.写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起．
注意：检验方程组的解
例2： 我国古代数学著作 《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？
分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据
5头牛、2只羊，共值金10两
2头牛、5只羊，共值金8两
可列得方程组．
解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两． 根据问题中的相等关系，列得方程组
①×2，得
③
②×5，得
④
④－③，得
利用等式的性质对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等，就可以用加减法求解了．
把代入①，得
所以这个方程组的解是
答：每头牛和每只羊分别值金两和两.
如果用加减法消去 y，应该怎样解？解得的 结果一样吗？ 1
运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路
1.找出相等关系并设出未知数；
2.根据相等关系列出二元一次方程组；
3.解二元一次方程组并检验作答。
【知识技能类练习】必做题：
1．解方程组时，经过下列步骤，能消去未知数y的是（　　）
A．①－②×3 B．①＋②×3 C．①＋②×2 D．①－②×2
C
【知识技能类练习】必做题：
2．用加减法解方程组下列解法正确的是（ ）
A．，消去x．
B．，消去y
C．，消去x．
D．，消去y
D
【知识技能类练习】必做题：
3．用加减法解下列方程组：
（1） （2）
解:（1）②×2，得
6x－2y＝2③
①＋③，得7x＝7，
x＝1
把x＝1代入①，得
1＋2y＝5
y＝2
所以这个方程组的解为
（2）①×2，得18x＋4y＝30③
③－②，得15x＝20
x＝
把x＝代入②，得3×＋4y＝10
y＝
所以这个方程组的解为
【知识技能类练习】选做题：
4．若方程组的解是则方程组的解是________．
【综合拓展类练习】
5．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
解：（1）设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务，
解得：
答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；
（2）（元）
答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
【综合拓展类练习】
5．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
解二元一次方程组
运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路
用加减法解较复杂的二元一次方程组
找出相等关系并设出未知数
解二元一次方程组并检验作答
根据相等关系列出二元一次方程组
【知识技能类作业】必做题：
1．用加减法解方程组时，最简捷的方法是（　　）
A．②×2＋①，消去y B．②×2－①，消去y
C．①×4－②×3，消去x D．①×4＋②×3，消去x
B
【知识技能类作业】必做题：
2．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将
B．要消去x，可以将
C．要消去y，可以将
D．要消去x，可以将
A
【知识技能类作业】必做题：
3．解下列二元一次方程组：
(1) （2）
解：（1）由①②得
将代入①得
所以这个方程组的解是
（2）将原方程组整理，得
①－②，得4y＝－12
y＝－3
把y＝－3代入①，得3x＋3＝8
y＝
所以这个方程组的解为
【知识技能类作业】选做题：
4．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件需要的时间均是固定的．现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55 min，加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85 min．则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________min．
40
【综合拓展类作业】
5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由，得
，即
．③
，得
．④
，得，
从而可得．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
解：，得
，即
．③
，得
．
把代入，得
．
所以原方程组的解为中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 10.2.2 加减消元法（第2课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
重点 体会消元思想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
难点 体会消元思想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或______时，把这两个方程的两边分别相____或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称加减法． 2.加减消元法的依据是_______________.
新知探究 本节课来研究： 本节我们用加减消元法解较复杂的二元一次方程组。 例1：用加减法解方程组： 分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元．观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×___可以使两个方程中y的系数互为_________，就可以用加减法求解了． 解： 归纳：用加减法解二元一次方程组的一般步骤： 1.变形：使两个方程中某一个未知数的系数_____或互为相反数； 2.加减：将两个二元一次方程用相____或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 3.代入：把求得的未知数的值代入方程组中比较______的方程中； 4.求解：求出另一个未知数的_____； 5.写解：将两个未知数的值用“______”联立在一起． 注意：____方程组的解 例2：我国古代数学著作 《九章算术》中记载了这样一道题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？ 分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据 5头牛、2只羊，共值金____两 ___头牛、____只羊，共值金8两 可列得方程组． 解： 试一试：如果用加减法消去 y，应该怎样解？解得的 结果一样吗？ 归纳：运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路 1.找出_____关系并设出未知数； 2.根据相等关系列出______________； 3.解二元一次方程组并______作答。
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．解方程组时，经过下列步骤，能消去未知数y的是（　　） A．①－②×3 B．①＋②×3 C．①＋②×2 D．①－②×2 2．用加减法解方程组下列解法正确的是（ ） A．，消去x． B．，消去y C．，消去x． D．，消去y 3．用加减法解下列方程组： （1） （2） 选做题： 4．若方程组的解是则方程组的解是________． 【综合拓展类练习】 5．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务． （1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？ （2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用加减法解方程组时，最简捷的方法是（　　） A．②×2＋①，消去y B．②×2－①，消去y C．①×4－②×3，消去x D．①×4＋②×3，消去x 2．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 3．解下列二元一次方程组： (1) （2） 选做题： 4．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件需要的时间均是固定的．现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55 min，加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85 min．则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________min． 【综合拓展类作业】 5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得 ，即 ．③ ，得 ．④ ，得， 从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组：
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分课时教学设计
第五课时《10.2.2 加减消元法（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是通过；加减消元法解较复杂的二元一次方程组，并尝试运用方程组解决实际问题。当方程组的两个方程中的未知数的系数不相等或不互为相反数时，可通过将方程变形，使其中的一个未知数的系数互为相反数或相同，就可以将两个方程两边分别相加或相减，来消去一个未知数。这种方法通过一系列明确的步骤来实现消元，进而求出二元一次方程组的解，体现了程序化的思想，有利于培养学生的运算能力。
学习者分析 在上节课的学习中，学生已掌握了运用加减消元法解方程组中一个未知数系数互为相反数或相同的二元一次方程组，能够利用化归思想解决实际问题，这些知识和能力的储备，为本节课的开展做好了准备。同时，七年级学生的抽象思维能力和逻辑思维能力较差，这也导致在课堂教学中，显得枯燥、乏味，加上部分学生的运算能力不强，使得本课内容的教学难度增大，因此，教学中要紧密联系学生已有知识，创设适宜的问题情境，提高学生的学习兴趣。
教学目标 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
教学重点 体会消元思想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
教学难点 体会消元思想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 经历具体问题解决的过程，感悟消元想想，会用加减法解较复杂的二元一次方程组。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或______时，把这两个方程的两边分别相____或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作______消元法，简称加减法． 2.加减消元法的依据是_______________. 预设：1.相等，加，加减 2,等式的性质 引言：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能用加减法解方程组吗？学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习加减消元法的相关知识，为进一步探究当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时如何用加减法解方程组作好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 例1：用加减法解方程组： 分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元．观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了． 解：①×2，得 ②＋③，得 ＝2 把＝2代入①，得 3×2－2＝4 ＝1 所以这个方程组的解是 归纳：用加减法解二元一次方程组的一般步骤： 1.变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数； 2.加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 3.代入：把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中； 4.求解：求出另一个未知数的值； 5.写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起． 注意：检验方程组的解 例2： 我国古代数学著作 《九章算术》中记载了这样一道题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？ 分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据 5头牛、2只羊，共值金10两 2头牛、5只羊，共值金8两 可列得方程组． 解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两． 根据问题中的相等关系，列得方程组 ①×2，得 ③ ②×5，得 ④ （利用等式的性质对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等，就可以用加减法求解了．） ④－③，得 把代入①，得 所以这个方程组的解是 答：每头牛和每只羊分别值金两和两. 追问：如果用加减法消去 y，应该怎样解？解得的 结果一样吗？ 归纳：运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路 1.找出相等关系并设出未知数； 2.根据相等关系列出二元一次方程组； 3.解二元一次方程组并检验作答。学生活动3： 学生合作探究后，班内汇报交流，并认真听老师或同学的点评活动意图说明： 通过梳理加减法解方程组的解法过程，让学生体会解较复杂的二元一次方程的思想和方法，加减法的关键是二元一次方程变形，让学生在解决问题的过程中，总结归纳出解题的一般步骤和解题技巧，并尝试运用二元一次方程组解决实际问题，体会运用方程组解决实际问题的基本思路。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.2.2 加减消元法（第2课时） 一、用加减法解较复杂的二元一次方程组 二、运用二元一次方程组解决简单实际问题的思路 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．解方程组时，经过下列步骤，能消去未知数y的是（　　） A．①－②×3 B．①＋②×3 C．①＋②×2 D．①－②×2 答案：C 2．用加减法解方程组下列解法正确的是（ ） A．，消去x． B．，消去y C．，消去x． D．，消去y 答案：D 3．用加减法解下列方程组： （1） （2） 解：（1）②×2，得 6x－2y＝2③ ①＋③，得7x＝7， x＝1 把x＝1代入①，得 1＋2y＝5 y＝2 所以这个方程组的解为 （2）①×2，得18x＋4y＝30③ ③－②，得15x＝20 x＝ 把x＝代入②，得3×＋4y＝10 y＝ 所以这个方程组的解为 选做题： 4．若方程组的解是则方程组的解是________． 答案： 【综合拓展类练习】 5．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务． （1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？ （2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？ 解：（1）设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务， 解得： 答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务； （2）（元） 答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用加减法解方程组时，最简捷的方法是（　　） A．②×2＋①，消去y B．②×2－①，消去y C．①×4－②×3，消去x D．①×4＋②×3，消去x 答案：B 2．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 答案：A 3．解下列二元一次方程组： (1) （2） 解：（1）由①②得 将代入①得 所以这个方程组的解是 （2）将原方程组整理，得 ①－②，得4y＝－12 y＝－3 把y＝－3代入①，得3x＋3＝8 y＝ 所以这个方程组的解为 选做题： 4．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件需要的时间均是固定的．现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55 min，加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85 min．则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________min． 答案：40 【综合拓展类作业】 5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得 ，即 ．③ ，得 ．④ ，得， 从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 解：，得 ，即 ．③ ，得 ． 把代入，得 ． 所以原方程组的解为
教学反思 本课《消元——解二元一次方程组》的第四课时，这堂课的内容是运用加减法解较复杂的二元一次方程组，学生已具备解方程组中一个未知数的系数互为相反数或相同的二元一次方程组的方法，在此基础上引导学生继续运用转化的思想将借助等式的性质将方程组中一个未知数的系数转化为互为相反数或相同的形式，从面利用加减法来解较复杂的方程组，让学生在数学学习和研究中的继续体会“化未知为已知”的化归思想和程序化思想，并运用方程组解决实际问题，提高了解决问题的能力。
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