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2024-2025学年辽宁省名校联盟高一下学期4月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为( )
A. B. C. D.
2.下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
5.的定义域为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是( )
A. 是第四象限角 B.
C. D.
8.已知为的外接圆圆心，若，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意向量，，，下列关系式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.对于函数，下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递减
C. 函数图象的一条对称轴是直线
D. 函数在上有个零点
11.函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有( )
A. B. 的面积为
C. D. 是的图象的一个对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知，若，，则的值是 ．
14.已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平行四边形中，，，，求：
的值；
．
16.本小题分
已知，对任意都有．
求的值；
若当时，方程有唯一实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知向量，，且与的夹角为．
求；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
某游乐场内有一直径为的摩天轮，已知轴心到地面的高度为开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要．
一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求转动一周过程中，关于的函数解析式；
当时，求此游客距离地面的高度；
在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于的时间有多长？
19.本小题分
设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
已知向量，满足，，，求的值；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：

易知，
．
由已知可得，
所以，．
在中，有，，，
由余弦定理及其推论可得．

16.解：由已知可得，是函数的一个对称轴．
根据正弦函数的对称性可知，．
又，
所以，．
当时，，
方程有唯一实根，可转化为与的图象有唯一交点．
令，
作出函数的图象如下图
有图象可知，当或，
即或时，函数与的图象有唯一交点，
即方程有唯一实根．

17.解：向量，可得，且，
因为与的角为，可得，
解得，所以，
则，
所以．
由向量，
可得，
由，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以实数的取值范围为．

18.解：设，
由题意知：，，
故，
，，可取，
，
故解析式为，．
，
所以当时，求此游客距离地面的高度为．
由题得，，即，
解得，
所以此游客距离地面高度不少于的时间有．

19.解：由已知可得，．
又，，
则．
又，所以，
所以，．
由已知可得，，，
所以有，，，
则．
又，
所以，
所以，．
由已知可得，
所以，，则，．
又，
所以，．
因为，所以．
令，则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以，的最小值为，
所以的最小值为．

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