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2025年河南省驻马店市新蔡县明英中学高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.集合，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.设、为两个平面，、为两条直线，且下述四个命题：
若，则或
若，则或
若且，则
若与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是( )
A. B. C. D.
5.设函数已知，，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，是函数的图象上两个不同的点，则( )
A. B.
C. D.
8.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，则( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量所有可能的取值为，，，，且，，定义的信息熵( )
A. 若，则
B. 若，则随着的增大而增大
C. 若，则随着的增大而增大
D. 若，随机变量所有可能的取值为，，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称若，则的最大值为______．
13.把若干个黑球和白球这些球除颜色外无其它差异放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为：：且其中的黑球比例依次为，，若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为______；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为______．
14.设，函数给出下列四个结论：
在区间上单调递减；
当时，存在最大值；
设，，则；
设，若存在最小值，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
16.本小题1分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：
甲：，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？结论不要求证明
17.本小题1分
已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
求的通项公式；
证明：当时，．
18.本小题分
已知椭圆方程：，焦点和短轴端点构成边长为的正方形，过的直线与椭圆交于，，，连接交椭圆于．
求椭圆方程和离心率；
若直线的斜率为，求．
19.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ设，求的单调区间；
Ⅲ求的极值点的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 证明：在中，作，垂足为，设，则，
因为，所以∽，所以，即，解得，
又因为，所以，且，
所以∽，所以，即，解得，
即，所以是的中点，是的中点，
又因为是的中点，所以，同理，，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：过作垂直的延长线交于点，因为，是中点，所以，在中，，，所以，
因为，，所以，又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，即三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
的面积为，
所以三棱锥的体积为．
16.解：已知甲以往的次成绩中有次获得优秀奖，
若用频率估计概率，
则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为；
若用频率估计概率，
则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
易知的所有可能取值为，，，，
则，，
，，
所以；
易知乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，
又丙投出过三人成绩中的最大值，在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
17.解：设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
证明：由可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
18.解：由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，
同样直线斜率不为，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或．
19.解：Ⅰ因为函数，
所以，
因为在点处的切线方程为，
所以，即，
解得，．
Ⅱ由Ⅰ知，，所以，
所以，
所以，
令，解得或，
所以与的关系列表如下：

单调递增 单调递减 单调递增 单调递减
所以在区间和上单调递增，在区间和上单调递减；
Ⅲ由Ⅱ知，当时，单调递增，
当时，，，
所以存在，使得，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以是的一个极小值点；
当时，单调递减，且，
所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的一个极大值点；
当时，单调递增，
又因为，所以存在，使得，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以是的一个极小值点，
又因为当时，，所以在上单调递增，无极值点；
综上，在定义域上有个极值点．
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