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2025年江西省八所重点中学高考数学联考试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.若双曲线：的渐近线与圆：有公共点，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知，若，当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足：，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 有最大值 D. 不是单调数列
8.已知，若在上恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在江西省重点中学协作体届高三第一次联考中，某校高三年级参加了联考，该校有个学生数学及格分及以上，从数学及格的学生中随机抽取个学生的数学成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 估计该校有名学生数学成绩不低于分
C. 用频率估计概率，已知某学生数学成绩不低于分，则该生数学成绩不低于的概率为
D. 成绩在和内学生的男女比例分别为：和：，从成绩在的学生中随机抽学生，该生是女生的概率为
10.已知、两点的坐标分别为，，为坐标平面内的动点，直线，的斜率分别为，，且满足为定值，设动点的轨迹为则( )
A. 轨迹关于原点对称 B. 轨迹关于直线对称
C. 当时，轨迹为一条直线 D. 当时，轨迹存在最高点
11.如图，棱长为的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上、且，则下列说法正确的是( )
A. 若，且，则三棱锥体积为定值
B. 若，则动点所围成的图形的面积为
C. 若，则的最小值为
D. 若动点在正方形内包含边界，异面直线与所成角为，则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件、相互独立，若，则 ______．
13.过抛物线上一动点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为______．
14.已知，，是圆：上的一个动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，已知．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，是边长为的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点．
求证：；
当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在直角坐标平面内，设是圆：上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点的动直线交于，两点，求面积的最大值．
18.本小题分
为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第个台阶的概率为
求，的值；
设随机变量表示小明爬步上的台阶总数，求的分布列及数学期望；
求．
19.本小题分
数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
分别求函数和的值域；
若，求函数的值；
若数列满足：，，是数列的前项和，求的值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理得：，
又因为，所以，即，
又因为，所以；
由余弦定理得：，
即，
因为，所以，所以，
所以．
16.解：证明：取中点，连接，，
由，得，由等边，得，
而，平面，，
则平面，又平面，
所以．
依题意，的面积为，
三棱锥体积，
则当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥体积最大，
在中，，，
因此当平面时，三棱锥体积最大，
在平面内过作于，连接，
由平面，平面，
得，而，，平面，
于是平面，又平面，
则，
是二面角的平面角，
在中，，
在中，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：设，，
则，过作轴的垂线，垂足为，则，
因为，则，
则，整理得，代入中得，
整理得，
所以曲线的方程为．
依题意知道，直线不垂直于轴，
则设其方程为，
由消去，得，
并整理得，
，
解得，
设，，
则，，
则，
令，则，且，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．
18.解：易知：，，；
由题意知，的取值为，，，，
所以；
；
；
，
所以的分布列为：
所以；
由知：，，且当时，，
所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
得，经验证，时也满足通项，
所以．
19.解：由于，所以，由于函数的值域为，所以的值域为整数集；
令，则，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以当时，，当时，．
由于恒成立，并且当时，，当时，．
故当且时，，，当时，，
所以．
令，则在上单调递减，且，
，所以，，
依次可得：，，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，，又，
所以当为偶数时，
，
，即，
故；
当为大于的奇数时，
，
，
即，故．
所以．
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