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2024-2025学年天津市西青区杨柳青一中高三（下）统练数学试卷（三）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.，为的内角，是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.若，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
5.若，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.下列说法不正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，则方差
D. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差变大
7.中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧长度为弧长度的倍，且，则该曲池的体积为( )
A. B.
C. D.
8.已知，为双曲线的左、右焦点，点在上，若，，的面积为，则的方程为( )
A. B. C. D.
9.已知函数在区间上单调递减，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数 ______．
11.已知的二项式系数的和为，则其展开式的常数项为______用数字作答
12.圆过点，且圆心在抛物线上不与原点重合，若圆与轴交于点，，且，则圆心的坐标为______．
13.某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，则恰有一名女生参加劳动学习的概率为______；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______．
14.在平行四边形中，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为______请用表示；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为______．
15.已知函数，其中若方程有且只有一个解，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，，且．
求角的大小；
若．
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面．
Ⅰ若是的中点，证明：；
Ⅱ求二面角的正弦值．
Ⅲ在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为．
求椭圆的标准方程；
如图所示，设点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，且都在轴的上方，在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，．
Ⅰ求数列的通项公式及；
Ⅱ设，求的最小值，并求取得最小值时的值；
Ⅲ设其中，求．
20.本小题分
已知函数，为的导函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若的两个极值点分别，，
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：因为，
所以由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
因为，
所以由正弦定理得：，即，
因为，且，所以为锐角，
所以．
，，
所以
．
17.Ⅰ证明：平面平面 ，平面 平面 ，四边形 是矩形．
平面，平面，
若是 的中点，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
则，，，
，
，，
，
，．
Ⅱ解：由Ⅰ可知：，
设平面的法向量为，
由，取，
平面的一个法向量为，
取，设平面的法向量为，
则，取，则，
，，
所以二面角的正弦值为．
Ⅲ解：假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，
直线与平面的法向量所成角的余弦值为，
设，则，
，
，解得，舍去，
在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
该点的坐标为．
18.解：依题意得，
解得，
所以椭圆的标准方程为：；
存在点，使，点的坐标为，理由如下：
因为直线过点，与椭圆交于不同的两点，，且都在轴上方，
所以直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，设，，
联立方程，整理可得：．
此时，且．
设，因为，
所以
，
所以，即．
故存在点满足条件，且点坐标为．
19.解：Ⅰ设等差数列的公差为，
因为，所以，即，
因为，，成等比数列，所以，
即，
由可得：，，
所以，
所以．
Ⅱ由Ⅰ得：，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以当时，；当时，，
所以当时，取得最小值为．
Ⅲ当时，，
当时，，所以数列是等差数列，
所以，
所以
．
20.解：当时，，
则，，
，则，
在处的切线方程为，即；
，
，则，是方程的两根，
即，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
而当时，，且，方程有两根，
即直线与函数的图象有两个交点，如图，
则，
即实数的取值范围为；
证明：由不妨设，
由图象知，当时，直线恒在曲线的下方，
下面证明：令，
则，
设，则，
当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
当时，，且，
在上恒成立，
函数在上单调递减，
，即，
设在切线上，则，，
又，则，
即，
要证，
需证，
即证，
由知，则，又，
，
．
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