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2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数在点处可导，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶、冰球、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰这个项目中随机选择个比赛项目现场观赛注：比赛项目后括号内为“”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛，则所选择的个观赛项目中最多只有项当天会决出奖牌的概率为( )
A. B. C. D.
3.在直四棱柱中，底面为菱形，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
4.如图，阴影部分含边界所示的四叶图是由抛物线：绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是( )
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为
C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
D. 四叶图的面积小于
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知双曲线，其渐近线方程为______．
6.已知数据，，，，，，，，则这组数据的分位数为______．
7.曲线在处的切线方程为______．
8.一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，，，的个完全相同的小球，从中随机一次性取出个小球，求取出的个小球上数字之和为偶数的概率是______．
9.在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为______．
10.学校组织文艺汇演，有个舞蹈节目、个歌唱节目和个魔术节目，要求个舞蹈节目必须连续表演，那么这个节目的表演顺序共有______种
11.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ______．
12.设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为______．
13.已知，若函数在只有一个零点，则实数的值为______．
14.已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是______．
15.圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是______．
16.如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分若在上，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，是的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求点到平面的距离．
18.本小题分
某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为，第二关、第三关的通过率均为，第四关的通过率为，四关全部通过可以获得一等奖奖金为元，通过前三关就可以获得二等奖奖金为元，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
求甲最后没有得奖的概率；
已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为元的概率．
19.本小题分
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半世纪年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；
现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．
20.本小题分
已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且．
求椭圆的方程；
点，在椭圆上，为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值；
直线过点且与椭圆交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知，．
当时，求函数的极小值；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
若当时，函数，有最小值，证明：．
参考答案
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17.Ⅰ证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
则，
故BC；
Ⅱ解：由于，
设平面的法向量为，
则，据此可得，
且，
故点到平面的距离．
18.解：记第一关没通过为事件，第一关通过第二关没通过为事件，
前两关通过第三关没通过为事件，甲最后没有得奖为事件，
则，，
，
故．
记侧皮肤了前两关时最后获得二等奖为事件，
通过了前两关时最后获得一等奖为事件，
则，，
甲和乙最后所得奖金总和为元，
甲和乙一人得一等奖，二人得二等奖，
甲和乙最后所得奖金总和为元的概率为：
．
19.解：设参与知识竞赛者的平均年龄为，
则；
易知第四组应抽取人，
记为甲，，，，
第五组应抽取人，
记为乙，，
对应的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
此时，，，，，，，，，
所以；
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为，
此时，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
此时，
所以．
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为，方差为．
20.解：椭圆：的左右焦点分别为，，
点在椭圆上，且，
，解得，，
椭圆的方程为．
证明：设直线：，
联立方程组，得，
，
又直线：，
同理，得，
，为定值．
解：当直线与轴不垂直时，设：，
设，，，
由，得，
又，，
，
令，得，此时，
当与轴垂直时，：，，，
又，，
综上，，．
21.
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