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2025年四川省泸州市高考数学三诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，对满足恒成立，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的上底面半径是，下底面半径是，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知个互不相同的样本数据，，，的平均值为，则关于新样本数据，，，，，下列说法正确的是( )
A. 极差不变 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 中位数变小
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 对任意直线，均有
B. 若，则
C. 面积的最小值为
D. 以为直径的圆与的准线不可能相切
11.若函数的图象上存在个不同点，，，，且在这个点处的切线的斜率相等，称该函数存在点切线，则下列说法正确的是( )
A. 函数存在点切线
B. 函数存在点切线
C. 若函数为单调函数，则该函数不存在点切线
D. 若函数存在点切线，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，且，则 ______．
13.某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了个吹奏节目，个弹拨节目，个拉弦节目，个打击乐节目，安排演出顺序时，要求个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为______用具体数字作答
14.在中，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校课题组在高一年级选取，两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中班为常规教学班，班为课改研究班，两个班级的人数分别为人在某次数学测试后，对，两班学生的数学成绩单位：分进行整理，分数分布在内，按照，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于分为不优秀，大于或等于分为优秀．
Ⅰ由以上统计数据填写下面的列联表，并根据相关数据判断，能否有的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关？
数学成绩 班 班 总计
优秀
不优秀
总计
Ⅱ对，两班成绩在分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出人，再从抽取的这人中随机抽取人，记为抽取的人中来自班的人数，求的分布列和数学期望．
附：，．
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的极大值；
Ⅱ若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围．
17.本小题分
在四棱锥中，底面是梯形，，，，．
证明：平面平面；
Ⅱ若是正三角形，，点是棱上的动点，当平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长度．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，若．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，
试比较与的大小，并说明理由；
若数列的前项和为，求证：．
19.本小题分
已知双曲线：的右顶点到其渐近线的距离为，点在上．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过点的直线交双曲线于，两点．
若与的渐近线交于点，，且是坐标原点，求的方程；
记，若点满足，求点的轨迹方程．
参考答案
1.
2.
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9.
10.
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13.
14.
15.解：Ⅰ由图可知，班优秀人数为：；
班优秀人数为：；
数学成绩 班 班 总计
优秀
不优秀
总计
，
所以有的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关．
Ⅱ由图可知，班分以下人数为：；
班分以下人数为：；
采用分层随机抽样的方法抽出人中，班有人，班有人，
所有取值为：，，；
，
，
，
的分布列为：
数学期望．
16.解：Ⅰ当时，，
，
令，解得或，
当或，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，的极大值为．
Ⅱ，，
当时，，，单调递增，无最小值，不符题意；
当时，令，则或，
当时，，，所以单调递增，无最小值，
当时，当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递减，
所以当时，有最小值，最小值为，
所以，即，
化简得，即，
解得，即，所以的取值范围是
17.解：证明：设，则，，
梯形中，，，所以，
因为，所以，
因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
Ⅱ因为，所以，是边长为的正三角形，
以为原点，，分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，可得，
设平面的一个法向量为，
则，
令，可得，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
解得或舍；
所以的长度为．
18.解：Ⅰ因为，所以时，，解得，
时，，由得，，所以，
则，即，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
Ⅱ由Ⅰ，，所以，
，理由如下：
，，
设函数，则恒成立，所以在上递增，
又，所以当时，恒成立，
即在上恒成立，所以，即；
证明：由已知得，当为奇数时，
；
当为偶数时，
；
故．
19.解：由双曲线：可得右顶点为，其中一条渐近线方程为，
因为双曲线经过点，可得，又因为右顶点到渐近线的距离为，
可得联立方程组，解得，，所以双曲线的方程为．
由双曲线：，可得渐近线方程为，即，
设直线的方程为，且，，，
联立方程组，整理得，则，
且，
解得，可得，，
则，
即，所以，
联立方程组，解得，
所以，因为，可得，
解得所以直线的方程为即或．
设，由，可得，
可得因为，在曲线上，可得，
所以，解得，所以又由．
可得，即，即．
将和，代入化简得，因为，可得，
所以点的轨迹方程为．
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