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2025年湖南省株洲市九方中学高考数学调研试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线与双曲线的离心率相同，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，若在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.在二项式的展开式中，二项式的系数和为，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
5.对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵种子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合已知某种对数螺线的解析式可以用表示，其中，，则( )
A. B.
C. D.
6.已知圆台的上、下底面面积分别为，，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的表达式为，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 将的图象向左移动个单位长度后关于原点对称
C. 在上恰有一个极值点
D. 函数有个零点
10.已知数列是等比数列，前项积为，则( )
A. B.
C. 若，则 D. 是等比数列
11.记函数的零点为，则( )
A.
B.
C. 当时，
D. 为函数的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知其等号右侧展开式共有类非同类项，，其等号右侧展开式共有类非同类项，则的展开式共有______类非同类项．
14.已知抛物线：的焦点为，第一象限与第四象限内的点，在上，且，则的面积为时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为．
求甲连续打四局比赛的概率；
求在前四局中甲轮空两局的概率；
求第四局甲轮空的概率．
16.本小题分
已知锐角的三个内角，，所对的边为，，，．
求角的大小；
求的取值范围．
17.本小题分
年月某数据挖掘与分析机构发布年中国国货消费品牌强，统计榜单前名品牌所在行业，得到如下频数表．
行业 汽车出行 数码 家用电器 食品饮料 生鲜水果 珠宝文玩
频数
从表中家用电器、生鲜水果、珠宝文玩行业的个品牌中随机抽个，求抽取的个品牌恰好来自个不同行业的概率；
从来自汽车出行、数码及家用电器的个品牌中抽取个品牌，且来自数码及家用电器的品牌抽取的数目相同，记该数目为，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，上一动点到右焦点的距离的最小值为．
求的方程；
若直线的斜率为，且与交于，两点，求；
若原点到直线的距离为，且直线与交于，两点，且，求四边形的面积．
19.本小题分
给定平面上一些点的集合及若干个点，，，，，若对于，为定值，我们就称为一个稳定点集．
判断集合，，与点，，构成的是不是稳定点集，并说明理由；
判断集合，以及点，，，构成的是不是稳定点集，并说明理由；
若集合及单位圆：中的内接边形的顶点，，，构成的是一个稳定点集，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：若甲连续打四轮，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛得概率为；
在前四局中甲轮空两局的情况为：第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
故在前四局中甲轮空两局的概率为；
甲第四轮轮空有两种情况：
第一种，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，概率为，
第二种，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，概率为，
则第四局甲轮空的概率为．
16.解：由，
可得，即，
由正弦定理可得，即，
所以，因为，所以；
应用正弦定理可得，设，
因为，，
所以
，
因为，所以，
所以
所以，即的取值范围为．
17.解：从这个品牌中随机抽个，共有种情况，
抽取的个品牌恰好来自个不同行业，抽取结果数为，
所以所求概率为；
由题意可知，的所有可能取值为，，，
从个品牌中抽取个品牌，且来自数码及家用电器的品牌抽取的数目相同的总数为：
，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：设椭圆的半焦距为，则由椭圆性质可知，
椭圆上一动点到右焦点的距离的最小值为，
则，又椭圆的离心率为，所以，
解得，则，
故C的方程为．
由知，因为直线的斜率为，则直线，
联立，消去得，解得或，
设，的横坐标分别为，，不妨设，，
故．
当直线的斜率存在时，设直线：，
由原点到直线的距离为得，化简得．
联立得，
设，，则，
由韦达定理得，
所以，
所以，又点在椭圆上，
所以，即，
解得，．
此时弦长，
因为到直线的距离，所以平行四边形的面积．
当直线的斜率不存在时，不妨设直线：，则，
所以不在椭圆上，不合题意．
综上所述，四边形的面积为．
19.解：根据定义：若对于，为定值，
我们就称为一个稳定点集．
不是稳定点集，理由如下：
取，则；
取，，则，
故不是稳定点集．
是稳定点集，
设，，则，
则
，为定值，
所以是稳定点集．
由题：集合及单位圆：，
中的内接边形的顶点，，，构成的是一个稳定点集，
设是单位圆上任意一点，故为定值，
所以，
因为，故，
因为为定值，故为定值，
因为是单位圆上任意一点，故，故．
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