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安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5.年春节，国产电影哪吒之魔童闹海火遍全球，更是于月日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去人，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.记为数列的前项和，若，为等比数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知是双曲线：上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数和，若存在实数，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据如下：，，，，，，，，则( )
A. 该组数据的平均数为 B. 该组数据的中位数为
C. 该组数据的方差为 D. 该组数据的第百分位数为
10.已知为坐标原点，，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则( )
A.
B. 当时，
C. 可以为
D. 周长的最小值是
11.由函数，相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”已知，，其优生成函数记为，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减
C. 的值域为 D. 在区间上有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：上存在两点关于直线对称，则圆的半径为__________．
13.在棱长为的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
14.已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点，和，，且四边形为正方形，则这两条直线的斜率之和为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求周长的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，底面．
求证：平面平面；
若是的中点，求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，且离心率为．
求的方程；
若，分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线与交于另一点，直线与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
求该运动员第二次投篮命中的概率；
记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
设第次投篮命中的概率为，求证：．
19.本小题分
已知曲线在点处切线方程为，其中，为常数．
求，的值；
证明：只有一个零点．
若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得，
整理得，
所以，
由为三角形的内角，得；
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
可得，
因为，均为三角形内角，故，，
得，
所以，
则，，
所以
，
，当时，取到最大为，
所以周长的最大值为．
16.证明：因为平面，平面，
所以．
因为，，，
所以，，，
又，所以，
所以，所以．
又，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
解：因为平面，，
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由．
取，可得，
设平面与平面的夹角为，
所以，
故，
故平面与平面的夹角的正弦值为．
17.解：已知椭圆的短轴长为，
，则
又因为离心率，且在椭圆中有，
得到
所以椭圆的方程为
由可知，，
设，直线的方程为
联立直线与椭圆的方程，
将代入中得：，
即
已知是该方程的一个根因为点在直线与椭圆上，
设，根据韦达定理，
则
把代入
可得，
所以
直线的方程为，
令，可得
若，
则，
即
经过化简计算可得
所以存在点，使得
18.解：设“第一次投篮命中”为事件，“第二次投篮命中为事件，
已知，，--，，
根据全概率公式
的取值为，，，
，
所以的分布列为：
数学期望
已知，由题意可得，
则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，因为，所以，
又，所以．
19.解：由，得，
曲线在点处的切线斜率，
从而，解得，则，
把，代入切线方程得，
即，解得；
证明：由知，定义域为，
令，即，变形为，
设，则，
则在上，恒成立，
在上单调递增，
又，而，
所以由零点存在定理知：存在唯一零点，使得，
从而只有一个零点；
因为存在正实数，使得成立，
所以存在正实数，使得成立，
即存在正实数，使得成立．
令，则，，
由知，有唯一解，在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，，
所以．
由，得，即，
即，亦即，
易得在上单调递增，
由，得，所以，即，，
所以，
故，即的取值范围为．
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