资源简介 (共22张PPT)第八章立体几何初步人教A版2019必修第二册8.6.1 直线与直线垂直理解异面直线所成角的定义,并能做出异面直线的角理解两条直线垂直的定义通过实例,解决直线与直线平行的相关问题学习目标1在同一平面内,有且只有一个公共点 .共面直线在同一平面内,没有公共点 .异面直线 不同在任何一个平面内,没 有公共点 .b β \bbaα在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.本节我们主要研究异面 直线,首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.空间两条直线的位置关系相交直线平行直线y 复习回顾a图中的角θ即为直线a与直线b的夹角.范围:[0,规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为0.追问空间中两条直线所成角又该如何定义 它的范围又是多少 问题1平面中,两条相交直线形成几个角 两直线夹角的取值范围是多少 平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角) ,它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.y 新知探究问题2 如图示,在正方体ABCD-A'B'C'D '中,直线A'C 与直线AB, 直线A'D'与直线AB都是异面直线,直线A'C 与A'D'相对于直线AB的位置相同吗 如果不同,如何表示这种差异呢 一条直线相对于另一条直线的倾斜程度不同用角度来表示这种差异y新知探究异面直线所成的角如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0分别作直线a'//a,b'//b,我们把直线α', b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).b'a(.0空间问题 平面问题追问直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗 无关. 只与a,b 的相互位置有关 为什么 概念生成baaa规 定 如果两条直线平行或重合,它们的夹角为0.两条异面直线所成的角θ的取值范围:空间两条直线所成的角θ的取值范围:如果两条异面直线所成的角为直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂 直.直线a与直线b互相垂直,记作a⊥b.y新知探究异面垂直相交垂直垂 直C'2.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D '的各条棱所在直线中, (1)与直线AB垂直的直线有_ 8 _ 条; (2)与直线AB异面且垂直的直线有 4 条; (3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有 4 条;1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“ √ ”,错误的画“×”.(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直,那么另一条也与已知直 线垂直. ( √ )(2)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ×)y 学以致用 教材P148(4)与直线AB 和A'D'都垂直且相交的直线是直线_AA' 。y典例分析例 1 如右图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA '垂直 (2)求直线BA'与CC'所成角的大小。(3)求直线BA '与AC 所成角的大小。解 :(1)上底面有:A'B',A'D',B'C',C'D',下底面有:AB,AD,BC,CD,(2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,∵CC'//BB',∴∠B'BA 为直线BA '与CC '所成的角.而∠B'BA=45°.∴直线BA '与CC '所成角的大小为45°.(3)连接A'C',BC'.∴∠BA'C '为直线BA'与AC所成的角.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,△A'BC'是等边三角形,∴∠BA'C'=60°, ∴直线BA '与AC 所成的角等于60°.变式长方体ABCD-A B C D 中,AB=AA =2cm,AD=1cm, 求异面直线A C 与BD 所成的角的余弦值 .解法一 (平移法):∠AOM (或补角)是直线A C 与 BD 所成的角解法二(补形法): 5∠A C E (或补角)是直线A C 与BD 所成的角∴直线A C 与BD 所成的角的余弦值为∴直线A C 与BD 所成的角的余弦值为y 新知探究√55√5求两条异面直线所成的角的一般步骤:1. 作:恰当地选择一个点 (经常在其中一条线上取一点) , 作 出 ( 常 用 平移法)异面直线所成的角(或其补角);2. 证:证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角; (注:证明线线平行)3. 求: 通过解三角形或其他方法,求出(1)中所构造的角的大小;(注:假如所构造的角的大小为a, 若0°V 方法归纳(1)直线BC 和A'C'所成的角的大小;(2)直线AA'和BC'所成的角的大小。解 :(1)在长方体ABCD-A'B'C'D '中,∵BC//B'C',∴∠B'C'A '为直线BC 与A'C'所成的角.在Rt△A'B'C '中,A'B'=B'C',∴∠B'C'A'=45° .∴直线BC与A'C'所成的角的大小为45°.(2)∵AA'//BB',∴∠B'BC '为直线AA '与BC '所成的角.在Rt△B'BC 中, BB'=2,B'C'=2√3,∴tan ∠B'BC'=√3, ∴∠B'BC'=60°,∴直线AA '与BC '所成的角的大小为60°.C'A3. 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D ' 中 ,AB=AD=2√3,AA'=2, 求:学以致用 教材P148例2 如右图,在正方体ABCD-A B C D 中 ,O 为底面A B C D 的中心,求 证 :AO ⊥BD.证明:如图示,连接B D .∵ABCD-A B C D 是正方体,∴BB //DD .∴四边形BB D D 是平行四边形. ∴ B D I/BD.∴直线AO 与B D 所成的角即为AO 与BD所成的角.连接AB ,AD , 易 证AB =AD .又 0 为 底 面 A B C D 的 中 心 ,∴O 是 B D 的 中 点 ,∴AO ⊥B D ,∴AO ⊥BD.典例分析DE"BFo BDEFBD//EF。又AB■BB2AF■√5。AE■√2.EF●BD■√3.AEF粤AE +EF ■AF ,&LAEF■90 °.EFLACSZEF//BD BDLAC.求证:BD⊥AC.证明:如图示,取AC'的中点E, 连接DE, 取 B'B的中点F, 连接AF,EF.A学以致用 教材P1484. 如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D 为棱AC的中点,AB=BB'=2.追问你还能想出 其他解法吗 题型一 异面直线所成的角例题 1. 在正方体ABCD-A B C D 中 ,E 为CC 的中点,求异面直B E与C D所成角的余弦值.则 ∠AB E(或其补角)为异面直线B E与C D所成的角, 设正方体的棱长为2,则 AB =2 √2 ,AE=3,B E =√5,即异面直线B E与C D所成角的余弦值为y 能力提升[解析] 连接AE,B A, 在正方体ABCD-A B C D 所以四边形 AB C D 为平行四边形,所以 B A//C D,由余弦定理的推论得 cos∠中 ,①直接平移法(利用图中已有的平行线);②中位线平移法(或线段成比例平移);③补形平移法(在已知图形中,补成熟悉的几何体,以便找到平行线);④平行四边形平移法(由一组对边平行且相等,从而得另一组对边平行).注意:若求出的角是锐角或直角,则它是所要求的异面直线所成的角;若求出 的角是钝角,则它的补角才是所要求的异面直线所成的角.y 能力提升作异面直线所成的角(或其补角)的四种方法.方法总结A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°[解析] 如图,取B C 的中点E, 连接BE,DE, 则DE//A C .因为AC//A C ,所以AC//DE,所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由已知可得BD=DE=BE= √2, 所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60° .故选Cy练习 1. 如图,在直三棱柱ABC-A B C 中 ,D为A B 的中点,AB=BC=2,BB =1,AC=2√2, 则异面直线BD与AC所成的角为( 0异面直线所成的角能力提升题型一∵E,G 分别是 BD ,CD 的中点,∴EG//BC,∵F 是 AD 的中点,且DF/BC,∴ 四边形 EFDG 是平行四边形,∴ EF//DG,直线与直线垂直2. 如图,在长方体ABCD-A B C D 中 ,A A=AB,E,F 的中点.求证:CD ⊥EF.∴∠DGD (或其补角)是异面直线 CD 与 EF 所成的角.又 A A=AB, ∴ 四边形 ABB A 和四边形CDD C 都是正方形, ∴DG⊥CD ,∴CD ⊥EF.y证明 如图,取 CD 的中点 G, 连接 EG ,DG.题型二例题能力提升分别是BD ,AD(1)定义:夹角为90° ;(2)等腰三角形三线合一;(3)菱形的对角线,直角梯形(直角腰与上下底都垂直),矩形的邻边;(4)勾股定理的逆定理(最大边所对的角是直角);(5)直径所对的圆周角是直角.y 能力提升证明线线垂直的常用方法方法总结题型二 直线与直线垂直练习 2. 如图,在正方体ABCD-A B C D 求 证 :A0⊥A B.证明 ∵ ABCD-A B C D 是正方体,∴A D 兰BC,∴四边形 A D CB 是平行四边形, ∴A B//D C,∴直线 A0 与 A B 所成的角即为直线 AO 与 D C 所成的角, 连接AC,AD ( 图 略 ) ,∵AC=AD ,0 为CD 的中点,∴AO⊥D C,∴AO⊥A B.y 能力提升中 ,CD 与DC 相交于点0,异面直线互相垂直数学直观数学运算 逻辑推理将空间问题转化为平面问题的转化思想y 课堂小结异面直线 所成的角相交直线 所成的角类比转化范 围步 骤定 义特殊人教A 版2019必修第二册感谢聆听主 讲 : 展开更多...... 收起↑ 资源预览