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河南省信阳市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A. B. C. D.2.5
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
7.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A.①，② B.①，④ C.③，④ D.②，③
8.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，DN．若四边形MBND是菱形，则等于（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11.计算：__________．
12.有一个数值转换器，原理如图．当输入的时，输出的等于__________．
13.对于任意不相等的两个实数，新定义一种运算如下：．那么__________．
14.图①是一种矩形钟表，图②是钟表示意图，钟表上数字2的刻度在矩形的对角线上，钟表中心在矩形对角线的交点处．若cm，则的长为__________．
15.如图，在矩形中，为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点的对应点恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为_____．
三、解答题：本题共8小题，满分75分．
16.（10分）计算：
（1）；
（2）．
17.（9分）（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
18.（9分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30的处，过了2 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50 ，这辆小汽车超速了吗？（参考数据：1 m/s＝3.6 km/h）
19.（9分）阅读下列内容：
设是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，由结论③可知该三角形是锐角三角形．
请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是6，7，8，则该三角形是______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）；
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，则的值为______．
20.（9分）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米，AD＝24米，CD＝26米．若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的总费用．
21.（9分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，点D，E分别是BC，AC的中点．连接DE并延长至点F，使得EF＝DE．连接AF，CF，AD．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）连接BF，若∠ACB＝60°，AF＝2，求BF的长．
22.（10分）如图，李明家有一块长方形空地ABCD，长BC为，宽AB为，现在要在空地中挖一个长方形水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为（），宽为（）m．
（1）求长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若小明家将所种的草莓全部销售完，则销售收人为多少元？
23.（10分）课本再现
思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，使∠E＝∠ACD，求证：△OCE是等腰三角形．
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.C
10.C
11.
12.
13.3．
14.
15.4
三、解答题：本题共8小题，满分75分．
16.解：（1）原式＝
＝
＝15；………………………………………………（5分）
（2）原式＝
＝．………………………………………………（10分）
17.解：（1）由题意得，………………………………………………（1分）
∴，…………………………………………（2分）
∴；………………………………（4分）
（2）∵与互为相反数，
∴，………………………………………………（7分）
∴．………………………………………………（9分）
18.解：在中，，，
根据勾股定理可得
，…………………………………………（3分）
∴小汽车的速度为，…………（6分）
∵，………………………………………………（7分）
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．………………………………………………（9分）
19.解：（1）∵8 ＜6 ＋7 ，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；…………………………………………………（3分）
（2）∵三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
∴x ＝5 ＋12 或12 ＝5 ＋x ，…………………………………………（6分）
解得x＝13或x＝，
故答案为：13或．…………………………………………………（9分）
20.解：如图，连接AC，…………………………………………………（1分）
∵∠B＝90°，
∴（米），
∵AD＝24米，CD＝26米，
∴AC ＋AD ＝10 ＋24 ＝26 ＝CD ，
∴∠CAD＝90°，……………………………………………………（5分）
∴四边形ABCD的面积＝（平方米），
∴90×144＝12960（元），
答：绿化的总费用为12960元．………………………………………（9分）
21.（1）证明：∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC，
又∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，………………………………………（2分）
在△ABC中，∠CAB＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；……………………………………………（4分）
（2）解：如图，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，…………………（5分）
∴∠BGF＝90°，
∵四边形ADCF是菱形，∠ACB＝60°，AF＝2，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）
在中，
．．．．．．．．．．．．．．（7分）
．．．．．．．．．（8分）
在中，
．．．．．．．．．．．．．（9分）
22.解：（1）长方形空地的周长
答：长方形空地的周长为；．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）
（2）种草莓的面积为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）
（元），
答：销售收入为4680元．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）
23.证明：（1）四边形是平行四边形，对角线于点
．．．（1分）
在和中，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；………………………………………（3分）
（2）①四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝OC＝AC＝4，OD＝OB＝BD＝3，
∴，，
∴，
∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°，
∴CA⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；………………………………………（6分）
②∵BC＝DC，CA⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠E＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACB，
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝∠E＋∠COE，
∴2∠E＝∠E＋∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴CO＝CE，
∴△OCE是等腰三角形．………………………………………（10分）

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