资源简介

2025 年四川省成都市崇州市中考数学一诊试卷
A 卷（共 100 分）
一、单选题：本大题共 8 小题，共 32 分。
1.实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. | | > | | B. + > 0 C. > 0 D. < 0
2. 1 是幻方量化旗下 公司深度求索( )研发的推理型. 1 拥有卓越的
性能，在数学、代码和推理任务上可与 1 媲美.其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据
即可显著提升模型性能.此外， 1 构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程
等方式，提升模型推理能力. 2025 年 1 月 20 日， 1 模型正式发布，据不完全统计，截至 2 月
5 日， 的下载量已接近 4000 万.将 4000 万用科学记数法表示为( )
A. 4 × 106 B. 40 × 106 C. 4 × 107 D. 0.4 × 108
3.下列运算正确的是( )
A. ( 2 3)2 = 4 5 B. 2 = 3
C. 4 = 4 D. (3 + 1)2 = 9 2 + 6 + 1
4.学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班 42 名同学
进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位
数分别是( )
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2
A. 4.8，4.8 B. 4.8，4.7 C. 4.8，4.75 D. 4.8，4.6
5.如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形 ，连接 ，测得∠1 = 38°
则∠ 的度数为( )
A. 18°
B. 19°
C. 38°
D. 42°
6.在平面直角坐标系中，点 (2, 3)关于 轴对称的点 ′的坐标是( )
A. ( 2, 3) B. ( 2,3) C. (2, 3) D. (2,3)
第 1页，共 17页
7.如图，在⊙ 中，弦 // ，∠ = 42°，则∠ 的度数为( )
A. 84°
B. 86°
C. 88°
D. 90°
8.二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A.对称轴为直线 = 1
B. 的最小值为 4
C. = 2 对应的函数值为 = 5
D.当 0 < < 2 时，则 4 < < 2
二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分。
9.已知 + 3 = 2，则 = ______．
10.若关于 的一元二次方程 2 + 2 = 0 有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围为______．
11.如图，四边形 是平行四边形， 为对角线， ⊥ 于点 ， // ，

=
1
2，则 △ ： △ 的值为______．
12.《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题
后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有 5 头牛、7 只羊，值钱 920 金；将牛与羊互换其
中一只(头)，值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为 金， 金，根据题意列出方程组为______．
13.如图，在△ 中，∠ = 90°，分别以点 1， 为圆心，大于2 的长为半径
画弧，两弧分别交于点 和点 ；作直线 分别交线段 ， 于点 ， .若 = 1，
= 3，则 的值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 48 分。
14.（本小题 12 分）
(1) 1计算：( ) 12 12 + ( 2025)
0 + | 3 3|；
2( 3) < 3 2
(2)解不等式组： +4
2 ≥ 1
．
15.（本小题 8 分）
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2025 年 1 月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要(2024 2035 年)》.《纲要》指出：促进学
生健康成长、全面发展.深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教
育短板.落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划.某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练
计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于 2 小时.学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体
育项目，让学生健康快乐成长.为了解同学们对比赛项目的喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜
好情况调查(每位同学只能选一种)，特制定如下统计表和统计图．
比赛项目 人数
篮球比赛 60
足球比赛 50
排球比赛
乒乓球比赛
羽毛球比赛 25
空竹比赛
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，表中 = ______， = ______；
(2)在扇形统计图中，求“ ”“ ”比赛项目对应的圆心角度数；
(3)若学校共有 1600 名学生，请你根据调查结果，估计选择“ ”比赛项目的学生人数．
16.（本小题 8 分）
寒假中，小张和家人到某景点旅游.小张是摄影爱好者，他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览.某景点
的游览阶梯 与水平地面 的夹角为 度，无人机位于点 处，测得阶梯同侧建筑物 ， 的俯角分别为 58°
和 39°(点 ， 在直线 上，∠ = 58°，∠ = 39°)，若无人机离建筑物 ， 的竖直距离分别为 110
和 64.8 ，求点 与点 的水平距离. (参考数据： 58° ≈ 0.85， 58° ≈ 0.53， 58° ≈ 1.6， 39° ≈ 0.63，
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39° ≈ 0.78， 39° ≈ 0.81)
17.（本小题 10 分）
如图，在△ 中，∠ = 90°，以边 为直径的⊙ 与 交于点 ，点 为弧 的中点，直线 ，
分别交 ， 于点 ， ．
(1)求证：△ ∽△ ；
(2)若 = 4 4， = 5，求 的长．
18.（本小题 10 分）
3
如图，在平面直角坐标系 中，直线 1： = 2 + 与反比例函数 = 的图象分别交于点 ( 1, )和点 ．
(1)求直线 1的表达式；
(2) 3如图 2，直线 2经过点 与反比例函数 = ( < 0)的图象交于点 ，与 轴交于点 ，点 将线段 分成 ，
两条线段，且 =
1
2，连接 ，求△ 的面积；
(3)在(2)的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使△ 是以 为斜边的直角三角形，若存在，请求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
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B 卷（共 50 分）
一、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分。
19.已知 ， 是关于 的一元二次方程 2 5 2 = 0 的两个实数根，则
( 2)2 (1 )的值为______．
20.如图，在平面直角坐标系 中，直线 = + 2 与直线 = 2 的
图象交于点 ，点 的横坐标为 2，则 = ______．
21.如图，四边形 是平行四边形，点 为边 上的中点，点 为对角
3
线 上一点，且 = 5，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为______．
22.如图，在△ 中，∠ = 90°，sin∠ = 5，点 为斜边 上一5
点，连接 ，将△ 沿 翻折得到△ ， 与 交于点 ，当 ⊥

时，则 = ______．
23 2 2 12.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 = 5 3
2 + 5 3 + 5 3的图象
与 轴分别交于点 和点 ，过顶点 的直线 ⊥ 轴于点 ，点 为线段 上一点，
1
点 在线段 上，且 = 2 ，当2 + 取最小值时，则 = ______．
四、解答题：本题共 3 小题，共 30 分。
24.（本小题 8 分）
春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评，某商家抓
住商机，随即销售一种成本为每件 20 元的特色哪吒纪念品.经销售发现：当售价为每件 30 元时，每天可售
出 100 件；售价每上涨 2 元，日销量就会减少 4 件；售价每下降 1 元，日销量就会增加 5 件.设该纪念品的
售价为每件 元( 为整数且 20 < ≤ 50)，每天的销售量为 件．
(1)求出 与 的函数关系式；
(2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
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25.（本小题 10 分）
1
如图，在平面直角坐标系 中，直线 = 2 2 与 轴， 轴分别交于点 ， ，抛物线 ： =
2 + +
1
经过 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ，且 tan∠ = 2．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图 2 1，点 为抛物线上一点，且位于第三象限， ⊥ 于点 ，若 = 2，求点 的坐标；
(3)抛物线 21与抛物线 ： = + + 关于原点对称，抛物线 1与 轴正半轴交于点 ，作 ⊥ 交直
线 于点 ，在抛物线 1上是否存在点 ，使得∠ = 2∠ ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
26.（本小题 12 分）
在△ 中， = = 8，∠ = 60°，点 为直线 上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 30°至
线段 ′，直线 ′与直线 交于点 ．
(1)如图 1，当 平分∠ 时，连接 ′，求证：△ ′∽△ ；
(2)如图 2，当点 与点 重合时，连接 ′，求 ′的值；
(3)过点 作 ⊥ ′于点 ，连接 ，当 最小时，求△ 的面积．
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参考答案
A 卷
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.1
10. < 12
11.19
12. 5 + 7 = 9204 + 8 = 920
13. 6
14.解：(1)( 1 ) 12 12 + ( 2025)
0 + | 3 3|
= 2 2 3 + 1 + 3 3
= 6 3 3；
2( 3) < 3 2①
(2) +4 ，
2 ≥ 1②
由①得：2 6 < 3 2，
> 4，
由②得： + 4 ≥ 2 2，
≤ 6，
∴ 4 < ≤ 6．
15.解：(1)本次调查的学生共有 50 ÷ 25% = 200(名)．
= 200 × 15% = 30，
= 200 × 10% = 20，
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故答案为：50，30，20；
(2)“ ”比赛项目对应的圆心角度数为 360° × 60200 = 108°，
25“ ”比赛项目对应的圆心角度数为 360° × 200 = 45°；
(3)1600 × 200 60 50 30 20 25200 = 120(人)．
答：估计选择“ ”比赛项目的学生人数有 120 人．
16.解：作 ， 分别垂直 于点 ， ，
∴ = 110 ， = 64.8 ，
∴ 58° = ，
∴ ≈ 110 ÷ 1.6 = 68.75 ，
∴ 39° = ，
∴ ≈ 64.8 ÷ 0.81 = 80 ，
∴ = 80 68.75 = 11.25 ，
∴点 与点 的水平距离为 11.25 ．
17.(1)证明：∵ 为⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ + ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
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∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ；
(2)解：如图，连接 ， ，
由(1)得：∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = ，∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ ∠ = ∠ = 90°， = ，
∵ = 4 5，
∴ sin∠ = 4 = 5，
∵ 为⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ sin∠ = =
4
5，
∵ = 4，
∴ = 5，
∴ = = 1．
18. 3解：(1)将点 ( 1, )代入代入反比例函数 = 得 = 3，
∴ ( 1, 3)，
将 ( 1, 3)代入直线 1得， 2 + = 3，
解得 = 1，
∴直线 1的表达式为 = 2 1；
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= 3(2) = 1 =
3
联立 ，解得 = 3或 2， = 2 1 = 2
∴ ( 32 , 2)，
过 作 ⊥ 轴于点 ，过 作 ⊥ 轴于点 ，
则 // ，
∴ 1 = = = 2，
∴ = 12 = 1，
∴ ( 3, 1)，
∴ = 92，
∴ = 13 =
3
2，
∴ = 3 3 = 3 32 2，即 ( 2 , 0)，
设 与 轴交于点 ，则 ( 12 , 0)，
∴ = 2，
∴ = + 1 1△ △ △ = 2 × 2 × 2 + 2 × 2 × 3 = 5；
(3) ∵ ( 32 , 2)， ( 3, 1)，
∴ 2 = ( 3 + 3)2 + (2 + 1)2 = 1172 4 ，
①当点 在 轴上时，设 ( , 0)，
∴ 2 = ( 3 2 2 22 ) + 4， = ( + 3) + 1，
∵△ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ 2 + 2 = 2，
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∴ ( 3 22 ) + 4 + ( + 3)
2 + 1 = 1174 ，
整理得：2 2 + 3 14 = 0，
7
解得 1 = 2， 2 = 2，
∴ ( 72 , 0)或(2,0)；
②当点 在 轴上时，设 (0, )，
∴ 2 = 9+ ( 2)24 ，
2 = 9 + ( + 1)2，
∵△ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ 94 + ( 2)
2 + 9 + ( + 1)2 = 1174 ，
整理得：2 2 2 13 = 0，
= 1±3 3解得 2 ，
∴ (0, 1±3 32 )，
7 1±3 3综上，点 坐标为( 2 , 0)或(2,0)或(0, 2 ).
B 卷
19.4
20.2
21.38
22. 22
23.5 52 3
24.解：(1)根据题意得： = 100 2( 30)或 = 100 + 5(30 )，
∴ 与 的函数关系式为 = 2 + 160 或 = 5 + 250；
(2)设销售利润为 元，
根据题意得： = ( 30) ( 2 + 160) = 2 2 + 220 4800 = 2( 55)2 + 1250，
∵ 为整数且 20 < ≤ 50，
∵ 2 < 0，开口向下，对称轴是直线 = 55，
第 11页，共 17页
∴ 30 ≤ ≤ 50 在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
∴ = 50 时， 取最大值，最大值是 2 × (50 55)2 + 1250 = 1200(元)，
若售价每下降 1 元，日销量就会增加 5 件时， = ( 30)( 5 + 250) = 5 2 + 400 7500 = 5(
40)2 + 500，
∵ 为整数且 20 < ≤ 50，
∵ < 0，开口向下，对称轴是直线 = 40，
∴ 20 < ≤ 40，
∴在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
∴当 = 40 时， 取最大值，最大值是 5( 40)2 + 500 = 500(元)，
答： = 50 时， 取最大值，最大值是 1200 元．
25.解：(1) ∵ 1直线 = 2 2 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
∴ ( 4,0)， (0, 2)，
∴ = 2，
∵ tan∠ = = 1 2，
∴ = 1，
∴ (1,0)，
∵ = 2 + + 经过点 ， ， ，
16 4 + = 0
∴ + + = 0 ，
= 2
= 12
解得 = 3 ，2
= 2
∴ 1 3抛物线的解析式为 = 2
2 + 2 2；
(2) ∵ 2 + 2 = 2，
∴ ∠ = 90°，
∵ (0, 2)， (1,0)，
1
取 的中点 ( 2 , 1)，在 的延长线上取点 ，使点 与点 关于点 对称，
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∴ ( 12 , 3)，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°， // ，
∵ =
1
2，
∴ = = 12 ，
∴四边形 是矩形，
∴ // ，
设直线 =
1 1 1 13
2 + 且过点 ( 2 , 3)， = 2 4，
= 1 13
∴ 2 4
= 1
，
2
2 +
3
2 2
1 =
4+ 6
2 2 =
4 6
∴ ， 2 ，
= 9 61 4 2 =
9+ 6
4
∴ ( 4+ 62 ,
9 6 )或( 4 6 , 9+ 6 ；4 2 4 )
(3)抛物线 1与抛物线 ： = 2 + + 关于原点对称，
∴ 11的函数表达式为 = 2
2 + 32 + 2，
∴点 的坐标为(4,0)，
∵ ⊥ ，
∴点 的坐标为(4, 4)，
在 轴上取一点 ，使得 = ，此时∠ = 2∠ ，
设 ( , 0)，
∴ ( + 4)2 = 2 + 4，
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∴ = 32，
∴ ( 32 , 0)，
∴ tan∠ = = 4 3，
当点 位于第一象限时，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，作 ⊥ 轴于点 ，作 ⊥ 轴于点 ，
设点 的坐标为( , )，
∴ = + 2， = ， = 2， = 4，
∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽△ ，
∴ = = ，
∵ ∠ = 2∠ = ∠ ，
∴ = 4 = = 3，
∴ = 43 =
8 4 16
3， = 3 = 3，
∴ ( 8 103 , 3 )，
∴ 11 = 2 + 18，
直线 与 1交于点 ，
= 112 + 18∴ ，
= 12
2 + 32 + 2
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1 = 7 + 17 2 = 7 17
∴
= 41 11 17
(舍去)，
= 41+11 17
，
1 2 2 2
∴点 的坐标为(7 17, 41+11 172 )，
当点 位于第三象限时，点 与点 关于点 对称，此时∠ ′ = ∠ = 2∠ ，
∴ ( 8 , 22′ 3 3 )，
∴ = 1 ′ 2 6，
= 12 6∴
= 1 2 + 3
，
2 2 + 2

3 = 1+ 17 4 = 1 17
∴ 11+ 17 (舍去)， = 11 17
，
3 = 2 4 2
∴点 的坐标为(1 17, 11 17 )；2
综上所述，点 的坐标为(7 17, 41+11 17 )或(1 17, 11 172 2 )．
26.(1)证明：∵ = ，∠ = 60°，
∴△ 是等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∵ 绕点 顺时针旋转 30°至线段 ′，
∴ ∠ ′ = 30°， = ′，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ ′ = ∠ = 12∠ ′ = 15°，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 45°，∠ = ∠ ∠ ′ = 45°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴△ ≌△ ′ ( )，
∴ ∠ = ∠ ′ ，
∴ 180° ∠ = 180° ∠ ′ ，
∴ ∠ = ∠ ′ ，
∴△ ′∽△ ；
(2)解：如图 1，
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作 ′ ⊥ 于 ，
∵ ∠ = ∠ ∠ ′ = 60° 30°，∠ ′ = 30°，
∴ ∠ = ∠ ′ = 30°，
∴ ∠ = ∠ ′，
∴ = = 8，
设 ′ = ，则 = 3 ，
∵ ′ = ，∠ ′ = 30°，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 75°，
∴ ∠ ′ = 180° 60° 75° = 45°，
∴ = ′ = ，
由 + = 得，
3 + = 8，
∴ = 4 3 4，
∴ ′ = 2 = 4 6 4 2；
(3)解：如图 2 1，
作 ⊥ 于 ，连接 ，
∵△ 是等边三角形，
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∴ ∠ = 1∠ = 30° 32 ， = 2 ，
∵ ∠ ′ = 30°，∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ 3′， = 2 ，
∴ ∠ = ∠ ， = ，
∴△ ∽△ ，
∴ ∠ = ∠ = 180° ∠ = 120°，
∴ ∠ = 30°，
∴点 在过点 且与 成 30°得直线上运动，
∴当 ⊥ 时， 最小，
如图 2 2，
作 ⊥ 于 ，
∵ ∠ = 30°，∠ = 90°，
∴ = 32 = 2 3，
∴ = 12 = 3，
3
由 = 2 得，
= 4，
∴ 1 1△ = 2 = 2 × 3 × 4 = 2 3．
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