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18.2.3 正方形小节复习题
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】
1.学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）
平行四边形，正方形 B．正方形，菱形
C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
2.下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
3.用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5）
C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）
4.如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形是平行四边形
B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形
C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形
D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形
【题型2 由正方形的性质求角度】
1.如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，正方形中，点分别在上，，经过对角线的中点O，若，则一定等于（ ）

A． B． C． D．
3.如图，在正方形中，点在对角线上，且；延长交于点，连接，则的度数为 ．

4.如图，正方形的对角线与交于点，点为边上一点，连接，过点作于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 由正方形的性质求线段长】
1.如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
2.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为则点的坐标为 （ ）

A． B．
C． D．
3.如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【题型4 由正方形的性质求面积】
1.如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．

2.《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（ ）

A．12 B． C．25 D．
3.如图，一个正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别为，，则 （填“”或“=”或“”）．
4.如图，以直角的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为，则③、⑤两部分的面积和为（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【题型5 正方形中的折叠问题】
1.如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为 ．

2.如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　）
A．9 B．10 C．16 D．20
3.如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
4.如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．
【题型6 正方形中的证明】
1.如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)探究，与的数量关系，并说明理由．
2.已知；正方形的边长是4，F是边的中点，E是上的点，且，如图，求证：．
3.正方形的边长为6，正方形的顶点E、F分别在正方形的对角线和边上，，连接．
(1)求证：；
(2)求的值．
4.【阅读材料】
在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形中，点E、F、G、H分别在、、、上，且，垂足为M，那么与相等吗？
分别过点G、H作、，垂足分别为P、Q，通过证明，得到．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形中，点E在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点F（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形中，点E、F分别在、上，将正方形沿着翻折，点B、C分别落在、处，且经过点D，将纸片展开，延长交于点G，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）求证：．
【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别】
1.甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（ ）

A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
2.下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
4.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【题型8 证明四边形是正方形】
1.如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．
2.如图，在矩形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知，．

(1)求证：四边形是正方形．
(2)若，，求四边形的面积．
3.问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．

(1)如图1，小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，求四边形的面积；
4.综合与实践
问题解决：
（1）如图1，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
类比迁移：
（2）如图2，在（1）的条件下，当时，试判断四边形的形状，并说明理由．
拓展应用：
（3）当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出结论，不必证明．
【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】
1.正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 ．
2.如图，在四边形中，，，，，则对角线的长为 ．
3.综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
(1)初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论；
(2)操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论；
(3)拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度．
4.如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ．
【题型10 由正方形性质与判定求角度】
1.四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
2.已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
3.如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
(1)在图中画出一个以AB为边的正方形；
(2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由．
4.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，与相交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求的大小．（直接写出结果即可）
【题型11 由正方形性质与判定求面积】
1.【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形．
2.如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即、、、，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场的多少倍？
3.已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
4.我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．
(1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）；
(2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接．
①求证：四边形是对角直角四边形；
②若点到的距离是2，求四边形的面积．
【题型12 由正方形性质与判定证明】
1.如图①，在正方形中，点分别在上且．

(1)试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形：
①请在图②中补全图形；
②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．
2.如图，若点是正方形外一点，且，，，则 °．
3.如图，E，F，M，N分别是正方形四条边上的点，且．试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．
4.问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接．
初步探究：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由．
参考答案
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】
1.B
【分析】本题考查了特殊的平行四边形，正确理解矩形，菱形，正方形之间的关系是解题的关键．
根据特殊的平行四边形的概念判断即可．
【详解】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形，
∴是正方形，是菱形，
故选：B
2.A
【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解．
【详解】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
故选项B，C，D不符合题意；
菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选项A符合题意．
故选：A．
3.B
【分析】通过不同的组合方法，得出不同的图形．
【详解】解：用两块完全重合的等腰直角三角形纸片可以拼成下列图形：
（1）平行四边形

（3）正方形

（5）等腰直角三角

故选B．
4.D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质， 正方形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．连接交于点O，根据平行四边形的性质可得， 再根据E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），，可得，进一步即可判断A选项； 根据菱形的性质可得，进一步即可判断选项； 根据正方形的性质可得，进一步即可判断选项；根据矩形的性质可得， 再根据E、F是对角线上的两点 （不与点A、C重合），可得，进一步可判断选项．
【详解】解：连接交于点O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合）， ，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故A不符合题意；
当四边形是菱形时， ，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故不符合题意；
当四边形是正方形时， ，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故不符合题意；
当四边形是矩形时， ，
∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），
∴，
∴四边形不是矩形，
故符合题意，
故选：．
【题型2 由正方形的性质求角度】
1.C
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，进而由可得，，再由角平分线的定义得，又证明可得，最后利用角的和差关系即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2.B
【分析】证明，可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，则可得，利用三角形外角和定理，即可得到的值．
【详解】解：四边形是正方形，
，
经过对角线的中点O，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3.
【分析】根据正方形的性质可得，，再根据又证得，得，，根据三角形内角和定理求得，最后根据平角定义求得答案．
【详解】解：正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
4.C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角以及三角形外角性质等知识，取中点G，连接，，设与交于点，证明，得，证明，求出，根据可得，整理后可得结论
【详解】解：取中点G，连接，，设与交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
在和中，
∴，
∵，且，
∴
∴
而
又
∴
∴．
故选：C．
【题型3 由正方形的性质求线段长】
1.D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
2.D
【分析】过点作轴于，过点作的延长线于，交y轴于点，由可证，可得，，据此即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作的延长线于，交y轴于点，
点的坐标为，
，，
∵轴轴，
∴四边形是矩形，
∴
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
故选：D．
3.D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的面积，连接，由正方形的性质得到，，利用勾股定理可求得，，，再根据三角形的面积得到，代入已求计算即可求解，由正方形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵正方形和正方形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
故选：．
4.B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
【题型4 由正方形的性质求面积】
1.16
【分析】证明，得到，计算即可．
【详解】∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
2.B
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，正确列出方程是解答本题的关键．设正方形的边长为x，证明，则，得到 解得，即可求出正方形的边长为，即可得到答案．
【详解】如图1，设正方形的边长为x，

根据题意得，四边形都是矩形，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
解得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∵平行四边形的面积
故选：B．
3.
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等等知识，设正方形的边长为6，然后求出与的值，问题得解．
【详解】解：如图，设正方形的边长为6，
∵是正方形的对角线，
，，
∴，
又∵四边形与四边形是正方形，
，，
，，
，，
∴．
故答案为：．
4.B
【分析】设序号为①，②，③，④，⑤图形的面积分别为，，，，，利用正方形性质，三角形全等证明即可，本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】如图所示，
设序号为①，②，③，④，⑤图形的面积分别为，，，，，，
根据题意，得，
四边形是正方形，，
，
，，
，
，
．
∴
∵②、④两部分的面积和为，
∴，
四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
．
∴，
根据题意，得
，
故选B．
【题型5 正方形中的折叠问题】
1.
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质 ，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分, 先证推出的长，再利用勾股定理求出的长, 最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长.
【详解】解：设与交于点M，
在正方形中,
，
在中,，
∵由折叠的性质可得
，
∴垂直平分,
，
∵，
所以，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
故答案为：
2.D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长．
【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H，

由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴为菱形，
∴阴影部分的周长为：，
故选：D．
3.D
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，
，
，
设，则，
，
，
，
故选：D．
4.（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分,
∴，，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
同（1）可证，
∴，
在正方形中，，，
由折叠知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或．
【题型6 正方形中的证明】
1.（1）证明：由题意，得，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，即平分．
（2）证明：如图1，过点F作于点K，设交于点O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵点B与点P关于对称，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：．
理由：如图，过点B作，垂足为Q．
由（1）知，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
2.证明：连接，延长交延长线于点G，如图：
∵正方形，
，
，
，
∴设，则，
在中，，
∵点F是中点，
∴，
∵，
，
，
，
，
又∵
．
3.（1）证明：∵正方形和，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接和，
∵正方形的边长为6，且，
∴，，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
4.解∶[探究1]
如图，即为所求，

∵四边形是正方形，
∴，，，
由作图知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
[探究2]
（1）证明：∵翻折，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）连接，过F作于N，
则四边形是矩形，
∴，，
又，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，，
∴
【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】
1.D
【分析】利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案．
【详解】解∶①按照图①折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形；
②按照图②折叠，可得四边形的四个角相等，不能得四条边相等，原四边形是矩形；
故选∶ D．
2.A
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有个，
故选A．
3. AC⊥BD AC＝BD AC⊥BD且AC＝BD
【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，
（1）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是矩形，则需要一个角是直角，故对角线应满足互相垂直
（2）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是菱形，则需要一组邻边相等，故对角线应满足相等
（3）联立（1）（2），要使所得四边形是正方形，则需要对角线垂直且相等
【详解】解：连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，FG∥BD，FG＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．
∴EF∥HG，EF＝GH，FG∥EH，FG＝EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
（1）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，
由（1）得，只需AC⊥BD；
（2）要使四边形EFGH是菱形，则需EF＝FG，
由（1）得，只需AC＝BD；
（3）要使四边形EFGH是正方形，综合（1）和（2），
则需AC⊥BD且AC＝BD．
故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD
4.D
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【题型8 证明四边形是正方形】
1.（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，作于，于，则四边形为矩形，
∴，
∵点是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
②解：正方形和正方形中，，，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
2.（1）证明：四边形是矩形，
，
，．
，
，
，
，
，
．
矩形是正方形．
（2）解：，，
，
．
．
3.（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）连接，

由折叠得，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
设则，
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴
由折叠得，，
∴．
4.证明：（1），
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是矩形，理由如下：
，是边上的中线，
，即，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
（3）当满足，时，四边形是正方形，
由（2）可知，当时，四边形是矩形，
在中，是边上的中线，
，
四边形是正方形，．
【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】
1.
【分析】先利用勾股定理得到，进而证明四边形是正方形，则可得到，过点K作，延长分别交于L、S，则，利用勾股定理得到；证明四边形是矩形，得到，由对称性可知，则；证明四边形是矩形，得到，；如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，可得，再证明，得到，则，即点H，M之间的距离是．
【详解】解：∵点E，F是正方形边，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∵四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作，延长分别交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性可知，
∴；
∵K、L分别为正方形边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，作于，于，则四边形是矩形，证明，则，，可得四边形是正方形，则，设，则，，由，可求，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
3.（1）证明：连接交于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴点是线段的中点，
∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）证明：延长交于点，
由（1），是线段的垂直平分线，
∴，
由题意得，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分；
（3）解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图，
由题意得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当时，如图，
由题意得，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
当时，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在同一直线上，
设，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴；
综上，线段的长度为1或或．
4.
【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得；连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形．
如图，连接，
四边形为正方形，，
，
，
矩形为正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
的最小值为．
故答案为：
【题型10 由正方形性质与判定求角度】
1.（1）证明：如下图所示：
作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2：
在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴；
（3）①如图3：
当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4：
当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
2.（1）证明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴度数为的度数2倍的角有：,，，．
3.（1）解：如图，四边形ABCD为所求；
连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形；
（2）解：如图，∠BAC即为所求．
理由如下：
∵四个全等的矩形被对角线分成的直角三角形全等，
∴．
∴四边形ABCD是菱形．
又∵(SAS)，
∴．
∵，
∴．
∴四边形ABCD是正方形，连接AC．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴．
4.（1）证明：∵是由旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：结论：．
由旋转的性质可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，过点B作交的延长线于H，作于T，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴．
【题型11 由正方形性质与判定求面积】
1.问题一： ，
证明如下：在 和 中，
因为 ，
且 ，
所以 ，又因为 ， ，
所以 ，所以 ；
问题二：
如图，连接，
因为点O是正方形的中心，所以，
又由问题一可知，，所以，
所以；
问题三：四边形是正方形，
证明如下：由问题一知，，所以，
所以由勾股定理知，所以四边形是菱形，
又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以，
所以，所以，所以四边形是正方形．
2.解：新建的四边形为正方形．新广场的面积是原广场面积的5倍．
理由：四边形为正方形，
，，
．
，，，，
，
，
．
在和中
，
，
，，．
，
，
即，
同理可得，，
，
，
四边形为菱形．
，
菱形为正方形．
设原来正方形边长为，则新建的正方形边长为：．
新建的面积是原广场面积的5倍．
3.（1）证明：过点D作，交的延长线于点M，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴矩形是正方形
∵，
∴，
∴
∴
，
∴四边形的面积为．
4.（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形．
故答案为：②．
（2）①证明:∵.四边形是菱形，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是对角直角四边形；
②如图：过N作于H，于G，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积=正方形的面积.
【题型12 由正方形性质与判定证明】
1.（1）解：．
∵是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①补全图形如图，

②四边形是正方形．
∵H、I、J、K分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
2.
【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质得到，，，由等腰直角三角形性质可得，利用勾股定理得到，进而得到，由勾股定理逆定理可知，，最后根据，即可求得．
【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
故答案为：．
3.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
同理可证：，
∴，
∴四边形EFMN为菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EFMN为正方形．
4.解：（1）四边形是菱形
理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
所以四边形是菱形 ；
（2）（1）中的结论不成立；
理由如下：
同（1），得四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（3）四边形是正方形；
理由如下：
同（1），得四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是正方形．

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