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2025长沙中考第一次模拟考试数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列数中是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.1223
2．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　 ）
A． B． C． D．
3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ）
A．乙班视力值的众数是
B．甲、乙两班视力值的平均数相等
C．甲、乙两班视力值的中位数相等
D．视力值的波动程度甲班大于乙班
6．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．2或4
8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　）
A． B． C．18 D．16
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解 ．
12．已知一元二次方程的一个根是3，则
13．在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为 ．
14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ．
15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：
，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
20．（8分）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
(1)初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
(2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
(3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．（9分）已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接、，若，求证：．
24．（10分）在中，为的直径，为过C点的切线．
(1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小；
(2)如图②，过点作的切线交于点，求证：；
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
25．（10分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．
(1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
(2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．
(3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C B D B D D C C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．6
13．
14．/60厘米
15．
16．2701
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．【详解】解：
（4分）
．（6分）
18．解：
＝
＝
＝
＝，（4分）
∵，，
∴，，
∴当时，原式．
或当时，原式．（6分）
19．【详解】解：∵，
∴，，（2分）
在中，
∵，
∴，
∴（米），（4分）
在中，∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．（6分）
20．【详解】（1）如图，连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴
∵
∴，
∵H为中点，
∴；（4分）
（2）∵，
∴
∴
∵
∴
∴．（8分）
21．【详解】（1）解：初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人），
扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝144°，
故答案为：40、144；（2分）
（2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
；（4分）
（3）列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝．（8分）
22．【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．（4分）
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．（8分）
23．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，（1分）
∵，
∴，
∴， （2分）
在和中，，（3分）
∴，
∴，
∴矩形是正方形；（4分）
（2）证明：如图，
由（1）可知，，
∴，（5分）
∵正方形，
∴，，，
∴，（6分）
∵，
∴， （7分）
∵，
∴，
∴，（8分）
∵，
∴，
∴．（9分）
24．【详解】（1）由题意知，，
∵，
∴，
∵，
∴；（3分）
（2）连接，
∵为的直径，
∴，
∵为过C点的切线，过点作的切线交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；（6分）
（3）连接，
由（1）（2）可得，，，
∴，
∴设，，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴．（10分）
25．（10分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．
(1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
(2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值．
(3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【答案】(1)点的坐标为：，或；
(2)
(3)或．
【分析】（1）联立与并整理得：，即可求解；
（2）由题意得，解得，而，故，则，故，是整数，故；
（3）①当时，即，，函数取得最小值，即，即可求解；②当，即，函数在处取得最小值，即，即可求解；
③当时，函数在处，取得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：（1）与存在“共享函数”，理由如下：
联立与并整理得：
，
解得：或，
故点的坐标为：，或；（2分）
（2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得：
，
解得：，
，
，
解得：；
，
，
是整数，
；（6分）
（3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
①当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得或（舍去）；
②当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
③当时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去，
综上，或4，
故“共享函数”的解析式为或．（10分）2025长沙中考第一次模拟考试数学试卷
答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
24. （10分）
25. （10分）
M
W
“垃圾分类知晓情况各类别人数条形统计图
“垃圾分类”知晓情况各类别人数扇形统计图
人数
D
A
20
5%
18
10%
14
C
B
、
10
86
420
A
B
C
D
类别
A
F
D
E
B
C
A
A
A
M
M
E
E
D
D
D
B
C
B
C
B
C
0
①
2
3

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