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2025陕西中考第一次模拟考试数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（　　）
A． B．5 C． D．
2．如图，直线被直线所截，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．下列立体图形中，可能被一个平面截出的截面是长方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（第5题图） （第6题图）
5．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
7．直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称，若在直线上，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　）
A．对称轴是直线 B．当时，
C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
（第10题图） （第11题图）
10．如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ．
11．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中，根据幻方的相等关系设计出来一个“幻圆”，即大圆．小圆．横线．竖线上的四个数字加起来的和均相等．如图给出了部分数字，则幻圆中的值为 ．
12．反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ．
13．如图，在菱形中，，，为菱形的对称中心，过点的直线交于点E，交于点为上的一点，连接．若，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：
15．（5分）先化简，再求值：，其中，．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
18．（5分）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：．
19．（5分）某校为丰富学生的课余生活，强化学生的校园安全意识，准备举办一次趣味知识竞答活动，计划购买两种奖品奖励答题优秀同学．已知种奖品比种奖品每件贵12元，且购买种奖品15件，种奖品10件，共需资金280元．求种奖品每件需要多少元．
20．（5分）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
(1)小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________；
(2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
21．（6分）2025年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
22．（7分）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示．
(1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式；
(2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨
23．（7分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，2024年2月1日教育部印发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某校为了解全校学生在此之前使用手机情况，随机抽取了部分学生调查其一周使用手机的时间，并用调查结果绘制了如下统计图表，请根据统计图表解答以下问题：
组别 使用时间t（小时） 人数
A a
B 20
C 50
D 10
E 5
(1)______，填出所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在______组；
(2)若以各组组中值（例如的组中值为1小时）代表各组的实际数据，求出所抽取学生一周使用手机时间的平均数及众数；
(3)若该校共有1200名中学生，请你估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人？
24．（8分）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的⊙O切于点D，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
25．（8分）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．某隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1．隧道底部宽为，高为．为了避免司机在隧道内行车疲劳，交通技术部门拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．
(1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式．
(2)在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带悬挂点的横坐标的取值范围．
26．（10分）问题探索：
（1）如图1，在矩形中，点、分别在边、上，连接、，且于点，若，则______；
问题解决：
（2）如图2，小明家原有一块四边形菜地，其中，，米，米，米，后经土地资源再分配调整为五边形，经测量米，，现需过点修建一条小路将五边形分割成两个区域进行不同的蔬菜种植，设计时满足点在边上，与所夹锐角为，求需修小路的长（小路宽度忽略不计）．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D D C A C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．
10．/50度
11．5
12．
13．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.（5分）
解：原式（4分）
．（1分）
（5分）解：
（3分）
，（1分）
当，时，原式（1分）
16．（5分）【详解】解：
， （2分）
，（1分）
， （1分）
检验：当时，，（1分）
∴原分式方程的解为．
17．（5分）【详解】解法一：如图所示，作的垂直平分线，交于点，则点，即为所求；
（5分）
解法二：如图所示，作的角平分线，交于点，则点，即为所求；
（5分）
18．（5分）【详解】证明：四边形是矩形，
，，，
，（2分）
，，
，
在和中，
，
，
．（3分）
19．（5分）【详解】解：设种奖品每件需要元，则种奖品每件需要元．（1分）
根据题意，得，（2分）
解得．
答：种奖品每件需要16元．（2分）
20．（5分）【详解】（1）由题意得，选到的概率为 （1分）
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，（3分）
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．（1分）
21．（6分）【详解】解：由题意得，，
在中，，
，（2分）
解得，（1分）
在中，，（1分）
解得，（1分）
，（1分）
答：“天梯”的长度约为．
22．（7分）【详解】（1）解：设月用水量超过5吨时，y与x的函数关系式为，
把，代入得，（1分）
解得，（1分）
∴；（1分）
（2）解：设月用水量不超过5吨时，y与x的函数关系式为，
把代入得，
解得，（1分）
∴用水量不超过5吨时，，
若本月和上月用水量都不超过5吨，那么水费应该多4元，
若本月和上月用水量都超过5吨，那么水费应该多7元，
所以上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．（1分）
设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨，
则，（1分）
解得，
该户居民本月用水量为6吨．（1分）
23．（7分）【详解】（1）解：这次调查的学生人数为(人)，
A组人数是：(人)；
，（1分）
所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在C组，（1分）
故答案为：15；C；
（2）解：平均数为（小时），众数为5；（3分）
（3）解：（人）（2分）
答：该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人
24．（8分）【详解】（1）切于点D，
在和中
，
（2分）
（1分）
（2）在中，，
设，则，
在中，
，
（1分）
（1分）
，
解得，
，（1分）
在中，
由勾股定理得，（1分）
，（1分）
即的长为．
25.（8分）【详解】（1）解：以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
顶点的坐标为，设抛物线的解析式为：．（2分）
抛物线过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；（2分）
（2）解：普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．
悬挂点的纵坐标，（1分）
即悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，（1分）
，（1分）
悬挂点的横坐标的取值范围是：．（1分）
26.（10分）【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，
，
，（1分）
，，
，，
，（1分）
，
，（1分）
故答案为：；
（2）解：过作交于，过作交于，交于，过作交于，交于，过作交于，
，，，，，
，，
，
，（2分）
，
与所夹锐角为，
，
，
，
，（1分）
在和中
（），
，（1分）
，，
，
，（1分）
解得：，
，
由（1）同理可证：，（1分）
，
，
解得∶；（1分）
故需修小路的长米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握矩形中“十字架”的典型解法，矩形的性质，能构建全等三角形及相似三角形，同时能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．2025陕西中考第一次模拟考试数学试卷
答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
A
D
B
C
A
D
E
F
B
C
A
D
E
0
B
C
C
0-T0-0U-0-00
灯带
5m
A
B
010m
图1隧道实物图
图2隧道模型图
D
C
D
C
P
G
G
A
B
E
E
B
图1
图2

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