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(共58张PPT)
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（二）
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由,，得，又 ，所以
.故选B.
√
2.已知函数,，则“”是“ 为减函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时，为减函数；当为减函数时，, ，故“
”是“ 为减函数”的充分不必要条件.故选A.
√
3.在等比数列中，，，则 ( )
A.2 B.4 C.5 D.8
[解析] 由题意得，则，因为，所以 ，
设数列的公比为，则，所以 .故选D.
√
4.粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国
传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味
道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形
状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为
，并测得其侧面与底面夹角的正切值为 ，则该广式五角
粽的侧面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设该广式五角粽的直观图为如图所示的正四棱锥，则 ，
取底面的中心，棱的中点，连接,,，则, ，且
，所以即为侧面与底面的夹角，所以 ，所以
,则 ，故该广式五角粽的
侧面积为 .故选C.
5.若函数为偶函数，则 的值为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为为偶函数，且为奇函数，所以 为
奇函数，所以，即 ，所以
，又，所以，解得 .故选B.
√
6.已知复数，且，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D. ,,
√
[解析] 由，得 ，所以
，所以 ，
故复数在复平面内对应的点 的轨迹是以
为圆心，2为半径的圆的几何意义为过圆
上的点与定点的直线的斜率，设斜率为 ，则
直线的方程为，圆心到直线 的
距离，即，解得 ，即
.故选C.
7.若直线与球面恰好有一个公共点，则称该直线为球的切线，该公共
点为切点.如图，过球外一点作球的两条切线，切点分别为, ,且
,,,四点共面.已知球的表面积为 ，点 与球面上的点的距离
的最大值为8,记 ，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设与交于点，球的半径为，则 ，解得
，点与球面上的点的距离的最大值为，则 ，
因为，均与球相切，所以,,则在
中，，易得 ，所以
，所以
.故选D.
8.已知双曲线的右顶点和左焦点分别为，，点,均在
的左支上，且，若，则 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由以及点,均在的左支上，可知直线
过点且垂直于轴，为线段的中点，由 ，
可知,所以，所以在
中，，所以 ，所以
，因为，所以 ，又
，所以，所以 ，
即，所以，解得 .故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知向量， ，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为
B.若，则
C.,
D.若与的夹角为锐角，则的取值范围为
√
√
[解析] 对于A， ，则
，所以
，故A正确；对于B，若，则，解得 ，故
B正确；对于C，，若，则 ,
即,解得,故C错误；对于D，若与 的夹角为锐角，
则，且，所以且 ，故D错误.故选
.
10.函数 的部分图象如图所示，则( )
A.,
B.图象的对称中心为
C.不等式的解集为
D.函数的单调递增区间为
√
√
√
[解析] 由图可得，则，所以 ，则
，解得，故A错误； ，则
，解得，所以 ，令
，得，所以 图象的对称中心为
，故B正确；由，得 ，则
，解得 ，故C正确；对
于D，的图象是将在轴下方的图象翻折到 轴上方，故结合图象及B
选项可知在区间上单调递增，故D正确.故选 .
11.已知函数若函数 恰有4个零点，分别为
,,,,且 ，则( )
A.
B.
C.
D.当时，关于的方程 最多有4个不相等的实根
√
√
[解析] 令，得 ，则函数
的零点即为曲线 与直线
的交点的横坐标，作出曲线 的图
象如图所示，
由图可得，且.对于A，因为 ，所
以，又，所以, ，所以
，所以，所以 ，则
，故A正确；
对于B，因为，所以，又 ，
所以 ，所以
，则 ，所
以,则，故B错误；对于C，因为 ，结合A，B
选项可得，解得, ，则
，，因为,在
上均单调递增，所以在上单调递增，又 ,
，所以，即 ，故C正确；
对于D，在关于的方程中，令，则，由题可知 ，
所以当时，无实根，则无实根，所以此时关于 的方程
无实根；当时，方程有2个不相等的实根, ，
又有2个不相等的实根，有3个不相等的实根，所以此时关于 的方程
有5个不相等的实根，故D错误.故选 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在抛物线上，且点到的焦点的距离为，则点到 轴的距离
为___.
4
[解析] 由，得，则抛物线的准线方程为，设 ，
，则,， 点到 轴的距离为4.
13.如图，某农科所将一块试验田分成1，2，3，4共四个不同的区域，该农科所准备在
这四个区域中栽种农作物，并要求相邻两个区域的农作物品种不同.现有4种不同的农作
物品种可供选择，则不同的栽种方案共有____种；其中恰好用了3种不同农作物品种的
概率为__.（本题第一空2分，第二空3分）
1 2
3 4
84
[解析] 根据区域1与区域4栽种农作物的情况，栽种方案可分为两类:①区域1与区域4栽
种相同的品种，其栽种方案有 种；②区域1与区域4栽种不同的品种，其栽
种方案有种，所以不同的栽种方案共有 种.其中恰好用了3种
不同的农作物品种的不同栽种方案有种,故所求概率为 .
14.已知函数，若存在，使得成立，则 的取值范围为
____________________.
[解析] 由，得，令 ，则
，令，得；令 ，
得，所以在上单调递减，在 上单调
递增，所以，且 时，
, 时， ,作出 的图象如图
所示.
设过原点的直线与曲线相切，切点为，则 ，
所以切线方程为 ，即
，因为切线过原点，所以 ，解得
，则，切线方程为，又当 时， ，则直线
为曲线的渐近线，结合图象可知，的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
记的内角,,所对的边分别为,, ，已知
.
（1）若，求 外接圆的半径；
解:因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，（3分）
则由余弦定理得 ，
又，所以 ，（5分）
设外接圆的半径为 ，
则 .（7分）
（2）若,，为边的中点，求线段 的长.
解:因为为 边的中点,
所以 ，（9分）
所以
，
所以线段的长为 .（13分）
16.（本小题满分15分）
在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我
国新能源汽车销量继续走高.为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某
品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问
卷调查，并根据其满意度评分 （单位:分，总分100分）制作了如下的频数分布表:
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
（1）计算满意度评分的样本平均数 和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值
为代表）
解:由题得样本平均数
，（2分）
设样本中位数为 ,
前3组的频率之和为 ，
前4组的频率之和为 ，
故样本中位数位于 内，（3分）
则，解得 ，
所以样本中位数为 .（5分）
（2）根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分
近似地服从正态分布，其中 近似为样本平均数， 近似为样本的标准差 ，
并求得 .若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度
评分位于区间 的人数；
解:由（1）知，则 ，
所以 ，（7分）
故估计这1万名车主中满意度评分位于区间 的人数约为
（人）.（9分）
（3）为提升新能源汽车的销量，该品牌 店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了
抽奖环节，抽奖规则如下:每人可参加2次抽奖,每次抽奖都从装有3个红球、3个白球
（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还
2 000元现金；若摸出2个红球，则返还1 000元现金，其余情况不返还任何现金
（两次抽奖返现金额叠加）.已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为 ，求随机变
量 的分布列和数学期望.
参考数据:若随机变量，则 ，
， .
解:记每次摸球摸出3个红球为事件，摸出2个红球为事件，其余情况为事件 ，
则, ，
.（10分）
由题意得的可能取值为,,, ,0，
则 ，
,
，
,
,（13分）
所以 的分布列为:
4 000 3 000 2 000 1 000 0
则 .（15分）
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱台中， 平面 ,底
面为梯形，， ，
.
（1）证明: 为直角三角形；
解:由题可得,， ，
则在 中，由余弦定理得
，
所以，所以 ，
所以 为直角三角形.（3分）
（2）证明:平面 平面 ；
解:由（1）可知 ，
又，所以 .（4分）
因为 平面, 平面 ，
所以 ，
因为,, 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ,
所以平面 平面 .（6分）
（3）若直线与平面所成角的正弦值为，且 ，求四棱台
的体积.
解:由（2）可知 ，
又 平面 ,
所以,, 两两垂直，
以为原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设, ，
则,,,, ，
因为，所以 ，
所以 ，
则 ，
所以,, .（8分）
设平面的法向量为 ，
则 ，
取，得, ，
所以 .（10分）
设直线与平面所成的角为 ，
则 ，
解得或 （舍），
即 .（12分）
设梯形与梯形的面积分别为, ，
则 ，
因为梯形与梯形相似，且 ，
所以，所以 ，
所以四棱台 的体积
.（15分）
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，且以 的四个顶点为顶点的四边形
的面积为 .
（1）求 的方程；
解:由题意可得 ，
解得,, ，（4分）
所以椭圆的方程为 .（5分）
（2）的左、右焦点分别为,,过点且斜率存在的直线与交于, 两点.
（ⅰ）若的面积为，求 的斜率；
[答案] 由（1）可得, ，（6分）
由题可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线的方程为,，, ，
联立，得 ，
，
所以， ，（8分）
所以 ，
化简得 ，
解得 ，
所以直线的斜率为 .（11分）
（ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，试问直线 是否过定点？若过定点，
求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
[答案] 由（ⅰ）知当直线的斜率存在且不为0时，，且 ，
则 ，
所以直线的方程为 ，（13分）
由对称性可知，若直线过定点，则定点在 轴上，
令，得 ，
所以直线过点 .（15分）
当直线的斜率为0时，直线，过点 .（16分）
综上，直线过定点 .（17分）
19.（本小题满分17分）
定义:若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，
使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为 的“极值差比系
数”.已知函数 .
（1）当时，判断 是否为“极值可差比函数”，并说明理由；
解:当时，, ，
则 ，（1分）
令,得或 ，
所以当时,, 单调递增；
当时,, 单调递减；
当时,, 单调递增，
所以的极大值为，极小值为 ，（3分）
所以 ，
所以是“极值差比系数”为 的“极值可差比函数”.（4分）
（2）是否存在，使得的“极值差比系数”为？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由；
解:假设存在，使得的“极值差比系数”为 .
因为, ，
所以 ，
因为 为“极值可差比函数”，
所以有两个不同的极值点, ，
所以关于的方程在上有两个不同的实数解, ，
则，解得 ，
则 .（6分）
不妨设，则 ，
所以
，
则 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以 ，
则，即 .（9分）
令, ，
则 ，
所以在 上单调递增，
则 ，
所以在 时无解，
所以不存在，使得的“极值差比系数”为 .（11分）
（3）当时，证明:,. 参考公式:
解:当时，, ，
设, ，
则 ，
所以当时,， 单调递增；
当时,， 单调递减，
所以 ，
即 ，
所以 ，（14分）
所以 ，
所以, ，（15分）
所以
，
即, .（17分）

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