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普通高中教科书数学必修第二册
8.6.2直线与平面垂直
复习回顾
问题1：回顾直线和平面的位置关系？
问题2：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，还有书脊与桌面的垂直关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？
新知探究
新知探究
问题3：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直
将旗杆抽象成直线，思考以下问题：
（1）与地面上经过点的直线有什么关系？
（2）与地面上不过点的直线有什么关系？
（3）与地面上的任意直线有什么关系？
新知探究
追问1：怎么理解“任意”？
结论：直线垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面．
追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？
A
B
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面， 记为.
直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足.
画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
新知探究
问题4：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条 为什么
新知探究
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
点到平面距离的定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
问题5：如图,一块三角形纸片,过的顶点翻折纸片.得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(、与桌面接触)
(1)折痕与桌面垂直吗
(2)如何翻折才能使折痕与桌面垂直
新知探究
所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕是边上的高.
新知探究
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的_______________
垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 ______
图形语言
两条相交直线
线线垂直 线面垂直
问题6：两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”或是“无数条直线”呢
新知探究
典例解析
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：求证：
证明：如图，在平面内取两条相交直线
∵直线
∴ ∵
∴
又是两条相交直线
∴
当堂练习
练习 如图，在三棱锥中，，是的中点，且
(1)求证：
(2)若，求证：
证明：(1) 因为SA＝SC，D是AC的中点
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD
由已知SA＝SB 所以△ADS≌△BDS
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC
所以SD⊥平面ABC
练习 如图，在三棱锥中，，是的中点，且
(1)求证：
(2)若，求证：
(2) 因为为的中点
所以由(1)知
又因为，，
所以
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线
(3)根据判定定理得出结论
新知探究
直线和平面所成的角
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
为斜线
与的交点为斜足
直线为在平面 上的射影
直线与射影所 成角(角)为直线与平面上所成角
直线与平面所成角取值范围：.
新知探究
典例解析
例3 如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.
，所以直线和平面所成的角的大小等于30°
解：连接，交于点O，再连接
因为是在正方体中，所以BO⊥平面
O
所以是直线与平面成的角
设正方体的边长为1
所以在中， ，
课堂小结
1.直线与平面垂直的定义
2.线面垂直的判定定理
3.直线和平面所成的角
4.直线与平面垂直的证明与求直线和平面所成的角的方法
普通高中教科书数学必修第二册
8.6.2直线与平面垂直（第2课时）
复习回顾
1.直线与平面垂直的定义
2.线面垂直的判定定理
3.直线和平面所成的角
新知探究
思考1：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
思考2：如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
新知探究
思考3：你能证明问题2所得结论吗？
提示　如图，假设b与a不平行且b∩α=O，显然点O不在
直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面
内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条
不同直线，所以直线b与b'可确定平面β，设α∩β=c，则
O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b'∥a，所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能.因此b∥a.
新知探究
新知探究
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____
符号语言
图形语言
平行
知识理解：
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据.
(3)其逆定理也成立：即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
典例解析
例 1 如图，直线l 平行于平面 ，求证：直线l 上各 点到平面 的距离相等．
证明：过直线l 上任意两点 A, B 作平面 的垂线 AA1 , BB1垂足分别为 A1 , B1 ．
因为AA1 , BB1 ，所以AA1 / / BB1 ．
设直线 AA1 , BB1 确定的平面为 ， A1B1 ． 因为l / / ，所以l / / A1B1 ．
所以四边形 AA1B1B 是矩形．所以 AA1 BB1 ．
因为A, B 是直线l 上任意两点，可知直线l 上各点到平面 的距离相等．
一条直线与这个平面平行时，这条直线上任意点到这个平面 的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一 个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离．
Q
O
P
l
α
O'
l
Q
α
β
P
O
例2 推导棱台的体积公式
其中S , S 分别是棱台的上、下底面面积, h 是高．
复习回顾
课堂小结
1.线面垂直的性质定理
2.线面间的距离
3.两平行平面间的距离
Q
O
P
l
α
O'
Q
l
α
β
P
O

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