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向量运算的坐标表示
1．若向量，，．
(1)，求的值；
(2)若与共线，求k的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因，即，
所以 ，解得 ，故；
（2）因与共线，，，
所以，故．
2．已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求向量与的夹角.
【答案】(1)或.(2)
【详解】（1）已知，
所以.
又因为，所以有，
所以，解得或.
（2）因为，所以.
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
3．向量，向量．
(1)求；
(2)若向量与向量共线，，求的模的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）；
（2）由题设且，则，
所以，
当时，.
4．已知向量，，．
(1)求与垂直的单位向量的坐标；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）设与垂直的单位向量，
则，解得：或，
或.
（2），，又，
，解得：.
5．已知，．
(1)求，；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，，
所以，．
（2）由，，
则，
所以．
6．已知.
(1)当k为何值时，与共线
(2)若=，= 且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】(1)k=(2)m=
【详解】（1）由题可得，；
.
因为与共线，则；
（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，所以存在实数λ，使得=λ(λ∈R)，即，整理得，
所以m=.
7．已知
(1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若函数，求的最小值.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）当 时， ，与的夹角为钝角，
于是，且与不共线，
则 ，解得，又，即，
则有，又当与共线时，，解得，
因此与不共线时，，
所以的取值范围是.
（2）依题意，当时，
，
令，则，
于是，而函数在上为增函数，
则当时，y有最小值，
所以的最小值为
8．已知平面向量，，，且．
(1)求的坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，因为 ，所以，又，
解得，，所以；
（2），所以，
则向量在向量上的投影向量的模为；
综上，，向量在向量上的投影向量的模为5.
9．已知向量，.
(1)求；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）因为向量，，所以，
则
（2），
所以与的夹角为.
10．已知向量，．
(1)若，求在上的投影向量的模长；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意得当时,,
则，，
所以在上的投影向量的模为．
（2）由，，
由，得，
即，解得．
11．设，是两个不共线的向量．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，又向量夹角范围为[0,π]，
所以.
（2）因为，设，μ为实数，
即，则，即，解得．
12．已知当为何值时，
(1)与共线；
(2)与的夹角为
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以，
，
由与共线，则，所以.
（2）因为，，
因为与的夹角为，所以，得到，所以.
13．（1）已知单位向量、的夹角为，与垂直，求；
（2）已知向量，，，若，求.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为单位向量、的夹角为，所以，
又与垂直，所以，即，即，解得；
（2）因为，，所以，
又且，所以，解得.
14．已知向量，求：
(1)若﹐求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)1(2)
【详解】（1）因为，所以，，所以，
又因为，所以，解得，所以.
（2）因为，所以，
又，所以，即，所以.
15．已知向量，．
(1)若，求k的值；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）由已知，，
∵，∴，解得；
（2），
∵，∴，解得．
16．已知平面向量，．
(1)在方向上的投影向量；
(2)当k为何值时，与垂直．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）在方向上的投影向量.
（2）∵与垂直，，，
∴，即，解得．
17．已知向量，，
(1)当实数为何值时，向量与共线
(2)当实数为何值时，向量与垂直
【答案】(1)(2)
【详解】（1），，
向量与共线，所以，所以.
（2），，
向量与垂直，所以，解得.
18．已知向量，.
(1)求时，求的值；
(2)若与共线，求夹角
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，
当时，，∴，
∴.
（2），且与共线
∴，解得，
所以，，
所以夹角为.
19．已知向量，.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由向量，，可得，且，
所以与夹角的余弦值.
（2）解：由，可得，
即，解得.
20．设平面三点A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．
(1)若试求D点的坐标；
(2)试求向量与的夹角余弦值；
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，则，
因为所以，解得
所以D点的坐标为.
（2）由（1）知，又，
所以，
故向量与的夹角余弦值为.
21．已知，是同一平面内的两个向量，其中，且．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）设．
因为，，
所以即
又因为，所以．
解之得时，或时，，
所以或．
（2）记与夹角为．
因为，所以，
则，即，
所以，
又因为，所以．
22．设A，B，C，D为平面内的四点，且.
(1)若，求D点的坐标；
(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设，因为，于是，整理得，
即有，解得，
所以.
（2）因为，
所以，，
因为向量与平行，因此，解得，
所以实数k的值为.
23．已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且∥，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）解：设，因为，
∴，即，①
由∥，得，②
由①②，得或，
故或；
（2）解：因为与垂直，
所以，
即，
又，，
所以，整理得，
故，
又，
所以．
24．已知向量，， ，求的值.
【答案】
【详解】∵，，
∴，
∴
，
∴，
∴.
25．设向量
(1)求与垂直的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）由已知，设与垂直的单位向量为
则，解得或
即与垂直的单位向量为或
（2）由已知
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，解得，
又因为向量不与向量反向共线，
设，则
从而或（舍去），所以解得
26．已知非零向量和不共线.
(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若向量与向量平行，求实数k的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1），
又，， A，B，D三点共线；
（2）向量与向量平行，
存在实数使，
，解得.
27．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）由，
所以，
设，
因为，
所以，
因为，所以，
解得，或，
所以的坐标为或.
（2）由，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
，
解得且，
即实数的取值范围为.
28．已知向量、.
(1)求与的数量积.
(2)求与的夹角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，，所以.
（2）因为，，所以，，
所以.
29．已知向量，，，．
(1)若，求的值；
(2)若与垂直，求的值．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）因为，，
所以，又，
所以，
即，
解得或．
（2）因为，，
所以，
又与垂直，，
所以，
解得．
30．已知向量
(1)已知且，求
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）由，所以设
又得，解得，
所以或.
（2）由题知，，，，
所以，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量与向量的夹角为.
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向量运算的坐标表示
1．若向量，，．
(1)，求的值；
(2)若与共线，求k的值．
2．已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求向量与的夹角.
3．向量，向量．
(1)求；
(2)若向量与向量共线，，求的模的最小值．
4．已知向量，，．
(1)求与垂直的单位向量的坐标；
(2)若，求实数的值．
5．已知，．
(1)求，；
(2)求．
6．已知.
(1)当k为何值时，与共线
(2)若=，= 且A，B，C三点共线，求m的值.
7．已知
(1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若函数，求的最小值.
8．已知平面向量，，，且．
(1)求的坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
9．已知向量，.
(1)求；
(2)求与的夹角.
10．已知向量，．
(1)若，求在上的投影向量的模长；
(2)若，求实数的值．
11．设，是两个不共线的向量．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
12．已知当为何值时，
(1)与共线；
(2)与的夹角为
13．（1）已知单位向量、的夹角为，与垂直，求；
（2）已知向量，，，若，求.
14．已知向量，求：
(1)若﹐求；
(2)若，求的值．
15．已知向量，．
(1)若，求k的值；
(2)若，求k的值．
16．已知平面向量，．
(1)在方向上的投影向量；
(2)当k为何值时，与垂直．
17．已知向量，，
(1)当实数为何值时，向量与共线
(2)当实数为何值时，向量与垂直
18．已知向量，.
(1)求时，求的值；
(2)若与共线，求夹角
19．已知向量，.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求的值.
20．设平面三点A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．
(1)若试求D点的坐标；
(2)试求向量与的夹角余弦值；
21．已知，是同一平面内的两个向量，其中，且．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角．
22．设A，B，C，D为平面内的四点，且.
(1)若，求D点的坐标；
(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.
23．已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且∥，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角．
24．已知向量，， ，求的值.
25．设向量
(1)求与垂直的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
26．已知非零向量和不共线.
(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若向量与向量平行，求实数k的值.
27．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
28．已知向量、.
(1)求与的数量积.
(2)求与的夹角的余弦值.
29．已知向量，，，．
(1)若，求的值；
(2)若与垂直，求的值．
30．已知向量
(1)已知且，求
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
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