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数列求和的运算
1．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
3．已知数列为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数2作为；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为，，，并添加后继数3作为，…依次继续下去.记表示数列中首次出现时对应的项数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
4．已知等差数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
5．已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.
6．设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
7．已知数列满足：，且对任意的，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
8．已知正项数列的前项和为，且对任意，成等差数列，又正项等比数列的前项和为，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，是否存在正整数，使.若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
9．已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
10．已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足求数列的前2n项的和．
11．设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
12．已知是递增的等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)，数列满足，求的前项和．
13．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
14．已知为数列的前n项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
15．已知函数的首项，且满足．
(1)求证为等比数列，并求．
(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．
16．已知各项均为正数的数列{}满足（正整数
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和.
17．已知在数列中，，且是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求使得的最大整数m的值；
(3)设，求数列的前n项和
18．已知数列各项都不为，前项和为，且，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为
19．已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
20．在数列中，，.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
22．已知数列满足（n≥2，），．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
23．已知数列是公差为的等差数列，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和.
24．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
25．已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和.
26．已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
27．数列满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求的前项和为.
28．已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
29．已知数列、，满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
30．已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
31．已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
32．记数列的前n项和为，已知，，．
(1)求，t；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和．
33．数列中，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求出；
(2)记数列的前n项和为．若，求．
34．已知数列满足，．
(1)记求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
35．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和
36．已知数列和，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
37．等比数列的前n项和为，已知，且成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和．
38．已知数列的前n项和为，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
39．已知数列满足：.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
40．已知正项等差数列的前n项和为，其中，.
(1)求数列的通项公式及；
(2)若，求数列的前n项和.
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数列求和的运算
1．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
，
,解得，
（2），
.
2．正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
【答案】(1)；；(2).
【详解】（1）由可得，，
又因为为正项数列的前n项和，所以，
因为，所以，
所以，数列为等差数列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
3．已知数列为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数2作为；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为，，，并添加后继数3作为，…依次继续下去.记表示数列中首次出现时对应的项数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意知：，即，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）可知，，所以在前项中出现1次，
5在前项中出现2次，4在前项中出现次，3在前项中出现次，2在前项中出现次，1在前项中出现次，
所以.
4．已知等差数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设公差为，由，，得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
故数列的前项和为.
5．已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.
【答案】(1)证明见解析，，
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
而，变形可得：，
故是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
（2）由题意可得：，，令，
则，此时满足条件，
即时为公共项，
所以
.
6．设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，则.
（2）由题设知：，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上，，.
7．已知数列满足：，且对任意的，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，，证明见解析(2)
【详解】（1），.
由题意得，
又，所以数列是等比数列.
（2）由（1）知.
运用分组求和，可得
.
8．已知正项数列的前项和为，且对任意，成等差数列，又正项等比数列的前项和为，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，是否存在正整数，使.若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设的公比为，显然，
由，可得，
解得或（舍去），又，所以，
又对任意，成等差数列，，
所以.
因为，
所以，所以，
故是以为首项，公差的等差数列，
所以，又，
所以，所以.
当时，，
时，满足上式，
故.
（2），
设，
①，
②，
①-②，得
，
所以，
故不存在正整数，使.
9．已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设的公比为，则，又，
当时，，当时，，
两式相减可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比数列的通项公式为；
（2）由，，可得，
所以，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以.
即.
10．已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足求数列的前2n项的和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，
即，
解得或．
因为，所以，
所以．
（2）由（1）得
所以，
所以
，
，
所以数列的前2n项的和．
11．设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）当时，，
当时，，
两式相加可得，得，
由于，所以
12．已知是递增的等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)，数列满足，求的前项和．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，，
因为数列为等比数列，则，即，
因为，解得，.
又因为，，所以，等比数列的公比为，
因此，.
（2）解：由，①
可得，所以，，
当时，，②
①②得，所以，，
不满足，所以，.
当时，，
当时，，
也满足，
综上所述，对任意的，.
13．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，所以，所以，
，
所以
14．已知为数列的前n项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
所以，
两式相减得，
化简得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2），
所以
所以．
15．已知函数的首项，且满足．
(1)求证为等比数列，并求．
(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．
【答案】(1)证明见解析，(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
所以.
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，所以.
（2）因为，
所以
.
设，
所以，
所以
，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以.
16．已知各项均为正数的数列{}满足（正整数
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，
得：，
因为，
所以，
又，
所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.
（2）由（1），则，
所以
.
17．已知在数列中，，且是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求使得的最大整数m的值；
(3)设，求数列的前n项和
【答案】(1)(2)8(3)
【详解】（1）由可知，又是公差为1的等差数列，
所以，故．
（2），
，
则，整理得，
解得，故满足条件的最大整数m的值为8．
（3）由题得，
则，
，
两式相减得，
所以.
18．已知数列各项都不为，前项和为，且，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为
【答案】(1);;(2)
【详解】（1）由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为，所以数列是以为公比的等比数列．令，则，解得，故．
由题知，
所以
（2）由（1）得，所以，
，
两式相减得，
所以．
19．已知等比数列的公比为2，数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
又，解得．
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故．
则，即．
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，故．
（2）由（1）可得，，所以．
则①，
②，
①-②可得，
所以．
因为，所以是递增数列．
则，故．
20．在数列中，，.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；；(2)
【详解】（1），
当时，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，；
（2）
数列的前项和
．
21．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为是公差为2的等差数列，所以，
所以.
（2），①
所以，②
① -②则，
所以.
22．已知数列满足（n≥2，），．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）∵，
∴，
所以，又，
∴是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上．
23．已知数列是公差为的等差数列，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为是公差为的等差数列，，
所以当时，，
当时，，
因为，即，
解得，所以或（舍去），
所以；
（2）由（1）得，
.
所以.
24．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以当时，，
两式相减，得，整理得，
即时，，又当时，，解得，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以，
令，易知，，
设数列的前项和为，则①，②，
由①-②，得，
即，
所以，
所以.
25．已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设数列的公比为，
则，，解得，
所以，即的通项公式为；
（2）由题可知，
则，
，
两式相减得：
，
.
26．已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，，
所以，
所以
当时， 满足条件，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以 .
27．数列满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求的前项和为.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，，所以，
设设其前项和为，
则①
②
减②得
所以
所以
28．已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，
∴，
又，∴，即．
又，
且，∴
（2），∴，，
又，
∴.
29．已知数列、，满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，
即，，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以的通项公式为.
（2）解：，则，
所以，，
故.
30．已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）因为数列是首项为2，公差为的等差数列，
所以，则，得（），
两式相减得：，则，
（），
又适合上式，故．
另解：由得（），
故为常数列，
则，故．
（2）由（1）得，
所以，
则.
31．已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）若等差数列公差为，则，即，
由，则，
所以的通项公式.
（2）由题设，
当为偶数，则；
当为奇数，则；
所以且.
32．记数列的前n项和为，已知，，．
(1)求，t；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和．
【答案】(1)，t＝2
(2)
(3)
【详解】（1）由（）可得，，，，
又，，则解得，t＝2．
（2）由（）可得，
当n为奇数时，，所以数列的奇数项是一个公差为3的等差数列，又，则；
当n为偶数时，，所以数列的偶数项是一个公差为3的等差数列，又，则，
则．
（3）
．
，则，
即．
33．数列中，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求出；
(2)记数列的前n项和为．若，求．
【答案】(1)证明见详解，(2)1360
【详解】（1）因为，
则，且，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
故，可得.
（2）因为，即，
当时，则，解得；
当时，则，
两式相减得：，整理得；
所以
，
即.
34．已知数列满足，．
(1)记求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），，
又，，
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以数列的前n项和为
=
.
35．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和
【答案】(1)，，；(2)
【详解】（1），，成等差数列，
，即，
当时，，即，
当时，，
是等比数列，
，则，得，
数列的通项公式为，；
（2），
则前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
36．已知数列和，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
，
.
（2），
设，
则，
两式相减得，从而
.
37．等比数列的前n项和为，已知，且成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，
所以，
因为，所以，即，
所以.
（2）由（1）得，因为，所以，
所以，即；
，
，
两式相减可得
；
所以.
38．已知数列的前n项和为，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，当时，，两式作差得，
即，又，所以，当时，，
又当时，，解得，
可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以，即
（2）由（1）知，所以，
.
39．已知数列满足：.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）设，则，且，
因为，所以，
即是以4为首项，2为公比的等比数列，
则数列是等比数列.
（2）由（1）知，则，即，
则，
，
两式相减得：，
所以.
40．已知正项等差数列的前n项和为，其中，.
(1)求数列的通项公式及；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，则，
因为，所以，
化简为，解得：或（舍），
所以，；
（2），

两式相减得，
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