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浙教版八下第五章特殊四边形提升卷（含解析）
一、单选题
1．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，且AB＞AD.点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状不可能是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，若要使四边形EFGH为菱形，则还需增加的条件是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AC⊥BD且AC＝BD D．AB＝AD
4．如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作BD的垂线分别交，于E，F两点，若，，则的长度为（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
6．如图，在矩形中，，，动点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点出发了（　　）
A． B．s或 C．s或 D．s
7．如图， 已知四边形ABCD是正方形，E为对角线 上一点， 连结DE，过点E作， 交 的延长线于点， 以 为邻边作矩形 ， 连结 ．若 ， 则 的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含内角的菱形（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为，四边形面积是，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）．
A．48 B．24 C． D．
9．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（　　）
①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC=-1．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知：如图，正方形中，相交于点分别为边上的动点（点 不与线段的端点重合）且，连接．在点运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是1；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积始终是1．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
二、填空题
11．在矩形纸片中，已知，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为　 　．
12．如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为　 　．
13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是　 　.
14．如图，已知四边形是正方形，点P是对角线上一点，于点H，，，则　 　；连接，则　 　．
15．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处. 已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于　 　.
16．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点A作的垂线交于P．若，，则下列结论：
①；
②点D到直线的距离为；
③；
④正方形的面积为；
以上结论中，正确的序号是．
三、解答题
17．如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形面积是15，求的长．
18．如图，在7×7的正方形网格图中，线段AB的两个端点都在格点上，分别按下列要求画格点四边形.（要求图1与图2的两个四边形不全等）
（1）在图1中画一个以AB为边的矩形；
（2）在图2中画一个以AB为边的平行四边形且与（1）中所画的矩形面积相等.
19．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
20．如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点于点，连接．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）求的最小值．
21．如图， 在正方形 中， 是对角线 上的一点 （与点 不重合）， 分别为垂足． 连结 ， 并延长 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）判断 与 是否垂直，并说明理由
22．如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F．
（1）当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______．
（2）当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，．
（1）如图1，请直接写出点A的坐标，并求出直线的解析式．
（2）如图2，直线是线段的垂直平分线，垂足为点D，且交y轴于点C，连接，若点P是直线上的一动点，当点P使得时，请求出符合条件的点P坐标．
（3）在（2）的条件下，若点P在直线上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．
（1）如图①，若，则当点N落在上时，和的数量关系是_______；的度数为_____；
思考探究：
（2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点，当点落在上时，如图②，设、分别交于点J、K，若，请求出三角形的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接、，若，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴ AO＝CO，CDAB
∴∠OAE＝∠OCF
∵∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，
当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形
可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，不可能是正方形.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得 AO＝CO，CD∥AB，由平行线的性质得∠OAE＝∠OCF，证明△AOE≌△COF，得到OE＝OF，推出四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形，据此判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12.
故答案为：C.
【分析】对原方程因式分解可得(x-4)(x-6)＝0，求解可得x的值，即菱形的两对角线长，然后根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行解答.
3．【答案】A
【解析】【解答】可添加的条件是：AC=BD，
证明：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，HG∥AC，HG= AC，GF= BD，
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC=BD，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：A．
【分析】可添加的条件是：AC=BD，连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EF∥AC，EF= AC，HG∥AC，HG= AC，推出EF=HG，EF∥HG，即可得四边形EFGH是平行四边形，再根据三角形的中位线定理得到EF= AC，GF= BD，由AC=BD，推出EF=GF，进而证明四边形EFGH为菱形．
4．【答案】B
5．【答案】A
【解析】【解答】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2.
故答案为：A.
【分析】取AB中点G，连接PG，根据菱形的性质可得AD=DC=AB=BC=2，PE=PG，则PE+PF=PG+PF，故当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，根据中点的概念可得DF=CD=AG，易得四边形AGFD是平行四边形，则FG=AD=2，据此解答.
6．【答案】B
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠EMC=∠ENC=∠DNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA，∠MCN=∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠MCN=∠ENC=∠EMC=90°，EM=EN，
∴四边形EMCN是正方形，
∴∠MEN=∠MEF+∠NEF=90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠DEF=∠DEN+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
在和中，
，
∴，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG为矩形，
∴四边形DEFG为正方形，
∴∠EDG=∠EDC+∠CDG=90°，DE=DG，
又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在和中，
，
∴，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴CE+CG的值为4，
故答案为：C.
【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，根据正方形的性质得∠BCA=∠DCA，∠MCN=∠ADC=90°，AD=CD，由角平分线的性质得EM=EN，于是证出四边形EMCN是正方形，然后证出，得EF=DE，从而证出四边形DEFG为正方形，进而得DE=DG、∠ADE=∠CDG，则可求证，得AE=CG，于是有CE+CG=CE+AE=AC，最后根据等腰直角三角形的知识即可求解.
8．【答案】A
9．【答案】C
【解析】【解答】解：①DF⊥AB；
∵ ABCD是菱形
∴AB=AD=2，
∴AG=DG
∴
∵F为边AB的中点，
∴
∴AF=AE
∴在AGF和AGE中
∴AGF ≌AGE(SAS)
∴
即
故①正确
②CG=2GA；
连接BD交AC于O
由①知
∴AFD ≌BFD(SAS)
∴AB=BD=AD=2
∴
∴
∴
∵ ABCD是菱形
∴
∴在RtAGE中
∴
∴
∴
即CG=2AG
故②正确
③CG=DF+GE；
在RtADF中，
∴
∴
故③正确
④S四边形BFGC=-1
故④不正确
故答案为：C
【分析】①根据菱形性质，由等角找到等腰三角形，根据三线合一，找到全等条件，得到对应角相等，都是90°，垂直得证；②由上一个证明的结论可证ABD是等边三角形，故可由勾股定理先求出对角线AC的一半，再求AC，进而求出CG和AG的长，再求它们的比值即可证明是2倍关系；③计算DF与GE的和，与CG相等；④经过前三个选项的证明，易求三角形ABC和AFG的面积，故求得四边形BFGC的面积。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形中，，相交于点，
∴，互相垂直平分，且平分正方形的四个角，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴始终是等腰直角三角形．
∴选项①结论正确，符合题意；
∵始终是等腰直角三角形，
∴．
∴最小时，面积有最小值，
即当时，面积有最小值．
∵正方形中，，
又∵已证是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴面积的最小值为．
∴选项②结论错误，不符合题意；
∵，
又∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴．
∵已证始终是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵已求最小值为1，
又∵当时，有最大值为，
∴，
∴，
∴，
故至少存在一个，使得的周长是，
选项③结论正确，符合题意；
∵已证，
∴，
∴，
∵已求，
∴．
选项④结论正确，符合题意；
综上，①③④结论正确，
故答案为：C．
【分析】通过正方形的性质，证明，从而得出始终是等腰直角三角形，，计算，即可得到．再由最小时，面积有最小值，先求得的最小值，从而得到面积的最小值．同理，运用，将的周长转化为，通过求范围，得到周长的范围．
11．【答案】或3
12．【答案】13
13．【答案】6
【解析】【解答】解：∵∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由折叠性质得：∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3，
∴CF=AF=3，
∴AC=6.
【分析】根据等角对等边得出AE=CE，根据矩形的性质和折叠的性质得出∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3，再根据等腰三角形的性质得出CF=AF=3，即可得出AC的长.
14．【答案】2；
15．【答案】或1
16．【答案】①④
17．【答案】（1）证明：∵，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
是菱形.
（2）解：，
，
连接，交于，则，如图所示：
设，则，
，，
，
，
，
，
．

【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合OC=OD，证出是菱形即可；
（2）连接，交于，则，设，则，利用三角形的面积公式可得，求出x的值，最后利用勾股定理求出AC的长即可.
18．【答案】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求
（2）解：如图，平行四边形ABCD即为所求.
【解析】【分析】（1）利用矩形的四个角是直角及勾股定理的逆定理，画出矩形ABCD；
（2）利用平行四边形的判定定理及性质，按要求画出平行四边形ABCD即可.
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形.
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【解析】【分析】（1）先证出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可证出四边形为平行四边形；
（2）先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求出，最后求出四边形的面积为即可．
（1）证明：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
20．【答案】（1）解：∵四边形是菱形
∴
∵于点F，于点G，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，作于点H，
∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
解得，
∵四边形为矩形
，
，
，
∴的最小值为．
21．【答案】（1）证明： 在正方形 中， ，
；
（2）解：， 理由如下 ． 连结 交 于点 ， 如图．
为正方形 的对角线，
，AD=CD，∠BCD=90°，
又
(SAS)，
．
BC ，
∴∠GFC=∠FCE=∠CEG=90°，
∴四边形 为矩形，
，
．
由（1）得
，
= ，
．
【解析】【分析】（1）由正方形及垂直的定义得∠ADE=∠GEC=90°，由同位角相等，两直线平行得AD∥GE，再由两直线平行，同位角相等得∠DAG=∠EGH；
（2）AH⊥EF，理由如下：连接GC交EF于点O，由正方形的性质得∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD，从而由SAS判断出△ADG≌△CDG，得∠DAG=∠DCG，由三个角是直角的四边形是矩形易得四边形FCEG是矩形，由矩形的对角线相等且互相平分得OE=OC，由等边对等角得∠OEC=∠OCE，从而可推出∠EGH=∠OEC，进而根据角的构成、等量代换及三角形的内角和定理可推出∠GHE=90°，从而根据垂直的定义得出结论.
22．【答案】（1）45°
（2）60°
23．【答案】（1），
（2）或者
（3）存在，
24．【答案】（1）；；（2）；（3）
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