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浙教版八下第五章特殊四边形基础卷（含解析）
一、单选题
1．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形
2．如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（　　）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
3．有下列性质：①对边平行且相等；②对角线相等；③对角线互相平分；④对角线互相垂直；⑤对角相等．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中都具有的是（　　）
A．①②④ B．①③⑤ C．①③④ D．②③⑤
4．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE=3，AB=4，BE=5，则重叠部分的面积是( )
A．8 B．10 C．12 D．13
5．如图，在矩形，对角线与相交于点，于点O，交于点E，若的周长为8，，则的长为 （　　）
A．2 B．5.5 C．5 D．4
6．如图，在矩形中，平分交于点E，连接，若，则的长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．20
7．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
二、填空题
11．如图，点是菱形的边上一点，且，则　 　．
12．如图，矩形的对角线、相交于点O，是等边三角形，，矩形的面积为　 　．
13． 如图， 在菱形 中， 交 于点 于 ， 连结 ． 若 ， 则 　 　.
14．南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中称：“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦．弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同．”这就是“勾中容横，股中容直”原理．用数学语言描述为：如图，在矩形中，点是边上一点，过点作，交于点，交对角线于点，过点作，交于，交于，则四边形与四边形面积相等．若，连接，则的面积为　 　．
15．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为　 　．
16．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为　 　．
三、解答题
17．在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．
（1）在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______；
（2）在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个；
（3）在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=10，BD=6，AB=4.
（1）求证：AB⊥BD；
（2）E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形.
19．四边形是菱形，对角线与相交于，，，求的长．
20．如图，四边形ABCD是一个矩形，BC=10cm，AB=8cm．现沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，求：（1）BF的长；（2）CE的长.
21．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，则问题：①求长；②求长．
请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）．
22． 如图，在矩形中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）连结，若平分，求证四边形的为菱形．
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且.
（1）求证：；
（2）当时.，求四边形AECF的面积.
24． 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的角平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为8，
∴AB+AE+BE＝8，
∴3+BC＝8，
∴AD ＝BC＝5，
故答案为：C．
【分析】根据矩形性质求出AE＝EC，再根据△ABE的周长为8，求出BC即可解得.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，
∵AE=10，∴BE==8，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6，
∴AD=BC=8+6=14；
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，利用勾股定理及平行的性质可得BE=8，∠ADE=∠DEC，由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，即得∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CE=CD=6，利用AD=BC=BE+CE即可求解.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】先由矩形的性质“对边相等、四个角都是直角”，再由勾股定理即可计算出对角线AC的长，再由直角三角形斜边中线的性质求出DO的长.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，
ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分，
∴ND=NB，
当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM，
当点N与点E重合时，NB+NM=BM，
∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM，
ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°，
∴CM=CD-DM=8-2=6，
∴BM=，
∴DN+MN的最小值为10，
故答案为： C．
【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可；
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】20°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，∠CBD=∠ABC=70°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴OE=OD，∠BDE=90°-∠CBD=20°，
∴∠OED=∠BDE=20°.
故答案为：20°.
【分析】由菱形的性质得OB=OD，∠CBD=∠ABC=70°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得OE=OD，由直角三角形两锐角互余得∠BDE=90°-∠CBD=20°，进而根据等边对等角可得∠OED=∠BDE=20°.
14．【答案】
15．【答案】4
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在中，DH=，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形EFGH的面积=10-=4，
故答案是：4．
【分析】由正方形的面积公式得出AD2=10，在中，利用勾股定理得出DH的值，再根据三角形面积公式得出三角形ADH的面积，由此得解。
16．【答案】4
17．【答案】（1）10
（2）6
（3）
18．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10，BD=6，
∴AO=CO=5，BO=DO=3.
∵AB=4，
∴32+42=52，即BO2+AB2=AO2，
∴△ABO为直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD.
（2）解：由（1）知△ABO为直角三角形.
∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴BE=DE=AE，BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO=5，BO=DO=3，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABO=90°，且∠ABD=90°，从而即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DE=AD，由中点定义得BF=CF=BC，由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，BC∥AD，则BF=DE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEDF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
19．【答案】解：四边形是菱形，对角线与相交于，
，，
，，
，
．
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AC与BD垂直平分，先利用勾股定理求得BO的长，2BO即可得到BD.
20．【答案】（1）6；（2）3
21．【答案】（1）
（2）①；②
22．【答案】（1）证明：四边形为矩形，
，，
，
；
（2）证明：如图，连接．
，
，，
∴，
四边形是平行四边形．
平分，
，
∵，
，
，
，
四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得：AB=DC，∠B=∠DCF，结合已知，用边角边可证得△ABE≌△DCF；
（2）连接DE，由（1）中的全等三角形可得AE=DF，∠AEB=∠F，由平行线的判定可得AE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠ADE=∠AED，由等角对等边可得AE=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解.
23．【答案】（1）证明： 在矩形ABCD中， AB=CD，∠B=∠D=90°
∵
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)
（2）解：如图，设AC与EF交于点O
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CDF
∴BE=DF
∵AD=CB
∴AF=CE，AF∥CE
∴四边形AECF为平行四边形
又∵
∴四边形AECF为菱形，
∴
在Rt△AOE中，
∴EF=12
∴ 四边形AECF的面积 为：.
【解析】【分析】（1）由矩形性质可以推出：都是直角三角形，再根据HL判定这两个三角形全等即可
（2）根据全等证明四边形AECF为平行四边形，又因为，得出四边形AECF为菱形，再根据勾股定理：求出OE，即求出EF，再根据菱形的面积公式求出菱形ACF的面积即可.
24．【答案】（1）证明：
，
，
又平分，
，
，
，
同理：，
（2）解：当点运动到的中点时，四边形是矩形．
当点运动到的中点时，，
又，
四边形是平行四边形，
由可知，，
，
，即，
四边形是矩形．
（3）解：当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．
由知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是正方形．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，根据等边对等角性质得，同理可得，即可求出答案.
（2）当点运动到的中点时，，由可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求出答案.
（3）由知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，再根据矩形性质及正方形的判定定理即可求出答案.
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