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第3课时　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目标要求　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2.能灵活处理多过程问题。
考点一　自由落体运动
1.条件：物体只受重力，从静止开始下落。
2.运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。
3.基本规律：
(1)速度与时间的关系式：v＝gt。
(2)位移与时间的关系式：h＝gt2。
(3)速度位移关系式：v2＝2gh。
1.重的物体总是比轻的物体下落得快。(　×　)
2.同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(　√　)
3.自由落体加速度的方向垂直地面向下。(　×　)
4.做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。(　√　)
5.不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(　√　)
例1　(2024·广西卷·3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A.v1＝5 m/s B.v1＝10 m/s
C.v2＝15 m/s D.v2＝30 m/s
答案　B
解析　重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1 s后速度为v1＝v2＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故选B。
例2　(2025·江苏无锡市段考)对于自由落体运动(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A.在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B.在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C.在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D.在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
答案　B
解析　在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。
例3　(2025·福建龙岩市开学考)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小；
(2)高楼面离窗的上边框的高度；
(3)若隔0.5 s先后释放两个鸡蛋，试分析在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离如何变化？
答案　(1)20 m/s　15 m　(2)4.05 m　(3)两鸡蛋之间的距离均匀增大
解析　(1)根据速度与位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为v＝20 m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度与时间关系得t＝＝2 s
鸡蛋在第1 s内的位移为h1＝g＝5 m
则鸡蛋落地前最后1 s内的位移大小为
h2＝h－h1＝15 m
(2)由题意知，窗口的高度为h3＝2 m
设高楼面离窗的上边框的高度为h0，鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0，
则h0＝g，h0＋h3＝g(t0＋Δt)2
联立解得h0＝4.05 m
(3)未落地前，设第二个鸡蛋运动了时间T，则第一个鸡蛋运动了T＋ΔT
第一个鸡蛋下落高度H1＝g(T＋ΔT)2，第二个鸡蛋下落高度为H2＝gT2，二者之间的距离ΔH＝H1－H2＝gΔT2＋gΔT·T，ΔH与T为一次函数关系，故在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离均匀增大。
1.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
考点二　竖直上抛运动
1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。
2.运动性质：匀变速直线运动。
3.基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。
(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。
4.竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
物体做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若速度v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
答案　速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。
例4　为测试一物体的耐摔性，在离地25 m高处，将其以20 m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则物体
(1)经过多长时间到达最高点？
(2)抛出后离地的最大高度是多少？
(3)经过多长时间回到抛出点？
(4)经过多长时间落到地面？
(5)经过多长时间离抛出点15 m？
答案　(1)2 s　(2)45 m　(3)4 s　(4)5 s
(5)1 s　3 s　(2＋) s
解析　(1)运动到最高点时速度为0，
由v＝v0－gt1得t1＝－＝2 s
(2)由＝2ghmax得hmax＝＝20 m，
所以Hmax＝hmax＋h0＝45 m
(3)法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2 s，
hmax＝20 m，下落时，hmax＝g，
解得t2＝2 s，故t＝t1＋t2＝4 s
法二：由对称性知返回抛出点时速度为20 m/s，方向向下，则由v1＝v0－gt，得t＝－＝4 s
法三：由h＝v0t－gt2，令h＝0，
解得t3＝0(舍去)，t4＝4 s
(4)法一：分段法
由Hmax＝g，解得t5＝3 s，故t总＝t1＋t5＝5 s
法二：全程法
由－h0＝v0t'－gt'2
解得t6＝－1 s(舍去)，t7＝5 s
(5)当物体在抛出点上方时，h＝15 m，
由h＝v0t－gt2，解得t8＝1 s，t9＝3 s，
当物体在抛出点下方时，h＝－15 m，由h＝v0t－gt2，得t10＝(2＋) s，t11＝(2－) s(舍去)。
1.竖直上抛运动的研究方法：
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
考点三　多过程问题
例5　(2025·北京师范大学附属实验中学零模)在游乐场中有一种大型游戏项目“垂直极限”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，由电动机将座椅沿竖直轨道(可视为光滑轨道)提升到离地面一定高度处，然后由静止释放，可以认为座椅沿轨道做自由落体运动，下落2 s后座椅受到压缩空气提供的恒定阻力作用而立即做匀减速运动，再经历4 s座椅速度恰好减为零，关于座椅的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比∶＝1∶1
B.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为∶＝2∶1
C.自由落体阶段和匀减速阶段的位移大小之比x1∶x2＝2∶1
D.自由落体阶段和匀减速阶段的加速度大小之比a1∶a2＝1∶2
答案　A
解析　设全过程最大速度为vm，根据匀变速直线运动推论：可知自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度，故A正确，B错误；根据x＝t可知，故C错误；根据a＝可知，故D错误。
　匀变速直线运动多过程中的0－v－0模型
1.题型特征：物体的初速度为0，先匀加速到v，再匀减速到末速度为0。
2.分段结论：，t1、t2、x1、x2、a1、a2分别是前段和后段的时间、位移大小和加速度大小。
3.全程结论：加速阶段、减速阶段和全程的平均速度相同，最大速度vm＝2。
例6　(来自教材改编)ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1为12 m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10 m处正好匀减速至v2为4 m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝20 s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶，设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1 m/s2。求：
(1)汽车过ETC通道时，从开始减速至恢复正常行驶过程中的位移大小；
(2)汽车过人工收费通道时，应在离收费站中心线多远处开始减速；
(3)汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间。
答案　(1)138 m　(2)72 m　(3)25 s
解析　(1)过ETC通道时，减速的位移和加速的位移相等，
则x1＝＝64 m
故总的位移x总1＝2x1＋d＝138 m。
(2)过人工收费通道时，开始减速时距离中心线的距离为x2＝＝72 m。
(3)过ETC通道的时间t1＝×2＋＝18.5 s
过人工收费通道的时间t2＝×2＋t0＝44 s
x总2＝2x2＝144 m
二者的位移差Δx＝x总2－x总1＝6 m
在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，
则Δt＝t2－(t1＋)＝25 s。
　匀变速直线运动多过程的解题策略
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。
课时精练
(分值：100分)
1~6题每小题6分，7题9分，共45分
1.一质点从某一高度自由下落，落地时的速度为30 m/s，g取10 m/s2，则该物体下落的高度为(　　)
A.10 m B.30 m C.90 m D.45 m
答案　D
解析　根据速度位移关系有v2－0＝2gh，代入数据解得h＝45 m，故选D。
2.(2025·江苏苏州市调研)以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，则小树高约为(　　)
A.0.8 m B.1.6 m
C.2.4 m D.3.2 m
答案　C
解析　石子竖直上升的最大高度为H＝＝3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝＝0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝g＝0.8 m，则小树高约为h＝H－h1＝2.4 m，故选C。
3.(2024·北京市东城区期末)甲、乙两物体距水平地面的高度之比为1∶2，所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙落地时的速度大小之比为1∶
B.所受重力较大的乙物体先落地
C.在两物体均未落地前，甲、乙的加速度大小之比为1∶2
D.在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离越来越近
答案　A
解析　由于不计空气阻力，两物体均做自由落体运动，由v2＝2gh可知v＝，所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶，故A正确；由h＝gt2可知t＝，所以物体做自由落体运动的时间取决于高度，与物体所受重力的大小无关，即甲物体先落地，故B错误；由于两物体都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故C错误；由于两物体都做自由落体运动且同时下落，则在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离不变，故D错误。
4.(2021·湖北卷·2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A.0.2 s B.0.4 s C.1.0 s D.1.4 s
答案　B
解析　陈芋汐下落的整个过程所用的时间为
t＝ s≈1.4 s
下落前5 m的过程所用的时间为
t1＝ s＝1 s
则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，故B正确。
5.(2025·河南南阳市检测)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
答案　C
解析　由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知＝2＋，即3<<4，选项C正确。
6.(2022·全国甲卷·15)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA. B.
C. D.
答案　C
解析　由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v7.(9分)(来自教材改编)(2025·北京市西城区期末)某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是0.01 s。测得照片中石子运动痕迹的长度为0.6 cm，实际长度为100 cm的窗框在照片中的长度为2 cm(g取10 m/s2)。
(1)(3分)根据照片估算曝光时间内石子下落的距离为　　　　 m；
(2)(3分)估算曝光时刻石子运动的速度为　　　　 m/s；
(3)(3分)估算这个石子大约是从距离窗户　　　　 m高的地方落下的。
答案　(1)0.3　(2)30　(3)45
解析　(1)设在曝光时间0.01 s内，石子实际下落的距离为L，
由题意得
解得L＝30 cm＝0.3 m
(2)考虑到曝光时间极短，石子的平均速度近似等于瞬时速度，
则石子在这0.01 s内的速度为v＝，
解得v＝30 m/s
(3)石子做自由落体运动，故h＝
解得h＝45 m。
8~10题每小题8分，11题14分，共38分
8.(2025·江西宜春市丰城中学月考)打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则弹丸在上升过程中最初1 s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为(　　)
A.45 m/s　125 m B.45 m/s　75 m
C.36 m/s　125 m D.36 m/s　75 m
答案　A
解析　射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h＝gt2，弹丸最后1 s内上升的高度h1＝×10×12 m＝5 m，则最初1 s内上升的高度h2＝9h1＝45 m，最初1 s内中间时刻的速度v＝ m/s＝45 m/s，弹丸的初速度v0＝v＋gt'＝45 m/s＋10×0.5 m/s＝50 m/s，故上升的最大高度为h＝ m＝125 m，故选A。
9.(2025·四川泸州市检测)小明在一匀速上升的电梯内，观察到电梯顶部有一螺丝因松动而掉落。已知电梯顶部离电梯地板的高度为3.2 m，电梯匀速上升的速度大小为2 m/s，忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，则螺丝从电梯顶部掉落到地板上的时间为(　　)
A.0.4 s B.0.6 s C.0.8 s D.1.6 s
答案　C
解析　方法一：以地面为参考系，匀速运动的电梯上脱落的螺丝做竖直上抛运动，电梯一直做匀速运动，电梯和螺丝的位移差等于电梯顶部离电梯地板的高度，则vt－(vt－gt2)＝h，即h＝gt2，解得t＝＝0.8 s，故选C。
方法二：以电梯为参考系，电梯匀速上升，螺丝相对电梯做自由落体运动，则由h＝gt2得t＝＝0.8 s。
10.(2024·上海市向明中学期中)无人机甲与三楼阳台平齐悬于空中，从无人机上同时以10 m/s的速率抛出两个小球，其中一个球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为Δt；如果另一无人机乙与六楼阳台平齐悬于空中，以与甲完全相同的方式抛出两个小球，则它们落地的时间差为Δt'。不计空气阻力，Δt'和Δt相比较，有(　　)
A.Δt'<Δt B.Δt'＝Δt
C.Δt'>Δt D.无法判断
答案　B
解析　设小球的抛出高度为h，竖直上抛和竖直下抛经历的时间分别为t1和t2，则有h＝－v0t1＋g，h＝v0t2＋g，整理可得Δt＝t1－t2＝，即时间差是一个定值，与高度无关。故选B。
11.(14分)(2025·江西赣州市开学考)沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6 km，列车运行最大速度为72 km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线运动，直至到T站停车，且加速的加速度大小为减速加速度大小的0.8倍。现匀加速运动过程中连续经过A、B、C三点，S→A用时2 s，B→C用时4 s，且SA长2 m，BC长24 m。求：
(1)(6分)列车在C点的速度大小；
(2)(8分)列车匀速行驶的时间。
答案　(1)8 m/s　(2)62 s
解析　(1)由x＝at2可知
a1＝1 m/s2
根据可知BC段平均速度＝6 m/s
由v＝v0＋at得vC＝＋a1·
解得vC＝8 m/s
(2)由Δv＝a·Δt得
匀加速阶段所用时间t1＝＝20 s
匀减速阶段所用时间t2＝＝16 s
匀加速阶段通过的位移x1＝t1＝200 m
匀减速阶段通过的位移x2＝t2＝160 m
匀速运动时间t3＝＝62 s。
12.(17分)(2025·四川内江市检测)如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度为H(已知量)，筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，它与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面(在此之前小球未碰过地)，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)(7分)圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度hmax；
(2)(10分)小球从释放到第一次落地所经历的时间t以及圆筒的长度L。
答案　(1)H　(2)　H
解析　(1)圆筒第一次落地前做自由落体运动，
有2gH＝
圆筒第一次落地弹起后到最高点做加速度为g的匀减速直线运动，
有－2ghmax＝0－(v筒)2
联立解得hmax＝H。
(2)根据h＝gt2可得，圆筒第一次落地的时间t1＝
圆筒第一次弹起后到最高点的时间
t2＝
圆筒第一次弹起后到落地时与小球同时到达地面，
所以小球从释放到第一次落地所经历的时间
t＝t1＋2t2＝＋2×
可知小球下落的高度h球＝gt2＝H
则圆筒的长度L＝h球－H＝H。(共64张PPT)
物理
大
一
轮
复
习
第一章
运动的描述　匀变速直线运动的研究
第3课时
自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目标
要求
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。
2.能灵活处理多过程问题。
课时精练
内容索引
考点一　自由落体运动
考点二　竖直上抛运动
考点三　多过程问题
1.条件：物体只受　　　，从　　　开始下落。
2.运动性质：初速度为　　、加速度为 的匀加速直线运动。
3.基本规律：
(1)速度与时间的关系式：　　　。
(2)位移与时间的关系式：　　　　 。
(3)速度位移关系式： 。
自由落体运动
考点一
重力
静止
零
v＝gt
h＝gt2
v2＝2gh
g
1.重的物体总是比轻的物体下落得快。(　　)
2.同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(　　)
3.自由落体加速度的方向垂直地面向下。(　　)
4.做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。(　　)
5.不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(　　)
×
√
判断正误
×
√
√
(2024·广西卷·3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则
A.v1＝5 m/s B.v1＝10 m/s
C.v2＝15 m/s D.v2＝30 m/s
例1
√
重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1 s后速度为v1＝v2＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故选B。
(2025·江苏无锡市段考)对于自由落体运动(g取10 m/s2)，下列说法正确的是
A.在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B.在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C.在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D.在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
例2
√
在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；
在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10 m，故B正确；
在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；
在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。
(2025·福建龙岩市开学考)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小；
例3
答案　20 m/s　15 m
根据速度与位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为
v＝20 m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度与时间关系
得t＝＝2 s
鸡蛋在第1 s内的位移为h1＝g＝5 m
则鸡蛋落地前最后1 s内的位移大小为
h2＝h－h1＝15 m
(2)高楼面离窗的上边框的高度；
答案　4.05 m
由题意知，窗口的高度为h3＝2 m
设高楼面离窗的上边框的高度为h0，鸡蛋从高楼面
运动到窗的上边框的时间为t0，
则h0＝g，h0＋h3＝g(t0＋Δt)2
联立解得h0＝4.05 m
(3)若隔0.5 s先后释放两个鸡蛋，试分析在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离如何变化？
答案　两鸡蛋之间的距离均匀增大
未落地前，设第二个鸡蛋运动了时间T，则第一个鸡蛋运
动了T＋ΔT
第一个鸡蛋下落高度H1＝g(T＋ΔT)2，第二个鸡蛋下落
高度为H2＝gT2，二者之间的距离ΔH＝H1－H2＝gΔT2＋gΔT·T，ΔH与T
为一次函数关系，故在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离均匀增大。
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1.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
总结提升
1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做　　　　　运动。
2.运动性质：　　　　直线运动。
3.基本规律
(1)速度与时间的关系式：　　　　　。
(2)位移与时间的关系式：　　　　　　。
竖直上抛运动
考点二
自由落体
匀变速
v＝v0－gt
x＝v0t－gt2
4.竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA　　　，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小　　　。
相等
相等
物体做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若速度v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
讨论交流
答案　速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。
为测试一物体的耐摔性，在离地25 m高处，将其以20 m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则物体
(1)经过多长时间到达最高点？
例4
答案　2 s
运动到最高点时速度为0，
由v＝v0－gt1得t1＝－＝2 s
(2)抛出后离地的最大高度是多少？
答案　45 m
由＝2ghmax得hmax＝＝20 m，
所以Hmax＝hmax＋h0＝45 m
(3)经过多长时间回到抛出点？
答案　4 s
法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2 s，
hmax＝20 m，下落时，hmax＝g，
解得t2＝2 s，故t＝t1＋t2＝4 s
法二：由对称性知返回抛出点时速度为20 m/s，方向向下，则由v1＝v0－gt，得t＝－＝4 s
法三：由h＝v0t－gt2，令h＝0，
解得t3＝0(舍去)，t4＝4 s
(4)经过多长时间落到地面？
答案　5 s
法一：分段法
由Hmax＝g，解得t5＝3 s，故t总＝t1＋t5＝5 s
法二：全程法
由－h0＝v0t'－gt'2
解得t6＝－1 s(舍去)，t7＝5 s
(5)经过多长时间离抛出点15 m？
答案　1 s　3 s　(2＋) s
当物体在抛出点上方时，h＝15 m，
由h＝v0t－gt2，解得t8＝1 s，t9＝3 s，
当物体在抛出点下方时，h＝－15 m，由h＝v0t－gt2，得t10＝(2＋) s，
t11＝(2－) s(舍去)。
1.竖直上抛运动的研究方法：
总结提升
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
总结提升
返回
多过程问题
考点三
(2025·北京师范大学附属实验中学零模)在游乐场中有一种大型游戏项目“垂直极限”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，由电动机将座椅沿竖直轨道(可视为光滑轨道)提升到离地面一定高度处，然后由静止释放，可以认为座椅沿轨道做自由落体运动，下落2 s后座椅受到压缩空气提供的恒定阻力作用而立即做匀减速运动，再经历4 s座椅速度恰好减为零，关于座椅的运动情况，下列说法正确的是
A.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比∶＝1∶1
B.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为∶＝2∶1
C.自由落体阶段和匀减速阶段的位移大小之比x1∶x2＝2∶1
D.自由落体阶段和匀减速阶段的加速度大小之比a1∶a2＝1∶2
例5
√
设全过程最大速度为vm，根据匀变速直线运动推论：，故A正确，B错误；
根据x＝t可知，故C错误；
根据a＝，故D错误。
匀变速直线运动多过程中的0－v－0模型
1.题型特征：物体的初速度为0，先匀加速到v，再匀减速到末速度为0。
2.分段结论：，t1、t2、x1、x2、a1、a2分别是前段和后段的
时间、位移大小和加速度大小。
3.全程结论：加速阶段、减速阶段和全程的平均速度相同，最大速度
vm＝2。
总结提升
(来自教材改编)ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1为12 m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10 m处正好匀减速至v2为4 m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝20 s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶，设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1 m/s2。求：
(1)汽车过ETC通道时，从开始减速至恢复
正常行驶过程中的位移大小；
例6
答案　138 m
过ETC通道时，减速的位移和加速的位移相等，
则x1＝＝64 m
故总的位移x总1＝2x1＋d＝138 m。
(2)汽车过人工收费通道时，应在离收费站
中心线多远处开始减速；
答案　72 m
过人工收费通道时，开始减速时距离中心线的距离为x2＝＝72 m。
(3)汽车过ETC通道比过人工收费通道节约
的时间。
答案　25 s
过ETC通道的时间t1＝×2＋＝18.5 s
过人工收费通道的时间t2＝×2＋t0＝44 s
x总2＝2x2＝144 m
二者的位移差Δx＝x总2－x总1＝6 m
在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，
则Δt＝t2－(t1＋)＝25 s。
匀变速直线运动多过程的解题策略
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
总结提升
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。
总结提升
返回
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C A B C C (1)0.3　(2)30　(3)45
题号 8 9 10 11 答案 A C B (1)8 m/s　(2)62 s 题号 12 答案 1.一质点从某一高度自由下落，落地时的速度为30 m/s，g取10 m/s2，则该物体下落的高度为
A.10 m B.30 m C.90 m D.45 m
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基础落实练
答案
√
根据速度位移关系有v2－0＝2gh，代入数据解得h＝45 m，故选D。
2.(2025·江苏苏州市调研)以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，则小树高约为
A.0.8 m B.1.6 m
C.2.4 m D.3.2 m
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答案
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答案
石子竖直上升的最大高度为H＝＝3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝＝0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝g＝0.8 m，则小树高约为h＝H－h1＝2.4 m，故选C。
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答案
3.(2024·北京市东城区期末)甲、乙两物体距水平地面的高度之比为1∶2，所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是
A.甲、乙落地时的速度大小之比为1∶
B.所受重力较大的乙物体先落地
C.在两物体均未落地前，甲、乙的加速度大小之比为1∶2
D.在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离越来越近
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答案
由于不计空气阻力，两物体均做自由落体运动，由v2＝2gh可知v＝，所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶，故A正确；
由h＝gt2可知t＝，所以物体做自由落体运动的时间取决于高度，与
物体所受重力的大小无关，即甲物体先落地，故B错误；
由于两物体都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故C错误；
由于两物体都做自由落体运动且同时下落，则在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离不变，故D错误。
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答案
4.(2021·湖北卷·2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为
A.0.2 s B.0.4 s C.1.0 s D.1.4 s
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答案
陈芋汐下落的整个过程所用的时间为
t＝ s≈1.4 s
下落前5 m的过程所用的时间为
t1＝ s＝1 s
则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，故B正确。
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答案
5.(2025·河南南阳市检测)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
√
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答案
由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式
可知＝2＋，即3<<4，选项C正确。
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答案
6.(2022·全国甲卷·15)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA. B.
C. D.
√
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答案
由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v解得t1＝，在隧道内匀速运动时有t2＝，列车尾部出隧道后立即加速到v0，有v0＝v＋at3，解得t3＝，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝，故选C。
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答案
7.(来自教材改编)(2025·北京市西城区期末)某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是0.01 s。测得照片中石子运动痕迹的长度为0.6 cm，实际长度为100 cm的窗框在照片中的长度为2 cm(g取10 m/s2)。
(1)根据照片估算曝光时间内石子下落的距离为　　　　 m；
0.3
设在曝光时间0.01 s内，石子实际下落的距离为L，
由题意得
解得L＝30 cm＝0.3 m
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答案
(2)估算曝光时刻石子运动的速度为　　　　 m/s；
30
考虑到曝光时间极短，石子的平均速度近似等于瞬时速度，
则石子在这0.01 s内的速度为v＝，
解得v＝30 m/s
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答案
(3)估算这个石子大约是从距离窗户　　　 m高的地方落下的。
45
石子做自由落体运动，故h＝
解得h＝45 m。
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答案
8.(2025·江西宜春市丰城中学月考)打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则弹丸在上升
过程中最初1 s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为
A.45 m/s　125 m B.45 m/s　75 m
C.36 m/s　125 m D.36 m/s　75 m
能力综合练
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答案
射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，
由运动学公式h＝gt2，弹丸最后1 s内上升的高度h1＝×10×
12 m＝5 m，则最初1 s内上升的高度h2＝9h1＝45 m，最初1 s内
中间时刻的速度v＝ m/s＝45 m/s，弹丸的初速度v0＝v＋
gt'＝45 m/s＋10×0.5 m/s＝50 m/s，故上升的最大高度为h＝ m＝125 m，故选A。
9.(2025·四川泸州市检测)小明在一匀速上升的电梯内，观察到电梯顶部有一螺丝因松动而掉落。已知电梯顶部离电梯地板的高度为3.2 m，电梯匀速上升的速度大小为2 m/s，忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，则螺丝从电梯顶部掉落到地板上的时间为
A.0.4 s B.0.6 s C.0.8 s D.1.6 s
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答案
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答案
方法一：以地面为参考系，匀速运动的电梯上脱落的螺丝做竖直上抛运动，电梯一直做匀速运动，电梯和螺丝的位移差等于电梯顶部离电梯地
板的高度，则vt－(vt－gt2)＝h，即h＝gt2，解得t＝＝0.8 s，故选C。
方法二：以电梯为参考系，电梯匀速上升，螺丝相对电梯做自由落体运
动，则由h＝gt2得t＝＝0.8 s。
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答案
10.(2024·上海市向明中学期中)无人机甲与三楼阳台平齐悬于空中，从无人机上同时以10 m/s的速率抛出两个小球，其中一个球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为Δt；如果另一无人机乙与六楼阳台平齐悬于空中，以与甲完全相同的方式抛出两个小球，则它们落地的时间差为Δt'。不计空气阻力，Δt'和Δt相比较，有
A.Δt'<Δt B.Δt'＝Δt
C.Δt'>Δt D.无法判断
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答案
设小球的抛出高度为h，竖直上抛和竖直下抛经历的时间分别为t1和t2，则有h＝－v0t1＋g，h＝v0t2＋g，整理可得Δt＝t1－t2＝，即时间差是一个定值，与高度无关。故选B。
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答案
11.(2025·江西赣州市开学考)沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6 km，列车运行最大速度为72 km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线运动，直至到T站停车，且加速的加速度大小为减速加速度大
小的0.8倍。现匀加速运动过程中连续经过A、B、C三点，
S→A用时2 s，B→C用时4 s，且SA长2 m，BC长24 m。求：
(1)列车在C点的速度大小；
答案　8 m/s
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答案
由x＝at2可知
a1＝1 m/s2
根据可知BC段平均速度＝6 m/s
由v＝v0＋at得vC＝＋a1·
解得vC＝8 m/s
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答案
(2)列车匀速行驶的时间。
答案　62 s
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答案
由Δv＝a·Δt得
匀加速阶段所用时间t1＝＝20 s
匀减速阶段所用时间t2＝＝16 s
匀加速阶段通过的位移x1＝t1＝200 m
匀减速阶段通过的位移x2＝t2＝160 m
匀速运动时间t3＝＝62 s。
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答案
12.(2025·四川内江市检测)如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度为H(已知量)，筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，它与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方
向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小
球同时到达地面(在此之前小球未碰过地)，重力加速
度为g，不计空气阻力，求：
尖子生选练
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答案
(1)圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大
高度hmax；
答案　H
圆筒第一次落地前做自由落体运动，
有2gH＝
圆筒第一次落地弹起后到最高点做加速度为g的匀减速直线运动，
有－2ghmax＝0－(v筒)2
联立解得hmax＝H。
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答案
(2)小球从释放到第一次落地所经历的时间t以及
圆筒的长度L。
答案　　H
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答案
根据h＝gt2可得，圆筒第一次落地的时间t1＝
圆筒第一次弹起后到最高点的时间t2＝
圆筒第一次弹起后到落地时与小球同时到达地面，
所以小球从释放到第一次落地所经历的时间
t＝t1＋2t2＝＋2×
可知小球下落的高度h球＝gt2＝H
则圆筒的长度L＝h球－H＝H。
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