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2025 年江苏省华罗庚中学高考数学一模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ |0 < | | < 2}， = { | 2 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {1} C. { 1,1} D.
2 2(1 )

.已知 = 1+ , 是 的共轭复数，则 =( )
A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
3.若向量 = (2 , 1), = ( 1, 2) 2，则“ ⊥ ”是“ = 3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 1.已知数列{ }是首项为 5，公差为 2 的等差数列，则 11 =( )
A. 125 B.
1 1 1
22 C. 17 D. 19
5 .如图所示，用一个与圆柱底面成 (0 < < 2 )的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为 1，
= 3，则下列结论正确的是( )
A.椭圆的长轴长等于 2
B. 2椭圆的离心率为 2
2
C. 椭圆的标准方程可以是 + 24 = 1
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 4 2 3
6.若函数 ( ) = 2 2 3cos2 + 3( > 0) 在(0, 2 )上只有一个零点，则 的取值范围为( )
A. ( 1 4 1 4 1 7 1 73 , 3 ] B. [ 3 , 3 ) C. ( 6 , 6 ] D. [ 6 , 6 )
7.将曲线 = 2 ( 为自然对数的底数)绕坐标原点顺时针旋转 后第一次与 轴相切，则 =( )
A. B. 2 C. 2 D. 2 2
8.现有一三棱锥 ， = 0， 为其外接球(四个顶点均在球的球面上)球心， = ， = 2 7，
3
平面 恰好经过点 .设平面 截球 的截面为 ，截面中心为 ′，若 tan∠ = 4， ′ = 4， 为
上一点，则 取最大值时，tan∠ ′ =( )
A. 6+2 7 B. 6 2 7 C. 16+5 7 16 5 73 3 3 D. 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 //
C.若 // ， ，则 // D.若 // ， ， ，则 //
10.已知等差数列{ }的首项为 1，公差为 ，前 项和为 ，若 25 < 23 < 24，则下列说法正确的是( )
A.当 = 24， 最大 B.使得 < 0 成立的最小自然数 = 48
C. | 23 + 24| > | 25 + 26| D. {

}

中最小项为 25
25
11.在平面直角坐标系 中有一点 ， 到定点(1,1)与 轴距离之积为一常数 ， 点构成的集合为曲线 ，
已知 在 > 0 或 < 0 分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A.曲线 关于直线 = 1 对称
B.若 = 2，则 > 0 时 到 轴距离的最大值为 2
C.若 > 0， 如图，则 = 14
D.若 与 轴正半轴交于(1,0)，则与 轴负半轴的交点横坐标在区间( 1,0)内
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知(2 2 1 )
展开式的第 3 项的二项式系数与第 5 项的二项式系数相等，则展开式中 3项的系数为
______. (用数字作答)
13.已知圆 2 + 2 = 16 与直线 = 3 交于 ， 两点，则经过点 ， ， (8,0)的圆的方程为______．
14.在 2024 年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中
都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为
1
每队胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为3，则在比赛
结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
+
设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且有 2 ( + 6 ) = ．
(1)求角 ；
(2)若 边上的高 = 34 ，求 ．
16.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，长轴长为 4 2，直线 2的倾
斜角为 135°
(1)求直线 2的方程及椭圆 的方程．
(2)若椭圆 上的两动点 ， 均在 轴上方，且 1/ / 2，求四边形的 2 1的面积 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，设平面 和平面 的交线为 1，1// ．
(1)若 ⊥ ，证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = = 1， = 2，∠ = 120° 2 2，平面 与平面 所成角的正弦值为 3 ，求异面直线
与 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
在数列{ }中， 1 = 1， ∈ 都有 2 1， 2 ， 2 +1成等差数列，且公差为 2 ．
(1)求 2， 3， 4， 5；
(2)求数列{ }的 通项公式；
(3)是否存在 ，使得 ∈ ， 2 + ， 2 +1 + ， 2 +2 + 成等比数列.若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 2 2 (其中 = 2.71828 为自然对数的底数)．
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(1)当 = 0 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)当 = 12时，判断 ( )是否存在极值，并说明理由；
(3) ∈ , ( ) + 1 ≤ 0，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 160
13. 2 + 2 6 2 3 16 = 0
14. 881
15. (1) 2 ( + ) = + 解： 由题意得： 6 ，
则( 3 + ) = + + ，

有 3 = 1 + ，即 2 ( 6 ) = 1，

因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)由 1 1 3 3△ = 2 = 2 ，则 8
2 = 24 ，所以 = 2 ，
有sin2 = 2 3，则 = 8，
又 = cos( + ) = = 12，则 =
1
8．
2 2
16. 解：(1)因为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 4 2，
所以 2 = 4 2， = 2 2，
因为点 上顶点，直线 2的倾斜角为 135°，
所以 △ 2中，∠ 2 = 45°，则| | = | 2| = = ，
又 2 + 2 = 2 = 8，则 = = 2，
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因为 2 = 135° = 1， (0,2)，
所以直线 2的方程为 = + 2，
2 2
椭圆 的方程为 8 + 4 = 1．
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1( 2,0)， 2(2,0)，
则 关于原点的对称点 ′( 3, 3)，
3 = 2
即 3 = ，2
由 1 = ( 1 + 2, 1), 2 = ( 2 2, 2)，
1// 2，
得( 1 + 2) 2 = ( 2 2) 1，
则( 1 + 2) 3 = ( 3 2) 1，
即( 1 + 2) 3 = ( 3 + 2) 1，
则 1 //
1
′，则 ， 1， ′三点共线，
又△ 2≌△ ′ 1，得| 2| = | ′ 1|，
设 ′的直线方程为： = 2，
= 2
联立 2 2 ，
8 +

4 = 1
得( 2 + 2) 2 4 4 = 0，
4 4
则 = 32( 2 + 1)， 1 + 3 = 2+2， 1 3 = 2+2，
2
则| ′| = 1 + 2 ( 4 )2 + 16 2+2 2+2 =
4 2( +1)
2+2 ，
2
则| 1| + | 2| = | 1| + | ′ 1| = | | =
4 2( +1)
′ 2+2 ，
又点 2到直线
4
′的距离 = ，
2+1
1 2
则梯形 2 1的面积 = 2 (| 1| + |
8 2 +1
2|) = 2+2 ，
令 = 2 + 1 ≥ 1，则 2 + 1 = 2 + 2，
= 8 2 = 8 2则 2+1 1 ≤ 4 2，当 = 1 即 = 0 时等号成立， +
故 的取值范围为(0,4 2]．
17.(1)证明：因为平面 ∩平面 = 1，1// ， 平面 ，
所以 //平面 ，
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又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0, 2)， (0,1,0)， (0,0,0)，
由(1)知 // ，
3 1
因为∠ = 120°，所以∠ = 60°，则 ( 2 , 2 , 0)，
设 = ( > 0)，则 ( 3 , 12 2 + , 0)，
所以 = (0, 1, 2)， = ( 32 ,
1
2 , 0)，
= + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ，
= 32 + (
1
2 ) = 0
取 = 3，则 = 6， = 2(1 2 )，所以 = ( 2(1 2 ), 6, 3)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
因为平面 2 2与平面 所成角的正弦值为 3 ，
|cos < > | = | | 3 2 2所以 ， | 1 ( )
2
| | | = = 3 ，解得 = 2 或 = 1(舍负)，2(1 2 )2+6+3×1
3 5
此时 ( 2 , 2 , 0)，
所以 = ( 3 5 3 12 , 2 , 2)， = ( 2 , 2 , 0)，
设异面直线 与 所成角为 ，
3 5
则 = |cos < ，

> | = |
| |= 4
+4+0| 2
= ，| | | | 3+25 34 4 +2×1
故异面直线 与 2所成角的余弦值为3．
18.解：(1)由 ∈ 都有 2 1， 2 ， 2 +1成等差数列，
可得 1， 2， 3成等差数列，公差为 2； 3， 4， 5成等差数列，公差为 4．
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则 2 = 1 + 2 = 3， 3 = 2 + 2 = 5， 4 = 3 + 4 = 9， 5 = 4 + 4 = 13；
(2)由已知可得， 2 +1 2 1 = 4 ．
当 = 2 1， ≥ 2 时，
有 = 2 1 = 1 + ( 3 1) + ( 5 3) + + ( 2 1 2 3) = 1 + 4 + 8 + + 4( 1)
2 2
= 1 + ( 1)(4+4 4) = (2 1) +1 = +12 2 2 ，
2
且 1 = 1
+1
满足上式，故当 为奇数时，有 = 2 ；
2
当 = 2 时， = 2 = 2 1 + 2 = (2 2 2 + 1) + 2 = 2 2 + 1 = 2 + 1．
2+1
则数列{ }的通项公式为 = 2
, 为奇数
； 2
2 + 1, 为偶数
(3)存在 = 1 时，使得 ∈ ， 2 + ， 2 +1 + ， 2 +2 + 成等比数列．
证明如下：
由(2)可得 2 = 2 2 + 1, 22 +1 = 2 + 2 + 1, 2 +2 = 2( + 1)2 + 1 = 2 2 + 4 + 3， 2 +1 = 2 2 + 2 + 1，
2 22 +2 = 2( + 1) + 1 = 2 + 4 + 3，
由 2 + ， 2 +1 + ， 2 +2 + 成等比数列，
得(2 2 + 1 + )(2 2 + 4 + 3 + ) = (2 2 + 2 + 1 + )2，
化简得 2(2 2 + 1 + ) = 4 2，解答 = 1，此时 2 1 ≠ 0，
所以当 = 1 时， ∈ ， 2 + ， 2 +1 + ， 2 +2 + 成等比数列．
19.解：(1)当 = 0 时， ( ) = 2 ， ′( ) = 2( + 1) ，
因为 ′(1) = 4 ，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 4 ( 1) 2 = 4 + 2 ；
(2) = 1当 时， ( ) = 1 2 2 2 2
，定义域为( ∞, + ∞)，
′( ) = 2 2( + 1) = ( 2 2)，令 ( ) = 2 2，则 ′( ) = 2，
当 ∈ ( ∞, 2)， ′( ) < 0，函数单调递减，当 ∈ ( 2, + ∞)， ′( ) > 0，函数单调递增，
( ) = ( 2) = 2 2 2 2 = 2 2 < 0， ( 1) =
1
> 0, (2) =
2 6 > 0，
存在 1 ∈ ( 1, 2)使得 ( 1) = 0，存在 2 ∈ ( 2,2)，使得 ( 2) = 0，
∈ ( ∞, 1)时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增；
∈ ( 1, 2)时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减；
∈ ( 1, + ∞)时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增；
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所以 = 12时， ( )有一个极大值，一个极小值；
(3) ′( ) = 2 2 2( + 1) = 2 ( 1)，
由 ∈ ， ( ) + 1 ≤ 0，
2
因为 (0) + 1 = +
1
=
+1
≤ 0，得 < 0，
令 ( ) = 1，则 ( )在 上递减，
< 0 时， ∈ (0,1)， ∈ ( , 0)，
则 ( ) = 1 > 1， ( 1) > ( 1) 1 = 0，
又 ( 1) = 1 < 0，
0 ∈ ( 1, 1)使得 ( 0) = 0 0 1 = 0，且当 ∈ ( ∞, 0)时， ( ) > 0， ′( ) > 0，
当 1 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) < 0， ′( ) < 0，
0 ∈ ( 1, 1)使得 ( 0) = 0，即 ( 0) = 0 0 1 = 0，
且当 ∈ ( ∞, 0)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, 0)上递增，在( 0, + ∞)上递减，
所以 ( ) = ( 0) = 2 0 2 0 0，
由 ( 0) = 0 =
1+
可得， 0 0 ，
1 0
由 ( ) + ≤ 0，得(1 +

0) 0 2 0 0 + 1+ ≤ 0，0
由 0 + 1 < 0 得 20 1 ≤ 1，即 2 ≤ < 1，
+1 +1
因为 = 0 1 ，设 ( ) = ( 2 ≤ < 1)，则 ′( ) =

> 0，
则 ( ]在[ 2, 1)上递增，
( ) ≥ ( 2) = (1 2) 2， ( ) < ( 1) = 0，
故实数 的取值范围是[(1 2) 2, 0)．
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