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2024-2025 学年河南省驻马店高级中学高三（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2,3}， = { | = }，则 ∩ =( )
2 1
A. {0,1,2,3} B. { 2,2,3} C. {2,3} D. {1,2,3}
1 3 2.若 = 5 ，则 + =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3.已知非零向量 ， ，若| | = 2| |，且( + ) ⊥ ( 2 )，则 与 的夹角为( )
A. B. 3 4 2 C. 4 D.
4 1.在等比数列{ }中， 3， 7是函数 ( ) = 3 23 + 4 + 9 1 的极值点，则 5 =( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
5.双曲线 的两个焦点为 1、 2，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 1作圆 的切线与 的两支分别交于 、
两点，且 cos∠ 1
3
2 = 5，则双曲线 的离心率为( )
A. 132 B.
41
3 C. 3 D.
2 13
13
6.某艺术吊灯如图 1 所示，图 2 是其几何结构图.底座 是边长为 4 2的正方形，垂直于底座且长度为
6 的四根吊挂线 1， 1， 1， 一头连着底座端点，另一头都连在球 的表面上(底座厚度忽略不计)，
若该艺术吊灯总高度为 14，则球 的体积为( )
A. 108 B. 256 C. 500 D. 864 3 3 3 3
27
2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，过 1作 2的垂线与 在第
一象限内交于点 ，且 cos∠ 1 2 =
3 2
5 .设 的离心率为 ，则 =( )
A. 5 1 B. 3 52 2 C.
5 5 6 5
10 D. 12
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8.甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲
开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 58 4 8 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数 = ( )的图象经过平移后可以得到函数 = ( )的图象，则称函数 ( )与 ( )是“全等函数”.
下列各组函数中， ( )与 ( )是“全等函数”的是( )
A. ( ) = + 3 , ( ) = 2 2
B. ( ) = ， ( ) = 2
C. ( ) = ， ( ) = ln(2 )
D. ( ) = ln| |， ( ) = ln(| | + 1)
10.如图，直线 过△ 的重心 (三条中线的交点)，且与边 ， 交于点 ， 且 = , = ，
直线 将△ 分成两部分分别为△ 和四边形 ，其对应的面积依次记为 △ 和 四边形 ，则以下
结论正确的是( )
A. + = 4 B. 1 + 13 = 3

C. 四边形 5

四边形 4
的最大值为 D. 的最大值为△ 4 △ 3
11.设 为坐标原点，对点 ( , )(其中 2 + 2 ≠ 0)进行一次变换，得到点 ( + , + )，
记为 ～ ( , )，则( )
A.若 ～ ( , 2 )，则 ⊥
B.若 ～ ( , )，则| | = | |
C.若 ～ ( , )， ～ ( , )，则 ～ ( , )
D. 1 为 ( ) = 图象上一动点， ～ ( , 4 )，若 的轨迹仍为函数图象，则 ≥ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 , ( ≥ 0)
12.已知函数 ( ) = + 2, ( < 0)，若 ( ) = 4，则 = ______．
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13.已知向量 = (1, 2)， = 5，则| |的最小值是______．
14.已知集合 = { ∈ |( 1)[ (4 + 1)] ≤ 0, ≥ 2, ∈ }，含两个元素的集合 = { 1, 2} ．
(1)若 1 + 2 ∈ ，则满足条件的集合 的个数为______；
(2) 2 1+ 若 24 ∈ ，则满足条件的不同的有序数对( 1, 2)的个数为______. (结果均要化简)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 4 ．
(1)证明： = 3 ；
(2)若 = 2 = 3，求 ．
16.(本小题 15 分)
《九章算术 商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体 中， ⊥平面 ，
⊥ 2，且 = 4， = = 3， = 3 ．
(1)证明：四面体 为鳖臑．
(2)若直线 ⊥平面 ，求直线 与 所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }满足 ， +1是关于 的方程 2 4 + = 0 的两个根．
(Ⅰ)求 1；
(Ⅱ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅲ)设 = ( 1)
4
，求数列{ }的前 2 项和 2 ．
18.(本小题 17 分)

2 2 5
如图，双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的虚轴长为 2，离心率为 2 ，斜率为 的直线 过 轴上一点 ( , 0)．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， ．
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( ) 1当 = 3时，求 的取值范围；
( )当 = 3 时，求 △ 的最小值．
19.(本小题 17 分)
蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前 180 年为了解决倍立方问题发现的曲线，蔓叶线与半个圆周一
1 1
起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下左图所示.在平面直角坐标系中，圆 ：( 2 22 ) + = 4，点 是
直线 ： = 1 上在第一象限内的任一点，直线 的倾斜角为 ( 为坐标原点)，且交圆 于点 ( 与 不重
3
合)，第一象限内的点 在直线 上，且满足 = ，一蔓叶线 的方程为 2 = 1 ，如图所示．
(1)求蔓叶线 上任一点横坐标的取值范围；
(2)证明：点 在蔓叶线 上；
(3)设直线 2 20： + = 1( + ≠ 0)与蔓叶线 交于不同的三点 ， ， ，且直线 ， ， 的斜率
之和为 2025，证明：直线 0过定点．
参考公式：法国数学家弗朗索瓦 韦达提出了三次方程的韦达定理：若 1， 2， 3是关于一元三次方程 3 +
2 + + = 0( ≠ 0)的三个根，则 1 + 2 + 3 =

， 1 2 + 2 + =

3 1 3 ， 1 2 3 = ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 5
14.4 2， ≥ 2， ∈ ； 4 2， ≥ 2， ∈ ．
15.解：(1)证明：根据题意可知， = 4
根据正弦定理， = 4 ，
因为 ≠ 0，所以 = 4 sin( + ) = 4 ，
则有 + = 4 = 3 ，
由于 ≠ 0， ≠ 0，所以有 = 3 ；
(2)由 = 2 得 = 2 ，因为 = 4 ，
= 1则有 2，
根据余弦定理， 2 = 2 + 2 2 = ( 32 )
2 + 32 2 × 32 × 3 ×
1 = 272 4，故 =
3 3．
2
16.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ．
又 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，则 ⊥ ，
所以四面体 的四个面都为直角三角形，则四面体 为鳖臑．
(2)解：以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
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则 (0,4,0)， (0,0,0)， (3,0,3) ( 6 12， 5 , 5 , 0)，
则 = (0,4,0)， = (3,0,3)， = ( 6 125 , 5 , 0)，
= 4 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ，
= 3 + 3 = 0
令 = 1，得 = (1,0, 1)．

cos , = = 10由 ，
| || | 10
得直线 与 所成角的余弦值为 10．
10
17.解：(Ⅰ)已知等差数列{ }满足 2 ， +1是关于 的方程 4 + = 0 的两个根．
则 + +1 = 4 ，
则 1 + 2 = 4， 2 + 3 = 8，
设等差数列{ }的公差为 ，
则 2 = 4，
即 = 2，
则 2 1 + = 4，
即 1 = 1；
(Ⅱ)由(1)得： = 1 + 2( 1) = 2 1，
则 = +1 = (2 1)(2 + 1) = 4 2 1，
即 2 = 4 1；
(Ⅲ)由(2) 4 可得： = ( 1) = ( 1)
4 1 14 2 1 = ( 1) ( 2 1 + 2 +1 )，
= (1 + 1 ) + ( 1则 2 3 3 +
1
5 ) (
1 + 15 7 ) + . . . + (
1
4 1 +
1 1 4
4 +1 ) = 1 + 4 +1 = 4 +1．
= 1 = 2
18. 解：(1)由题知 =
5 = 1
2 ，解得 ，
2 = 2 + 2 = 5
2
双曲线 的标准方程为 4
2 = 1；
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1 2(2)令 ( 0, 0)，设直线 为： = + ，与
2
4 = 1，
联立得( 2 4) 2 + 8 4 2 2 4 2 = 0，
当 = 16 2( 2 2 + 2 4) > 0 时，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则由韦达定理，及题意可得：
= 1+ 2 = 4
2
0 2 2 4， 0 =
1+ 2
2 = 2 4，
( ) = 1 = 12 1当 3时， 0 35 ， 0 = 35 ，
1
由 03 = = ，得 = 0 3
3
0 = 7 ，0
又因为 > 0，
即 2( 2 + 1) > 4 2 > 4 2 1 = 35 ∈ ( ∞, 35) ∪ ( 35, + ∞)，
3
所以 = 7 ∈ ( ∞,
3
7 35) ∪ (
3
7 35, + ∞)；
( )由题知 (0, )， ( 3,0)，
0 2因为 = 2 0+3
= 4 +3 2 12 4 + 3 12 = ，
= 3(
2 4) 3
所以 5 2 4 = 5，
+ 3 = 0 =
2
又 0 ， 0 2 4，
2
则 = ( 0 + 3)2 + 2
1 1+ 3
0 = 1 + 2| 0| = | 2 4 | = 5 1 +
2，
2
= 20 + ( 0 )2 = 20 +
16
( 2 4)2，
= 3 = 3 = 4 2 4 5 2 4 5 ， 0 2 4 =
12
5，
2
则 = 144 144 12 1+ 25 + 25 2 = 5 2 ，
1
2
则 △ = 2 =
18 1+ 18
25 | | = 25 (| | +
1 18 1 36
| | ) ≥ 25 2 | | | | = 25，
2 2
当 =± 1 9( 4)取得，此时 2 = 25 2 =
81
25 = 16(
81
25 + 1 4) > 0 满足题意．
36
综上， △ 的最小值为25．
2
19.解：(1) 因为蔓叶线 的方程为 2 = 1 ，
2
则1 ≥ 0 且 1 ≠ 0，
由于 2 ≥ 0 恒成立，
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2
所以1 ≥ 0 等价于 1 > 0，
解得 < 1，
由图知道，蔓叶线 的位置，所以 ≥ 0，
综上，知道 0 ≤ < 1，
则蔓叶线 上任一点横坐标的取值范围为[0,1)．
(2)证明：设 (1, 0)( 0 > 0)，
已知直线 的方程为 = ( = 0)，
( 1 )2 + 2 = 1将其代入圆 的方程 2 4，
得到 ( 1 )22 +
2 2 = 14．
对( 1 22 ) +
2 2 = 14，
进行整理得(1 + 2) 2 = 0，
解得 = 0 1或 = 1+ 2，
因为 1点不是原点，所以 点横坐标为 = 1+ 2．
已知 = ，设 ( , ) 1， (1, 0)， 点横坐标为 = 1+ 2．
根据向量坐标运算， = ( , ) 1， = (1 1+ 2 , 0 )，
2
因为 = ，所以 = 1 1 1+ 2 = 1+ 2，
3
= = 1+ 2．
2 6
2
3
=
3 ( 2) (1+ 2)3 6 1+ 2 6
将 1+ 2代入蔓叶线方程
2 = 1 的右边：
1+
2 = 2 2 =
1 1+ (1+
2)3 1 = (1+ 2)2，
1+ 2 1+ 2
2 = (
3 6
而 1+ 2 )
2 = (1+ 2)2，
即蔓叶线方程右边的值等于 2等式成立，
所以点 的坐标满足蔓叶线方程，点 在蔓叶线 上．
(3)证明： 0： + = 1( 2 + 2 ≠ 0)，
3
齐次化联立直线与曲线，得到 2 = + ，
那么 3 + ( 1) 2 3 = 0，
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即 ( )3 + ( 1)( 2 ) 1 = 0，

根据方程联立得意义可知，所得的关于 的一元三次方程的三个根即为 1， 2， 3，
1
结合韦达定理知道， 1 + 2 + 3 = = 2025，故 1 = 2025 ，则 1 2025 = ，
代入直线方程，即(1 2025 ) + = 1，
化简得( 2025 ) + 1 = 0，式子恒成立，
则令 1 = 0， 2025 = 0，
解得 = 1， = 2025，
故直线 0过定点(1,2025).原命题成立．
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