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广西壮族自治区河池市部分学校2025届高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，动点满足，动点满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为的四位数称为“幸运数”如是“幸运数”，并获得一定的奖品，则首位数字为的“幸运数”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.函数其中，且是其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某超市随机抽取了当天名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，，，，单位：元，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. 若该超市当天总共有名顾客，则消费金额在单位：元内的顾客约有人
B. 若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是元
C. 若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是元
D. 现从样本的第，组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽取人做进一步调查，则抽到的人的消费金额都不少于元的概率是
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的周期 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减 D. 当时，
11.已知正方体的棱长为，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是( )
A. 若，则平面平面
B. 若，则与所成角的取值范围为
C. 若，则平面
D. 若，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为第一象限角，，则 ．
13.已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ．
14.已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
求角的大小；
若的面积为，求边的大小．
16.本小题分
已知函数，其中，．
当时，求的图象在处的切线方程；
当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
17.本小题分
在平面图形如图中，已知，，，，将沿着折起到的位置，使得，连接，得到四棱锥，如图所示．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆经过点的左右焦点分别为，且．
求的方程；
若过点的直线与交于点，且线段的中点恰好为，求直线的方程；
若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围．
19.本小题分
某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：常规时间分上、下半场，每个半场各分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；如果在常规时间内两队战平，则双方各派名队员进行轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛．
假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率；
点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛如甲方领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢．
(ⅰ)记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望；
(ⅱ)求甲队在点球大战中获胜的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理与，得．
所以 ，即．
因为，所以，又，所以，
又，所以．
因为的面积为，
所以，即，解得．
由余弦定理，得，所以．

16.解：当时，，定义域为，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即．
当时，，定义域为，
所以，
因为在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
令，则在上必存在变号零点，
因为，所以，解得，
当时，，且在上单调递增，
又，故存在，使得，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值点，符合题意，
故的取值范围为．

17.解：证明：
四棱锥中，
取的中点，连接，
由，，
得，则，
，又，
所以四边形为平行四边形，
，，
由，得，
则，，而，
平面，
于是平面，
又平面，
则，
又， ，
平面，
因此平面，
而平面，所以；
在平面内过点作，
由知平面，
则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的法向量，
则
令，得，，
故平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则
令，得，，
故平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是．

18.【详解】解：设，则，
，
所以，即，
因为点在上，所以，
由解得，
所以的方程为；
解：设，则，
且，
两式相减得，即，
因为线段的中点为，所以，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
解：设，直线的方程为，
联立，消去得，
由，
整理得，
所以．
因为直线的斜率成等差数列，所以，
即，整理得，
因为不经过点，所以，
所以，代入，得，
所以的取值范围是．

19.解：设为“甲进入下一轮”，为“甲乙两队抽签”，
则，
，
故
可取，
当时，共进行轮点球，
若甲赢，则轮点球甲均进球，而乙点球均未进，
若乙赢，则轮点球乙均进球，而甲点球均未进，
故，
当时，共进行轮点球，且第轮甲踢点球结束比赛，
若甲赢，则前两轮点球甲踢进个球，第轮甲进球，而乙点均未进，或者甲踢进个点球，而乙踢进一个点球，
若乙赢，则前两轮乙踢进个球，而甲点球均未进，或者前两轮乙踢进个球，甲踢进个球，第轮甲未进球，
故
，
当时，则前次点球中甲乙的比分为，
故
，
故的分布列如下：

(ⅱ)设为：“甲队在点球大战中获胜”，
由(ⅰ)可得：
．

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