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河南省焦作地区2025届高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知函数为偶函数，直线把圆的周长四等分，则圆心的坐标可能是( )
A. B. C. D.
5.已知不同四点满足，且，且为锐角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.过点可作两条直线与的图象相切，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，点为的中点，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则( )
A. 的离心率为
B. 的焦点到其渐近线的距离为
C. 直线与只有一个公共点
D. 若过的焦点与轴垂直的直线与交于两点，，则
10.若，则( )
A. B. ，不能同时为整数
C. D.
11.已知数列是等差数列，前项和为，则下列结论正确的是( )
A. 若，且时最小，则
B. 若，，则的最大值为
C. 若，则的最大值为
D. 若，且最小，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一组数据的中位数为，方差为，则另一组数据的中位数为 ，方差为 ．
13.已知椭圆的左顶点为，上，下顶点分别为，，右焦点为，直线与交于点，若，则 表示面积
14.函数满足：对任意，，且，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，．
若在上单调递增，求的取值范围；
若，，求的最大值．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，，，点为中点，点在上，且．
证明：平面；
若，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是，乙工厂生产的零部件次品率是．
从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率；
用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取件，记这件中正品与次品的个数分别为，，，求的分布列与期望；
甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第个月开始，第个月的次品率单位：如表：
根据上表数据求得关于的回归直线方程为，求相关系数，并判断该回归直线方程是否有价值．
附：，，．
若，则认为回归直线方程有价值．
18.本小题分
已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，且．
求的值及抛物线的方程；
不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值；
如图，过点作两条直线与抛物线交于、、、四个点，且，求直线与的交点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
求的零点个数；
若数列满足，，．
比较与的大小；
求证：时，．
参考答案
1.
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14.
15.．
当时，，因为在上单调递增，
所以，所以，
可得的取值范围为．
，，，，
是三角形内角，，所以，得，
由余弦定理：；
即
，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值．
16.因为平面，平面，所以平面平面，
因为，点为中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，故，
因为所以，所以，
因为，，平面，所以平面．
因为点为中点，且点到平面的距离为，
所以由点到直线的距离为，
所以，即，解得，
所以，，
连接，则由上可知，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则有，得，取，得
由知是平面的法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

17.设“抽取的零部件为甲工厂生产”为事件，“抽取的零部件为乙工厂生产”为事件，“抽取的零部件为次品”为事件，
则，，，，
所以，
检测该零部件为次品，则该零部件是甲工厂生产的概率为
．
用频率代替概率，从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取件，则正品数，，，
的取值依次为，，，，
，
，
，

所以的分布列为
，
．
由的取值依次为，，，，，得，，
因为回归直线方程为，
所以，
所以，
所以
因为，所以该回归直线方程有价值．
18.抛物线焦点为，准线方程为，
由抛物线定义可知，，所以抛物线的方程为
将代入抛物线方程可得．
设，，联立得，
则，所以，
由韦达定理可知，
因为，所以，
则，
，即，解得或．
又当时，直线过原点，不符合题意，舍去，故．
显然直线的斜率都存在，设，
则，
同理，，
，，
，
因为且都过，
故且，，
故且，
故，所以，同理，
故，
故，故或，
若，则，故过，与题设矛盾；
故不成立，故即，
故，整理得到，
故的方程为：，
故直线过，同理过，故．
19.由函数，可得，
令，可得，设，
令，则，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
由当时，，所以，此时，
当时，，
所以，可得，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又由，
所以存在，满足，
所以函数有个零点．
由，则，
令，可得，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
所以，所以，即；
由知：，所以，
因为，
假设对于任意，，
当时，可得成立，
假设成立，由于，
令，可得，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以
所以，其中，
又由，所以，所以，
因为，所以，
综上，由数学归纳法得：当时，成立，
所以，
综上可得：．

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