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热点七 材料阅读问题
热点趋势解读
材料阅读问题一般先提供一个解题思路或介绍一种解题方法或展示一个数学结论的推导过程等，要求学生理解其内容、方法要点以及数学思想，再进行自主探索，解决相应问题.
材料阅读问题可在学生现有的知识水平和认知水平下，拓宽学生的视野，帮助学生加深对知识点的理解.在近几年的中考中，材料阅读问题在试题中频频“亮相”，旨在考查学生的阅读理解能力及知识迁移能力.
1.阅读下面材料,并完成相应的任务.
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算,它有很强的技巧性.观察下列各式：
；
；
；
；
…
我们发现,两位数与相乘,当时,有如下速算规律：先将十位数字a与相乘,得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字b和c相乘,得到的结果作为积的后两位数字.如果结果是一位数,则在其前面补0.
(1)请根据上述规律计算：______；______.
(2)我们可以用所学的知识证明这个结论,这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.请证明上述阅读材料中的结论.
2.阅读下列材料：我们知道,的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即,也就是说,表示在数轴上数与数对应的点之间的距离.
例1：解方程,因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为,所以方程的解为或.
例2：解不等式,在数轴上找出的解(如图),因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3,所以方程的解为或,因此不等式的解集为或.
参考阅读材料,解答下列问题：
(1)方程的解为.
(2)解不等式：.
(3)解不等式：.
3.材料1：观察方程，假设，则原方程可变形为，通过先求y的值，从而得x的值，这种解方程的方法叫做整体求解法.
材料2：解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1，但像这样分子、分母均含有小数的方程，需要先将分母中的小数化为整数再求解.比如：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，将未知数的系数化为1，得.
材料3：在解含绝对值的方程时，可应用分类讨论的方法：①当时，原方程可化为，解得；②当时，原方程可化为，解得.故原方程的解是或.
阅读以上材料，解答下列问题.
［问题1］请用材料1的方法解方程：.
［问题2］（1）在材料2中，某同学由变形到是利用了( )
A.等式的基本性质1 B.等式的基本性质2
C.分数的基本性质 D.去分母
（2）请用材料2的方法解方程：.
［问题3］请用材料3的方法解方程：.
4.阅读以下材料,苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550-1617年)是对数的创始人,他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler.1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地.若(且),那么x叫做以a为底N的对数,
记作,比如指数式可以转化为对数式,对数式可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
,理由如下：
设,则.
.由对数的定义得
又
.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题：
(1)填空：①___________；②_______,③________；
(2)求证：,,,；
(3)拓展运用：计算.
5.阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1,给定不在同一直线上的三个点A,B,C,如何利用无刻度的直尺和圆规在点B,C之间画一条过点A的直线,且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图,第一步：以点B为圆心,以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心,以的长为半径画弧,两弧交于点D； 第三步：作直线,则点B和点C到直线的距离相等. 下面是部分证明过程： 证明：如图3.连接,,过点B作于点E,过点C作于点F,连接交于点O. 由作图可知,, 四边形ABDC是平行四边形.(依据) .(依据) …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点,由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线.
任务：
(1)填空：材料中的“依据1”是指______；“依据2”是指______.
(2)请将小明的证明过程补充完整.
(3)尺规作图：请在图4中,用不同于材料中的方法,在点B和点C之间作直线,使得点B和点C到直线的距离相等.(要求：保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
6.阅读与思考
请阅读以下材料并完成相应的任务.
伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理.这个引理的作图步骤如下： ①如图,已知,C是弦上一点,作线段的垂直平分线,分别交于点D,于点E,连接. ②以点D为圆心,的长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接. 引理的结论：.
(1)任务一：用尺规完成材料中的作图,保留作图痕迹,并标明字母.
(2)任务二：请你完成引理结论的证明过程.
7.阅读下列材料,完成相应的任务.
婆罗摩笈多定理： 如图,四边形内接于,对角线,垂足为M,如果直线,垂足为E,并且交边于点F,那么. 证明：∵,, ∴,. ∴. 又∵①,(同弧所对的圆周角相等) , ∴. ∴②. …
任务：
(1)材料中①处缺少的条件为______,②处缺少的条件为______；
(2)根据材料,应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：
如图,已知中,,,分别交于点D,E,连接交于点P.过点P作,分别交,于点M,N.若,求的长.
8.阅读与思考
阅读下列材料,并完成相应任务.
三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边,所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.即：知图1,在中,若是的平分线,则. 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边,所得的两条线段与其内角的两边成比例.即：如图2,在中,若是的外角的平分线,则. 上述定理的证明方法有多种,我们均采用“面积法”来进行证明. 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3,过点D作,,垂足分别为G,H. 平分, , . , . 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4,过点F作,,垂足分别为K,N. 平分, , ……
任务：
(1)如图5,在中,是的平分线.若,,则_______.
(2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整.
(3)如图6,在中,若是的平分线,是的外角的平分线,M是线段的中点,且,,,请直接写出线段的长.
9.阅读与思考：请仔细阅读下列研究报告,并完成相应的任务.关于“双心四边形”的研究报告研究对象：双心四边形研究思路：根据研究几何图形的一般路径,按照“概念一性质一判定”的路径展开研究.研究方法：观察一猜想一推理证明一应用拓展研究内容：
【概念提出】我们知道,任意三角形都有外接圆和内切圆.类似的,如果一个四边形既有外接圆又有内切圆,我们称这样的四边形为双心四边形.
【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中,一定是双心四边形的是___________；(填特殊四边形的名称)
【性质探究】根据双心四边形的定义,对其性质研究如下：
对角：双心四边形的对角___________
对边：双心四边形两组对边之和相等.
理由如下：如图1,四边形是双心四边形,其中是四边形的外接圆,是四边形的内切圆,切点分别为E,F,G,H.
为说明,连接,,.
与,分别相切于点E,F,
,,(依据：___________)
,
,,
.
......
任务：
(1)材料中“”处空缺的内容依次为：___________；___________；
(2)请将材料中关于对边性质的说理过程补充完整；
(3)如图2,已知四边形是双心四边形,其中,,,直接写出其外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离.
10.(1)阅读材料：小红遇到这样一个问题：如图,在四边形中,,,,,求的长.小红发现,延长与相交于点E,通过构造,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图).请回答：的长为.
(2)参考小红思考问题的方法,解决问题：
①如图,在四边形中,,,,,求和的长；
②如图,四边形内接于,,,,,求的长.
11.阅读与思考
下面是小华同学的一篇数学反思,请仔细阅读,并完成相应的任务.
巧用“对称”作图 问题：已知：如图1,点E是的边上的一点. 求作：矩形,使点F,G,H在的边上,且对角线交点与的对角线交点重合. 分析：所求作的矩形的一个顶点E是已知的,且在的边上,并且矩形对角线交点与的对角线交点重合.矩形与平行四边形都是中心对称图形,所以点E与点G一定关于对角线交点中心对称,这样就可以确定点G了,对角线也随之确定,然后根据矩形对角线的性质可以确定顶点F,H. 作法：1.连接,,交于点O. 2.连接并延长交边于点G. 3.以点O为圆心,以的长为半径作弧,交边于点F. 4.连接并延长交边于点H. 5.依次连接点E,F,G,H. 四边形就是所求作的矩形(如图2). 反思：以上作图中关键利用了图形的对称性.由此想到这种方法可以迁移到其它对称图形的作图中.
任务：
(1)根据以上作法,求证：四边形是矩形,
(2)若将上面材料中所求作的矩形改为菱形,其它条件不变,请用尺规在图3中作出符合条件的菱形；(要求：保留作图痕迹,不写作法)
(3)图2中,若的边,,,,则线段的长为______.
答案以及解析
1.答案：(1)5621,7224
(2)见解析
解析：(1)由上述规律可知,,
,
故答案为：5621,7224；
(2)证明：∵,
.
2.答案：(1)或者
(2)
(3)或者
解析：(1)∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或
∴方程的解为或,
故答案为：或；
(2)∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8
∴方程的解为或
∴的解集为.
(3)由绝对值的几何意义可知,方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值.
∵在数轴上4和对应的点的距离是6
∴满足方程的x的点在4的右边或的左边
若x对应的点在4的右边,可得；若x对应的点在的左边,可得
∴方程的解为或
∴的解集为或者.
3.答案：［问题1］
［问题2］（1）C
（2）
［问题3］或
解析：［问题1］已知，
移项，得，
整理得，，
合并同类项，得，
移项，得，
合并同类项，得，
将未知数的系数化为1，得.
［问题2］（1）C
（2），
整理，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
将未知数的系数化为1，得.
［问题3］去绝对值符号时，分两种情况讨论：
①当，即时，
原方程可化为，
移项，得，合并同类项，得，
将未知数的系数化为1，得，符合题意.
②当，即时，
原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
将未知数的系数化为1，得，符合题意.
综上，原方程的解是或.
4.答案：(1)5,3,0
(2)见解析
(3)2
解析：(1)①∵,∴,
②∵,∴,
③∵,∴；
(2)设,,
∴,,
∴,
∴,
∴；
(3)
.
5.答案：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,平行四边形的对角线互相平分
(2)证明过程补充完整见解析
(3)(答案不唯一)见解析
解析：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,
平行四边形的对角线互相平分
(2),,
,
,
(3)
6.答案：(1)图见解析
(2)证明见解析
解析：(1)如图所示,即为所求；
(2)证明：垂直且平分,
,
.
,
.
,
,,
,
.
7.答案：(1)①；②
(2)1
解析：(1)证明：∵,,
∴,.
∴.
又∵,(同弧所对的圆周角相等)
,
∴.
∴.
…
故答案为：①；②；
(2)四边形是内接四边形,
,
,
,即,
,
,
,
,
.
8.答案：(1)
(2)补全证明见解析
(3)
解析：(1)如图所示：
由三角形内角平分线性质定理可得,,
,,
,
在中,,,,则由勾股定理可得,
设,,
则,解得,
,
故答案为：；
(2)过点A作,过点F作,,垂足分别为E,K,N,如图4,
平分,
,
.
,
；
(3)如图所示：
在中,由三角形内角平分线性质定理可得,；
在中,由三角形外角平分线性质定理可得,；
,
,
,
,
设,,
则由可得,,
解得,
,
,
若是的平分线,是的外角的平分线,
,
M是线段的中点,
.
9.答案：(1)正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径
(2)见解析
(3)
解析：(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形中,一定是双心四边形的是正方形；
对角：双心四边形的对角互补；
,的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径
故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)证明：连接,,.
与,分别相切于点E,F,
,,
,
,,
.
同理,,,.
,
即.
(3)如图所示,连接,作的角平分线交于点P,以为直径作,过点P作于点M,以为半径作,则P,Q分别为四边形的外接圆圆心与内切圆圆心,
∵,,,,
∴
∴,则,
∴,
∴,
在中,,
设,则,
又∵是的角平分线,
∴
∴
∴
又∵
∴
解得：
∴
∴
即其外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为.
10.答案：(1)6
(2)①的长为,的长为；②6
解析：(1)如图,延长、交于点E,
∵,,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
在中,,,,
∴,
∴的长为6
故答案为：6；
(2)①如图,延长、交于点E,
∵,,,
∴,
∴,,
设,
∴,,,
在中,,,
∴,
解得：,
经检验：是所列方程的解且符合题意,
∴,,,
∴,
∴的长为,的长为；
②如图,延长、交于点E,
∵四边形内接于,,,,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
解得：,
∴的长为6.
11.答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)在中,
,
∵,,
,,
,
,
同理：,
∴四边形为平行四边形,
,
∴四边形为矩形；
(2)∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
∴以点为圆心,大于长为半径作圆,并以点G为圆心,大于长为半径作圆,两圆交于两点,连接两点,得到菱形,如图即为所求：
；
(3)过点C作,交于点N,
,
∵,,是平行四边形,
∴,,
∴,
∴在中：由勾股定理,得：
∵,
,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,解得：,
∴,
∴,
∴,
∵四边形为矩形,
,
故答案为：.

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