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热点三 跨学科融合问题
热点趋势解读
跨学科融合是指将不同领域内的学科知识整合到一起，通过融通多学科知识，更好地帮助学生解决学习过程中出现的问题，提升学生在不同情境中解决问题的能力.数学中的跨学科融合问题是指在其他学科背景下创设数学问题或在研究其他学科的问题时，运用数学知识和数学思维解决问题.
《义务教学数学课程标准》（2022年版）中明确指出：在课程的内容结构上，要“设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联”.在近几年的中考中，跨学科融合的数学试题越来越多，这类试题充分体现了新课程改革的理念，重点考查学生对知识的整合、迁移能力，提升学生的综合素质.
1.古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”（），如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是( )
A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数
2.在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量E可以用公式表示.当，时，该微观粒子的能量E的值在( )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.8和9之间
3.生物学中,描述、解释和预测种群数量的变化,常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细胞可通过分裂来繁殖后代,我们就用数学模型来表示即；,,,,,…,请你推算的个位数字是( )
A.6 B.4 C.2 D.8
4.李老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化,将6种生活现象分别写在6张卡片上(如图),卡片的背面完全相同,将卡片洗匀后正面朝下.从中随机抽取一张卡片,抽中生活现象是物理变化的概率是( )
A. B. C. D.
5.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从空气射入水中要发生折射.物理课上,小军手持一激光笔射入水中,如图,水面与水杯下沿平行,光线从空气射入水中,发生折射,若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图1,某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻.(单位：),当人站上踏板时,通过电压表显示的读数(单位：V)换算为人的质量m(单位：).已知随着变化的关系图象如图2所示,与踏板上人的质量m的关系见图3.则下列说法正确的是( )
A.在一定范围内,越大,m越小
B.当时,踏板上人的质量为
C.当踏板上人的质量为时,
D.若电压表量程为,为保护电压表,则该电子体重秤可称得最大质量是
7.生物学家研究发现,人体许多特征都是由基因控制的(如图)如人的单双眼皮由常染色体上的一对基因控制,双眼皮是显性,单眼皮是隐性.双眼皮基因和单眼皮基因分别用A和a表示,因此控制单、双眼皮的一对基因是,,三种,其中基因为和的人双眼皮,基因为的人单眼皮.父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女.若父母都是双眼皮且他们的基因都是,则他们的子女是双眼皮的概率为______.
8.生物学研究表明,植物光合作用速率越高,单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两种植物的光合作用速率,科研人员从甲、乙两种植物中各选八株,在同等实验条件下,测量它们的光合作用速率(单位：),结果统计如下图所示,则两种植物中光合作用速率更稳定的是______.(填“甲”或“乙”)
9.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为.某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间.
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度.
10.如图是小红同学安装的化学实验装置,安装要求为试管略向下倾斜,试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管,,试管倾斜角为.实验时,为了保持装置稳定,导气管紧贴水槽壁,延长交的延长线于点F,(点C,D,N,F在一条直线上),经测得：,,求铁架台和点F的水平距离的长度(结果精确到).(参考数据：,,)
11.在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）.已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如表数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1) ______， ______；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质；
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；
(3)结合(2)中函数图象，在同一坐标系中画出的图象，当时，的解集为______.
12.帆船是一种古老的水上交通工具,已有5000多年的历史.它主要依靠自然风力航行.如图是帆船逆风航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为,帆与航行方向的夹角为,风对帆的作用力F为.根据物理知识,F可以分解为两个力与,其中与帆平行的力不起作用,与帆垂直的力又可以分解为两个力与,与航行方向垂直,被舵的阻力抵消；与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,若,求推动帆船前行的动力的值.(精确到.参考数据：,,,,,)
13.在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”,的连接点P在上,当点P在上转动时,带动点A,B分别在射线,上滑动,.当与相切时,点B恰好落在上,如图2.
请仅就图2的情形解答下列问题.
(1)求证：；
(2)若的半径为5,,求的长.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意得
、是常数，
是常数，
，
，
右侧力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数；
故选：C.
2.答案：C
解析：当，时，
，
，，
该微观粒子的能量E的值在6和7之间.
故选：C.
3.答案：A
解析：由题意知,个位数字每四个数按2,4,8,6循环出现,
∵,
∴的个位数字与相同,为6,
故选：A.
4.答案：C
解析：∵从6张卡片中随机抽取一张卡片,每一张卡片被抽中的可能性是相同的,而写着物理变化的卡片有2张
∴抽中生活现象是物理变化的概率是
故选：C.
5.答案：B
解析：如下图,由题意得：,
,
,
,
,
,
故选：B.
6.答案：B
解析：A、由图2可知,在一定范围内,越大,越小,
由可得,越小,m越大,原说法错误,不符合题意；
B、由图2可知,当时,的阻值为,
∴,解得：,
原说法正确,符合题意；
C、由图3关系式可知,当踏板上人的质量为时,,由图2可知,时,,原说法错误,不符合题意；
D、当电压表量程为时,由图2可知,当,阻值最小为,
由可知,随着m的增大而减小,则当时,m有最大值,
,解得：,即该电子体重秤可称得最大质量是,原说法错误,不符合题意；
故选：B.
7.答案：
解析：列表,
A a
A
a
共有4种等可能的情况,其中他们的子女是双眼皮的有3种,
∴他们的子女为双眼皮的概率为,
故答案为：.
8.答案：乙
解析：由折线统计图,可知乙种植物光合作用速率的波动幅度更小,∴两种植物中光合作用速率更稳定的是乙.
9.答案：该学生接温水的时间为，接开水的时间为
解析：设该学生接温水的时间为.
根据题意，得，
解得，.
，，
该学生接温水的时间为，接开水的时间为.
10.答案：
解析：过点B分别作,,垂足分别为H、P,
∵,
∴四边形为矩形,
∴,,.
在中,,,
∴,
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
答：线段的长度约为..
11.答案：(1)2，
(2)①见解析；②不断减小
(3)或
解析：(1)根据题意，，，
∴，
故答案为：2，；
(2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)的函数图象如图：
由函数图象知，当或时，，
∴当时，的解集为或，
故答案为：或.
12.答案：
解析：如图所示：
∵夹角为,帆与航行方向的夹角为,
∴,
∵与帆平行的力不起作用,与帆垂直的力以分解为两个力与,
∴,,
∴
则,
解得,
则,,
∴,
解得.
13.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,取y轴正半轴与交点于点Q,如下图：
,,
为的外角,
,
,
,
.
(2)过点Q作的垂线,交与点C,如下图：
由题意：
在中,
,
由(1)知：,,
,
,,
,,
,
,
由圆的性质,直径所对的角为直角；
在中,由勾股定理得：
,
即.

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