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期中复习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．下列式子计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．3
6．在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，．以为边向右侧作正方形，过点作交于点，连接，则的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
二、填空题
9．比较大小： （填写“”，“”或“”）
10．已知，则 ．
11．如图，在和中，，，，则点A，D距离是 ．
12．如图，等腰中，，、分别在边、上，且，若，则的面积是 ．
13．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ．
14．如图，在中，，的角平分线与的角平分线交于点，若点恰好在边上，则的长为 ．
15．如图，等边 的三个顶点分别在等边 的三条边上， ，若 与 的面积分别为 和 ，则 的值为 ．

16．如图，在长方形中，，．点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等．
三、解答题
17．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
18．先化简，再求值：，其中
19．如图，在矩形中，为等腰直角三角形，
(1)求证：；
(2)若矩形的周长为，，求的面积．
20．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向）
(1)请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由；
(2)若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？
21．如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．
(1)线段与线段的数量关系为：______．
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长．
22．如图1，点是对角线上一点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，设与的交点为，且为中点，连接，若，求证：．
23．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？
24．在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题：
已知，求的值．
他是这样解答的：∵，
∴，∴，即，
∴，∴．
请你根据小明的解题方法，解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
《期中复习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D D D A C
1．C
【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键．
【详解】解：A、中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查二次根式加减运算，二次根式乘除运算等．根据题意逐一对选项进行计算即可．
【详解】解：∵无法计算，故A选项不正确，
∵，故B选项正确，
∵，故C选项不正确，
∵，故D选项不正确，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，据此可得答案．
【详解】解：
∵
∴，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键．延长至，使，连接，过点作于，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理求即可．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，
∵中，，，，
∴，则，
垂直平分线段，
，
，
，
，
由垂线段最短可知：当与共线时，为最小值，
此时，，
，
，
，
∴的最小值为；
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可知，再结合题中即可求出的度数，进而求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
；
故选：D
7．A
【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴（负值已舍去），
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，构造三角形全等是解题的关键．
如图所示，过点作于点，四边形为矩形，，，，，，，，由的周长为，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为矩形，是对角线，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：C ．
9．
【分析】本题主要考查二次根式的性质和实数的大小比较，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据，，可求得，据此即可求得答案．
【详解】∵，，
∴，
∴
故答案为：．
10．22
【分析】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，直接利用二次根式的性质将已知式子化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，
∴，
∴
∴
整理得：，
∴，
则．
故答案为：22．
11．
【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据证明，过点A作，根据勾股定理求出，运用等积法求出，由全等三角形的性质可得A，D之间的距离．
【详解】解：在中，，，，
∴，
如图，过点A作于点E，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴A，D之间的距离．
故答案为：．
12．
【分析】作的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，由线段垂直平分线和等腰直角三角形的性质可得，设，，由勾股定理可得，再代入三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：作的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，则，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，即，
在中，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了实数的运算，正确运用已知运算公式是解题关键．直接利用运算公式代入，进行计算即可得解 ．
【详解】解：根据题意可得：
，
故答案为：．
14．4
【分析】此题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边．根据平行四边形的性质和角平分线的定义结合等角对等边可得，，可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分和，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
15．8
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，
先证明，再根据面积之间的关系可求，然后根据可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
∵，
即，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
过点F作，交于点G，

在中，，
∴，
根据勾股定理，得．
∴，
即，
解得．
故答案为：8．
16．2或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．
【详解】解：设点Q从点C出发，同时点P从点B出发，
①当，时，，
，
，
，
∵点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：2或
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（3）先计算括号里面的，再计算二次根式的除法即可；
（4）利用平方差公式计算即可得解
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内约分作差，再将除法化为乘法约分计算，然后将、的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
当时，原式．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）由为等腰直角三角形，得出，，推出，由证得，得出，即可得出结论；
（2）设，利用矩形的性质可得，解得的长，根据勾股定理求得，即可求得的面积．
【详解】（1）证明：为等腰三角形，
，，
又，
，
又四边形是矩形，
，，
在和中，
，
．
，
；
（2）解：设，根据题意得：，
解得，即，
在中，，
；
的面积为6.5．
20．(1)轮船沿西北方向航行，见解析
(2)100海里
【分析】本题主要考查方位角，勾股定理及其逆定理的运用，理解方位角的含义，掌握勾股定理及其逆定理的运用是关键．
（1）根据题意，，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，则，由此即可求解；
（2）根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，由勾股定理，，即，由此即可求解．
【详解】（1）解：轮船沿西北方向航行，理由：
已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，
∴，，
∵它们离开港口两小时后相距50海里，即，
∵，即，
∴为直角三角形，即，
∵由轮船沿东北方向航行，可知，
∴，
∴轮船沿西北方向航行．
（2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，
由（1）得为直角三角形，即，
根据勾股定理，，
，
答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，
∴，
∴
故答案为：．
（2）和都是等腰直角三角形，，，
，，，
，
连接，如图所示：
在和中，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
；
（3）解：过点作于，如图所示：
，，，
，
，
点是的中点，
，
是等腰直角三角形，，，
，
，
．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，结合题意得出为的中位线，再由三角形中位线的性质即可得证；
（2）证明得出，证明得出，再由平行四边形的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，即为中点，
，
为中点，
为的中位线
，即；
（2）解：由（1）得，，
，
又，为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
又，，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
23．(1)
(2)
(3)当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得；
（2）过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可得；
（3）先求出，，，从而可得要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，再分四种情况：①，②，③和④，根据建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
（3）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，
由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒，
∴，
∵，
∴．
①当时，，
∴，
∴，
∴，符合题设，舍去；
②当时，，
∴，
∴，
∴，符合题设；
③当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，符合题设；
④当时，，
∴，
∴，
∴，符合题设；
综上，当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识，正确分情况讨论，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
24．(1)
(2)12
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后同类二次根式即可；
（3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再利用同样方法计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
．
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