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期中复习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，分别是的中线和高．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．使式子成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
5．如图，中，，，与的平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E，则的周长等于（ ）．
A．12 B．14 C．15 D．18
6．图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方形中，平分交于点E，连接，若，，则长方形的面积为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
8．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
11．如图，绕点逆时针旋转到的位置．已知，则的度数为 ．
12．如图，将直角三角形沿方向平移后，得三角形．已知，四边形的面积为60，则的长为 ．
13．如图，在中，，点D 在边上，，则 ．

14．已知关于的不等式的解也是不等式的解，求的取值范围 ．
15．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，，则的长为 ．
16．如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
三、解答题
17．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，中，，中垂线分别交于，交于．已知，求的周长和面积．
19．已知：如图，把长方形纸片沿F折叠后．点D与点B重合，点C落在点的位置上．若，．
(1)求的度数；
(2)求长方形纸片的面积S．
20．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
(2)求直线的表达式和a的值．
21．点D是等边内一点，连接，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．
(1)若，，求点C到的距离．
(2)在（1）的条件下，若，求的长度．
22．如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，，求的值；
(3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：．
23．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元．
(1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？
(2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？
24．如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F．
(1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段上，求证：；
(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长．
《期中复习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C B C C C D B B
1．C
【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、若，则，故此选项结论不成立，不符合题意；
B、若，则，故此选项结论不成立，不符合题意；
C、若，则，故此选项结论成立，符合题意；
D、若，则，故此选项结论不成立，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可，熟知三线合一性质是解题的关键．
【详解】解：是的高，
，
，
，
，
是的中线，，
，
，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可得与是等腰三角形， 即可得的周长等于解题即可．
【详解】解： ∵平分， 平分，
∴， ，
∵，
∴， ，
∴， ，
∴， ，
∵， ，
∴的周长为： .
故选：C．
6．C
【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键．
将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得．
【详解】解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接，
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
，，，
∴
∴
∵平移至处，．
∴
∴
∴
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的定义，根据长方形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再证明，得到，据此求出，即可得出答案．
【详解】解：由长方形的性质可，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
长方形的面积是，
故选：．
8．B
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案．
【详解】解：设购买A型污水处理设备a台，
由题意得，，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
，故②正确；
③在中，，，
．
．
与不垂直，故③不正确；
④在中，，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：B．
10．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的两点其横、纵坐标均互为相反数即可得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
根据旋转的性质得，再根据即可求解．
【详解】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，
，
故答案为：．
12．12
【分析】本题主要考查了平移变换，全等三角形的性质，梯形的面积等知识，解题的关键是证明．
首先证明，由此构建方程，可得结论．
【详解】解：由平移可知，，
，，
，
，，，
，
．
故答案为：12．
13．/27度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，并会比较两个不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
求出两个一元一次不等式的解集进行比较即可求出的取值范围．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵不等式的解也是不等式的解，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即为等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【详解】解：把代入，得：
，
解得：，
∴，
当时，则，
故答案为：．
17．数轴见解析，
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式：
，
解不等式：
，
在数轴上表示为：
不等式组的解集为．
18．周长为，面积为
【分析】本题考查了勾股定理和中垂线的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．根据勾股定理，先求出的长度，再根据是的中垂线，得到，求出长，利用勾股定理，在中，求出长，即可通过三边长求出周长，利用直角三角形的面积公式求出面积．
【详解】解：如图所示，连接，
，，，
根据勾股定理，在中，，
是的中垂线，
，
，
在中，，
的周长为，
的面积为．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知折叠的性质是解题的关键。
（1）由折叠和平行线的性质可得，再由平角的定义可得答案；
（2）求出，则，利用勾股定理求出的长，再由折叠的性质求出的长，即可求出，再根据长方形面积计算公式求解即可.
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴.
20．(1)
(2)，
【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图象可知时，在的下方，得出答案；
（2）将点，代入，求出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，
x的取值范围为；
（2）解：将点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入
得，
∴点M的坐标为，
把代入，
得．
21．(1)点C到的距离为1；
(2)．
【分析】（1）由旋转性质得到，，证明是等边三角形得到，过C作延长线于F，则有，根据含30度角的直角三角形的性质可求解；
（2）利用旋转性质和勾股定理可求得，，进而可求得，再根据等边三角形的性质得到可求解．
【详解】（1）解：∵绕点C顺时针旋转得到，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
过C作延长线于F，
则，
∴，
即点C到的距离为1；
（2）解：由旋转性质得，
由（1）知，
在中，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解答的关键．
22．(1)见解析
(2)19
(3)见解析
【分析】（1）在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论；
（2）过点A作于M，根据勾股定理计算高，可得和的长，即可解答；
（3）延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：如图2，过点A作于M，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）证明：延长至K，使，连接，，如图3所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质和判定，平方差公式等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23．(1)共有4种购买方案，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，有理数四则混合运算应用，正确地列出一元一次不等式组是解题的关键．
（1）设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论；
（2）根据两个商场推出的优惠方案，分别求得（1）中各方案的费用，进而比较可得结论；
【详解】（1）解：设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又∵x为正整数，
∴x可以取26，27，28，29；
∴共有4种购买方案，
方案1：购进26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”；
（2）解：方案1总费用：（元），
甲商场：（元），
乙商场：（元），
∵ ，
∴选择甲商场才合算；
方案2总费用：（元），
甲商场：（元），
乙商场：（元），
∵ ，
∴选择甲商场才合算；
方案3总费用：（元），
甲商场：（元），
乙商场：（元），
∴选择甲、乙商场都合算；
方案4总费用：（元），
甲商场：（元），
乙商场：（元），
∵ ，
∴选择乙商场才合算；
24．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)4或2或6
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由旋转的性质可得，由“”可证；
（2）如图：过点O作，交于H，可证是等边三角形，可得，由“”可证可得，即可得．
（3）先分四种情形分别画出图形，分别根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质进行解答即可．
【详解】（1）证明：如图①中，
∵与为正三角形，
∴，
∵将射线绕点O逆时针旋转，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图②，过点O作，交于H，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图：作于H．
∵，
∴，
如图③﹣1中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
∵，
∴，
∴，
如图：过点O作，交于N，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图③﹣2中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可证：，
∴，
∴；
如图③﹣3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
同法可证：，
∵，
∴，
∴；
如图③﹣4中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可知：，
而，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的的值为4或2或6．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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