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第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多运动过程问题
学习目标　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，并能解决实际问题。 2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。 3.灵活运用匀变速直线运动的规律解决多过程问题。
1.
2.
1.思考判断
(1)同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(√)
(2)物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。(×)
(3)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。(√)
2.人教版必修第一册第二章第4节[科学漫步]中，伽利略的斜面实验中如何测量时间的 如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律
答案　当时只能靠滴水计时，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，“冲淡”了重力，使加速度变小，时间变长，更容易测量。合理外推将斜面的倾角增大到90°。
考点一　自由落体运动
1.运动特点
初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动。
2.解题方法
(1)初速度为0的匀变速直线运动规律都适用。
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
②由Δv=gΔt知，相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等时间T内下落的高度之差Δh=gT2。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例1 (2025·辽宁辽阳一模)某人坐在树下看到熟透的苹果(视为质点)从树上掉下来，从与头顶相同高度处落到水平地面的时间为0.1 s。已知头顶到地面的高度为1.25 m，取重力加速度大小为10 m/s2，则苹果(　　)
A.经过与头顶相同高度处时的速度大小为10 m/s
B.在空中运动的时间为1.2 s
C.刚掉落时离地的高度为8.45 m
D.落地时的速度大小为12 m/s
答案　C
解析　设经过与头顶相同高度处时的速度大小为v1，根据运动学公式可得h2=v1t2+g，其中h2=1.25 m，t2=0.1 s，可得经过与头顶相同高度处时的速度大小为v1=12 m/s，苹果在空中的时间为t=+t2= s+0.1 s=1.3 s，苹果刚掉落时离地的高度为h=gt2=×10×1.32 m=8.45 m，苹果落地时的速度大小为v=gt=10×1.3 m/s=13 m/s，故C正确，A、B、D错误。
例2 (多选)甲、乙两物体，甲的质量为4 kg，乙的质量为2 kg，甲从20 m高处自由下落，1 s后乙从10 m高处自由下落，不计空气阻力。在两物体落地之前，下列说法中正确的是(　　)
A.同一时刻甲的速度大
B.同一时刻甲的加速度大
C.两物体从起点各自下落1 m时的速度是相同的
D.落地之前甲和乙的高度之差保持不变
答案　AC
解析　根据速度公式可知同一时刻甲的速度大，A正确;自由落体运动的加速度都是重力加速度，B错误;由v2=2gh可知两物体从起点各自下落1 m时的速度是相同的，C正确;两物体间距离Δh=20 m－g(t+Δt)2－=10 m－gΔt(2t+Δt)，因此落地之前甲和乙的高度之差随时间增加而变化，D错误。
自由落体运动的两个物体相隔一定时间从同一高度先、后下落，两物体的加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
跟踪训练
1.2024年8月，我国运动员获得奥运女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，运动员在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A.0.2 s B.0.4 s
C.1.0 s D.1.4 s
答案　B
解析　运动员下落的整个过程所用的时间为t== s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间为t1== s=1 s，则运动员用于姿态调整的时间约为t2=t－t1=0.4 s，B正确，A、C、D错误。
考点二　竖直上抛运动
竖直上抛运动的对称性和多解性
(1)对称性(如图)
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解。
例3 (2025·福建福州高三期中)“燕子钻天”是打弹弓射弹的一种方式，即将弹丸竖直向上射出，如图所示。若某次射出的弹丸(可视为质点)做竖直上抛运动，经过3 s弹丸到达最高点，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，求:
(1)弹丸射出时的速度;
(2)弹丸上升的最大高度;
(3)弹丸射出后第1 s内上升的高度;
(4)弹丸落回抛出点的速度;
(5)弹丸上升5 m所用的时间(计算结果保留根式)。
答案　(1)30 m/s　(2)45 m　(3)25 m　(4)30 m/s (5)(3－2) s
解析　(1)由经过3 s弹丸到达最高点，得弹丸射出时竖直方向初速度为v0=gt=30 m/s。
(2)由=2gh得弹丸上升的最大高度hm==45 m。
(3)弹丸第1 s内上升高度为h1=v0t1－g
解得h1=25 m。
(4)根据对称性知，弹丸落回抛出点的速度v=v0=30 m/s。
(5)设弹丸上升5 m的时间为t2，则有h2=v0t2－g
解得t2=(3－2) s或t2'=(3+2) s(舍去)。
拓展 计算弹丸距离射出点5 m所用的时间。
答案　见解析
解析　若弹丸在射出点上方5 m，则h2=v0t2－g
解得t2=(3－2) s或t2'=(3+2) s
若弹丸在射出点下方5 m，则－h2=v0t3－g
解得t3=(3+) s或t3'=(3－) s(舍去)。
总结提升　竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动 下降阶段:自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v=v0－gt，h=v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
跟踪训练
2.(多选)(2025·陕西宝鸡高三联考)我国的跳水队被誉为“梦之队”。某运动员正在进行3米板跳水训练，将该运动员看成质点，从其向上起跳脚离开跳板的瞬间开始计时，设t1时刻运动员运动到最高点，t2时刻运动员刚好入水，此后在水中做匀减速直线运动，t3时刻运动员的速度恰好减小到零。已知t2=3t1，t3=4t1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则下列判断正确的是(　　)
A.运动员离开跳板后，在空中向上运动的路程为向下运动路程的
B.运动员离开跳板后，在空中运动总位移的大小为6 m
C.运动员入水的瞬时速度为4 m/s
D.运动员入水的深度 m
答案　AC
解析　设运动员离开跳板后向上运动的位移大小(即在空中向上的路程)为x，则从最高点到刚入水时的位移大小(即在空中向下的路程)为x'=x+3，设起跳速度为v0，入水时的速度为v，则有x=g，v0=gt1，x+3=g(t2－t1)2，v=g(t2－t1)，又t2=3t1，联立解得t1= s，t2= s，x=1 m，x'=4 m=4x，v0=2 m/s，v=4 m/s，A、C正确;运动员在水中做匀减速直线运动，有v=a(t3－t2)，入水深度h=，又t3=4t1= s，代入数据解得a=20 m/s2，h=2 m，D错误;运动员离开跳板后，在空中运动总位移的大小为3 m，B错误。
考点三　多运动过程问题
例4 (2024·全国甲卷，24)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a=2 m/s2，在t1=10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2=41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0=340 m/s，求:
(1)救护车匀速运动时的速度大小;
(2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
答案　(1)20 m/s　(2)680 m
解析　(1)根据题意可知，救护车匀速运动时的速度大小为v=at1
代入数据解得v=20 m/s。
(2)设救护车在t=t0时停止鸣笛，则由运动学规律可知，此时救护车距出发处的距离为
x=a+v(t0－t1)
又x=v0(t2－t0)
联立并代入数据解得x=680 m。
1.匀变速直线运动的多过程问题的解题思路
(1)依据加速度不同，将物体运动分为几个阶段。
(2)分析判断各阶段的运动性质，画出运动示意图。
(3)列出各运动阶段的运动方程。
(4)找出衔接处的速度与各阶段间的位移、时间和加速度间的关系。
(5)联立求解，算出结果，并对结果进行讨论。
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。
跟踪训练
3.(2025·重庆八中模拟)重庆的桥梁、隧道众多，故被称为“魔幻之都”。长为L的轻轨在平直轨道上正常行驶，速率为v0，前方有一长为2L的隧道，为了保证安全通过该隧道，轻轨的任一部分位于隧道内时，它的速率都不允许超过。已知列车加速和减速的加速度大小分别为a和2a，则列车从减速开始到恢复正常速率v0，需要的最短时间为(　　)
A.+ B.+
C.+ D.+
答案　A
解析　由题意知，列车进隧道前速率必须减速到，则有=v0－2at1，解得t1=;通过隧道时匀速运动，通过的位移为3L，故所用时间t2==;列车尾部出隧道后立即加速到v0，有v0=+at3，解得t3=，则列车从减速开始至恢复正常行驶速度v0，需要的最短时间为t=t1+t2+t3=+，故A正确。
A级　基础对点练
对点练1　自由落体运动
1.(2024·广西卷，3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A.v1=5 m/s B.v1=10 m/s
C.v2=15 m/s D.v2=30 m/s
答案　B
解析　重物做自由落体运动，下落速度与质量无关，则下落1 s后速度为v1=v2=gt=10 m/s2×1 s=10 m/s，故B正确。
2.(2024·河南商丘模拟)某兴趣小组用频闪投影的方法研究自由落体运动，实验中把一高中物理书竖直放置，将一小钢球从与书上边沿等高处静止释放，整个下落过程的频闪照片如图所示，已知物理书的长度为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，该频闪摄影的闪光频率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题图可知，小钢球下落过程经过5段间隔，则运动时间为t=，根据l=gt2，得该频闪摄影的闪光频率为f=，故C正确。
3.(多选)(2025·广东四校高三联考)某物体由静止开始自由下落，运动中只受重力作用。以运动开始时刻为计时起点，物体经过5 s后落地，下列说法正确的是(　　)
A.计时开始后1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9
B.计时开始后1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶3∶5
C.计时开始后第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为1∶2∶3
D.落地前，相等时间内物体的速度变化量相同
答案　AD
解析　根据h=gt2可知，计时开始后1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，选项A正确;根据v=gt可知，计时开始后1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，选项B错误;计时开始后第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，根据=可知，平均速度之比为1∶3∶5，选项C错误;根据Δv=gΔt可知，落地前相等时间内物体的速度变化量相同，选项D正确。
对点练2　竖直上抛运动
4.(2025·上海黄浦高三期中)无人机甲与三楼阳台平齐悬于空中，从无人机上同时以10 m/s的速率抛出两个小球，其中一个球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为Δt;如果另一无人机乙与六楼阳台上平齐悬于空中，以与甲同样的方式抛出两个小球，它们落地的时间差为Δt'。不计空气阻力，Δt'和Δt相比较，有(　　)
A.Δt'<Δt B.Δt'=Δt
C.Δt'>Δt D.无法判断
答案　B
解析　设小球抛出时的高度为h，竖直上抛和竖直下抛经历的时间分别为t1、t2，则有h=－v0t1+g，h=v0t2+g，整理可得Δt=t1－t2=，即时间差是一个定值，与高度无关，故B正确。
5.(多选)建筑工人常常徒手抛砖块，当砖块上升到最高点时，被楼上的师傅接住用以砌墙。若某次以10 m/s的速度从地面竖直向上抛出一砖块，楼上的师傅没有接住，g取10 m/s2，空气阻力可以忽略，下列说法正确的是(　　)
A.砖块上升的最大高度为10 m
B.砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为3.75 m
C.经2 s砖块回到抛出点
D.被抛出后上升的过程中砖块做变减速直线运动
答案　BC
解析　砖块上升的最大高度为h== m=5 m，故A错误;上升到最高点需要的时间为t1==1 s，根据运动的对称性可知从抛出到回到抛出点所需时间为t=2t1=2 s，砖块从最高点经过0.5 s下降的高度为h'=gt'2=×10×0.52 m=1.25 m，砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为s=h－h'=3.75 m，故B、C正确;被抛出后上升的过程中加速度始终等于重力加速度，做匀减速直线运动，故D错误。
对点练3　多运动过程问题
6.(多选)(2025·河南九师联盟高三联考)我国宋代已经出现冲天炮这种玩具，也叫“起火”，如图，逢年过节人们都要放“起火”庆祝。若冲天炮从地面由静止发射竖直升空可认为做a=8 m/s2的匀加速直线运动，当到达离地面25 m的高处时燃料恰好用完，忽略空气阻力，g=10 m/s2，则(　　)
A.燃料恰好用完时冲天炮的速度大小为20 m/s
B.燃料用完后继续向上运动的位移大小为17 m
C.冲天炮上升离地面的最大高度为38 m
D.冲天炮从发射到最大高度所用的时间为4.5 s
答案　AD
解析　根据位移与速度的关系式有=2ah1，解得v0==20 m/s，故A正确;燃料用完后，冲天炮继续向上做竖直上抛运动，利用逆向思维有=2gh2，解得h2=20 m，故B错误;结合上述可知，冲天炮上升离地面的最大高度为H=h1+h2=45 m，故C错误;根据平均速度与位移的关系有h1=t1，h2=t2，解得冲天炮从发射到最大高度所用的时间为t=t1+t2=4.5 s，故D正确。
7.“太空梭”是游乐园中一种利用自由落体运动规律设计的游乐设施，如图。这种游乐设施使用机械装置将乘坐台上的乘客升至高处，然后由静止释放，自由下落，最后在落地前用机械装置将乘坐台停下来。将该游乐设施下落时的运动看作自由落体运动和匀变速直线运动，出于安全考虑，普通人最多承受3g的加速度，g取10 m/s2。如果设计一个自由落体历时6 s的“太空梭”，则该设施的高度至少为(　　)
A.420 m B.180 m
C.300 m D.240 m
答案　D
解析　“太空梭”的运动分为两个阶段，自由落体阶段和匀减速阶段，自由落体下落的高度为h1=gt2=180 m，匀减速的最大加速度为3g，则匀减速下落的高度为h2==60 m，则总高度为H=h1+h2=240 m，A、B、C错误，D正确。
B级　综合提升练
8.(2024·浙江金华模拟)如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L的细线连接，a球在上，b球在下，用手拿着a球，测得a球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a球，两球落地的时间差为Δt，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是(　　)
A.b球下落的时间大于
B.a球下落的时间小于
C.重力加速度g=()2
D.b球落地前a球的加速度比b球大
答案　C
解析　某时刻静止释放a球，a球下落高度为h，b球下落高度为h－L，则根据运动学公式可得h－L=g，则b球下落的时间为tb=，A错误;a球下落的时间为ta=，B错误;两球落地的时间差为Δt，则Δt=ta－tb=，故重力加速度g=()2，C正确;b球落地前两球均做自由落体运动，则a球的加速度与b球加速度相等，D错误。
9.甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为(　　)
A.g B.g()
C.g() D.g()
答案　D
解析　根据竖直上抛运动规律，竖直向上运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间为t=，甲小球到达最高点的高度为h=g=g，甲小球下落的高度为h'=g=g，故该位置距离抛出点的高度为h″=h－h'=g()，故D正确。
10.(多选)(2025·山东济宁高三期中)如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同小球b从地面上方某处由静止释放，两球在空中相遇时速度大小恰好均为v0(不计空气阻力)。重力加速度为g，则(　　)
A.球b开始下落的高度为
B.球b开始下落的高度为
C.两球同时落地
D.两球落地的时间差为
答案　BD
解析　依题意有gt=v0，相遇时两球运动的时间t=，从运动开始至两球相遇，球a上升高度为h1=v0t－gt2=，球b已下落的距离为h2=gt2=，则球b开始下落的高度为h=h1+h2=，故A错误，B正确;由题意可知，球a上升的最大高度与球b下落的高度相等，对球b有=g，解得tb=，而球a做竖直上抛运动，先向上做匀减速运动，然后做自由落体运动，根据运动的对称性可知，其运动时间为ta=，可知两球不会同时落地，故C错误;两球落地的时间差为Δt=ta－tb=，故D正确。
11.(2025·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用，我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中。如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1=205 m处，t=0时刻，它以加速度a1=6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1=75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2=70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2，求:
(1)无人机从t=0时刻到重新悬停在距目标高度为H2=70 m处的总时间t;
(2)若无人机在距目标高度为H2=70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，恢复动力后的最小加速度。
答案　(1)9 s　(2)4 m/s2
解析　(1)设无人机下降过程最大速度为v，向下加速运动时间为t1，减速运动时间为t2，由匀变速直线运动规律有h1=a1，v=a1t1，H1－H2－h1=t2
联立解得t1=5 s，t2=4 s
则总时间为t=t1+t2=9 s。
(2)无人机自由下落2 s末的速度为v2=gt2'=20 m/s
2 s内向下运动的位移为x1=gt2'2=20 m
设其向下匀减速运动的加速度大小为a2时，恰好到达地面前瞬间速度为零，此时a2为最小加速度，则H2－x1=，代入数据解得a2=4 m/s2。
C级　培优加强练
12.(多选)(2025·四川遂宁高三期中)如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h处，空心管长为L，小球球心与管的轴线重合，并在竖直线上释放小球，小球可以无碰撞的穿过空心管，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　)
A.两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，则小球穿过管的时间为
B.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为
C.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为
D.两者均无初速度释放，但小球提前了Δt时间释放，则小球穿过管的时间为
答案　AD
解析　两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，以管为参考系，小球相对管匀速运动，则有t=，故A正确;若两者均无初速度释放，但小球提前Δt时间释放，以管为参考系，小球相对管匀速运动，则有v=gΔt，L=vt，可知小球穿过管的时间为t=，故D正确;两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，以小球为参考系，管相对小球向上匀速运动，则有t=，故B、C错误。(共52张PPT)
第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多运动过程问题
第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，并能解决实际问题。
2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。
3.灵活运用匀变速直线运动的规律解决多过程问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
静止
1.
gt
gt2
2gh
向上
2.
重力
v0-gt
v0t-gt2
-2gh
1.思考判断
×
√
(1)同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。( )
(2)物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。( )
(3)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。( )
√
2.人教版必修第一册第二章第4节[科学漫步]中，伽利略的斜面实验中如何测量时间的 如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律
答案　当时只能靠滴水计时，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，“冲淡”了重力，使加速度变小，时间变长，更容易测量。合理外推将斜面的倾角增大到90°。
研透核心考点
2
考点二　竖直上抛运动
考点一　自由落体运动
考点三　多运动过程问题
考点一　自由落体运动
1.运动特点
初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动。
2.解题方法
(1)初速度为0的匀变速直线运动规律都适用。
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
②由Δv=gΔt知，相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等时间T内下落的高度之差Δh=gT2。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例1 (2025·辽宁辽阳一模)某人坐在树下看到熟透的苹果(视为质点)从树上掉下来，从与头顶相同高度处落到水平地面的时间为0.1 s。已知头顶到地面的高度为1.25 m，取重力加速度大小为10 m/s2，则苹果(　　)
A.经过与头顶相同高度处时的速度大小为10 m/s
B.在空中运动的时间为1.2 s
C.刚掉落时离地的高度为8.45 m
D.落地时的速度大小为12 m/s
C
解析　设经过与头顶相同高度处时的速度大小为v1，根据运动学公式可得h2=v1t2+g，其中h2=1.25 m，t2=0.1 s，可得经过与头顶相同高度处时的速度大小为v1=12 m/s，苹果在空中的时间为t=+t2= s+0.1 s=1.3 s，苹果刚掉落时离地的高度为h=gt2=×10×1.32 m=8.45 m，苹果落地时的速度大小为v=gt=10×1.3 m/s=13 m/s，故C正确，A、B、D错误。
例2 (多选)甲、乙两物体，甲的质量为4 kg，乙的质量为2 kg，甲从20 m高处自由下落，1 s后乙从10 m高处自由下落，不计空气阻力。在两物体落地之前，下列说法中正确的是(　　)
A.同一时刻甲的速度大
B.同一时刻甲的加速度大
C.两物体从起点各自下落1 m时的速度是相同的
D.落地之前甲和乙的高度之差保持不变
AC
解析　根据速度公式可知同一时刻甲的速度大，A正确;自由落体运动的加速度都是重力加速度，B错误;由v2=2gh可知两物体从起点各自下落1 m时的速度是相同的，C正确;两物体间距离Δh=20 m－g(t+Δt)2－=10 m－gΔt(2t+Δt)，因此落地之前甲和乙的高度之差随时间增加而变化，D错误。
自由落体运动的两个物体相隔一定时间从同一高度先、后下落，两物体的加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
跟踪训练
1.2024年8月，我国运动员获得奥运女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，运动员在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A.0.2 s B.0.4 s C.1.0 s D.1.4 s
B
解析　运动员下落的整个过程所用的时间为t== s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间为t1== s=1 s，则运动员用于姿态调整的时间约为t2=t－t1=0.4 s，B正确，A、C、D错误。
考点二　竖直上抛运动
竖直上抛运动的对称性和多解性
(1)对称性(如图)
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解。
例3 (2025·福建福州高三期中)“燕子钻天”是打弹弓射弹的一种方式，即将弹丸竖直向上射出，如图所示。若某次射出的弹丸(可视为质点)做竖直上抛运动，经过3 s弹丸到达最高点，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，求:
(1)弹丸射出时的速度;
(2)弹丸上升的最大高度;
解析　(1)由经过3 s弹丸到达最高点，得弹丸射出时竖直方向初速度为v0=gt=30 m/s。
(2)由=2gh得弹丸上升的最大高度hm==45 m。
答案　(1)30 m/s　(2)45 m　
(3)弹丸射出后第1 s内上升的高度;
(4)弹丸落回抛出点的速度;
(5)弹丸上升5 m所用的时间(计算结果保留根式)。
解析　(3)弹丸第1 s内上升高度为h1=v0t1－g
解得h1=25 m。
(4)根据对称性知，弹丸落回抛出点的速度v=v0=30 m/s。
(5)设弹丸上升5 m的时间为t2，则有h2=v0t2－g
解得t2=(3－2) s或t2'=(3+2) s(舍去)。
答案　 (3)25 m　(4)30 m/s (5)(3－2) s
拓展 计算弹丸距离射出点5 m所用的时间。
答案　见解析
解析　若弹丸在射出点上方5 m，则h2=v0t2－g
解得t2=(3－2) s或t2'=(3+2) s
若弹丸在射出点下方5 m，则－h2=v0t3－g
解得t3=(3+) s或t3'=(3－) s(舍去)。
总结提升　竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动
下降阶段:自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v=v0－gt，h=v0t－gt2(以竖直向上为正方向)
若v>0，物体上升，若v<0，物体下落
若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
跟踪训练
AC
2.(多选)(2025·陕西宝鸡高三联考)我国的跳水队被誉为“梦之队”。某运动员正在进行3米板跳水训练，将该运动员看成质点，从其向上起跳脚离开跳板的瞬间开始计时，设t1时刻运动员运动到最高点，t2时刻运动员刚好入水，此后在水中做匀减速直线运动，t3时刻运动员的速度恰好减小到零。已知t2=3t1，t3=4t1，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则下列判断正确的是(　　)
A.运动员离开跳板后，在空中向上运动的路程为向下运动路程的
B.运动员离开跳板后，在空中运动总位移的大小为6 m
C.运动员入水的瞬时速度为4 m/s
D.运动员入水的深度 m
解析　设运动员离开跳板后向上运动的位移大小(即在空中向上的路程)为x，则从最高点到刚入水时的位移大小(即在空中向下的路程)为x'=x+3，设起跳速度为v0，入水时的速度为v，则有x=g，v0=gt1，x+3=g(t2－t1)2，v=g(t2－t1)，又t2=3t1，联立解得t1= s，t2= s，x=1 m，x'=4 m=4x，v0=2 m/s，v=4 m/s，A、C正确;运动员在水中做匀减速直线运动，有v=a(t3－t2)，入水深度h=，又t3=4t1= s，代入数据解得a=20 m/s2，h=2 m，D错误;运动员离开跳板后，在空中运动总位移的大小为3 m，B错误。
例4 (2024·全国甲卷，24)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t=0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a=2 m/s2，在t1=10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2=41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0=340 m/s，求:
(1)救护车匀速运动时的速度大小;
(2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
考点三　多运动过程问题
解析　(1)根据题意可知，救护车匀速运动时的速度大小为v=at1
代入数据解得v=20 m/s。
(2)设救护车在t=t0时停止鸣笛，则由运动学规律可知，此时救护车距出发处的距离为x=a+v(t0－t1),又x=v0(t2－t0)
联立并代入数据解得x=680 m。
答案　(1)20 m/s　(2)680 m
1.匀变速直线运动的多过程问题的解题思路
(1)依据加速度不同，将物体运动分为几个阶段。
(2)分析判断各阶段的运动性质，画出运动示意图。
(3)列出各运动阶段的运动方程。
(4)找出衔接处的速度与各阶段间的位移、时间和加速度间的关系。
(5)联立求解，算出结果，并对结果进行讨论。
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。
3.(2025·重庆八中模拟)重庆的桥梁、隧道众多，故被称为“魔幻之都”。长为L的轻轨在平直轨道上正常行驶，速率为v0，前方有一长为2L的隧道，为了保证安全通过该隧道，轻轨的任一部分位于隧道内时，它的速率都不允许超过。已知列车加速和减速的加速度大小分别为a和2a，则列车从减速开始到恢复正常速率v0，需要的最短时间为(　　)
A.+ B.+ C.+ D.+
跟踪训练
A
解析　由题意知，列车进隧道前速率必须减速到，则有=v0－2at1，解得t1=;通过隧道时匀速运动，通过的位移为3L，故所用时间t2==;列车尾部出隧道后立即加速到v0，有v0=+at3，解得t3=，则列车从减速开始至恢复正常行驶速度v0，需要的最短时间为t=t1+t2+t3=+，故A正确。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
B
对点练1　自由落体运动
1.(2024·广西卷，3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A.v1=5 m/s B.v1=10 m/s C.v2=15 m/s D.v2=30 m/s
解析　重物做自由落体运动，下落速度与质量无关，则下落1 s后速度为v1=v2=gt=10 m/s2×1 s=10 m/s，故B正确。
C
2.(2024·河南商丘模拟)某兴趣小组用频闪投影的方法研究自由落体运动，实验中把一高中物理书竖直放置，将一小钢球从与书上边沿等高处静止释放，整个下落过程的频闪照片如图所示，已知物理书的长度为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，该频闪摄影的闪光频率为(　　)
A. B. C. D.
解析　由题图可知，小钢球下落过程经过5段间隔，则运动时间为t=，根据l=gt2，得该频闪摄影的闪光频率为f=，故C正确。
AD
3.(多选)(2025·广东四校高三联考)某物体由静止开始自由下落，运动中只受重力作用。以运动开始时刻为计时起点，物体经过5 s后落地，下列说法正确的是(　　)
A.计时开始后1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9
B.计时开始后1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶3∶5
C.计时开始后第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为1∶2∶3
D.落地前，相等时间内物体的速度变化量相同
解析　根据h=gt2可知，计时开始后1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，选项A正确;根据v=gt可知，计时开始后1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，选项B错误;计时开始后第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，根据=可知，平均速度之比为1∶3∶5，选项C错误;根据Δv=gΔt可知，落地前相等时间内物体的速度变化量相同，选项D正确。
B
对点练2　竖直上抛运动
4.(2025·上海黄浦高三期中)无人机甲与三楼阳台平齐悬于空中，从无人机上同时以10 m/s的速率抛出两个小球，其中一个球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为Δt;如果另一无人机乙与六楼阳台上平齐悬于空中，以与甲同样的方式抛出两个小球，它们落地的时间差为Δt'。不计空气阻力，Δt'和Δt相比较，有(　　)
A.Δt'<Δt B.Δt'=Δt C.Δt'>Δt D.无法判断
解析　设小球抛出时的高度为h，竖直上抛和竖直下抛经历的时间分别为t1、t2，则有h=－v0t1+g，h=v0t2+g，整理可得Δt=t1－t2=，即时间差是一个定值，与高度无关，故B正确。
BC
5.(多选)建筑工人常常徒手抛砖块，当砖块上升到最高点时，被楼上的师傅接住用以砌墙。若某次以10 m/s的速度从地面竖直向上抛出一砖块，楼上的师傅没有接住，g取10 m/s2，空气阻力可以忽略，下列说法正确的是(　　)
A.砖块上升的最大高度为10 m
B.砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为3.75 m
C.经2 s砖块回到抛出点
D.被抛出后上升的过程中砖块做变减速直线运动
解析　砖块上升的最大高度为h== m=5 m，故A错误;上升到最高点需要的时间为t1==1 s，根据运动的对称性可知从抛出到回到抛出点所需时间为t=2t1=2 s，砖块从最高点经过0.5 s下降的高度为h'=gt'2=×10×0.52 m=1.25 m，砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为s=h－h'=3.75 m，故B、C正确;被抛出后上升的过程中加速度始终等于重力加速度，做匀减速直线运动，故D错误。
AD
对点练3　多运动过程问题
6.(多选)(2025·河南九师联盟高三联考)我国宋代已经出现冲天炮这种玩具，也叫“起火”，如图，逢年过节人们都要放“起火”庆祝。若冲天炮从地面由静止发射竖直升空可认为做a=8 m/s2的匀加速直线运动，当到达离地面25 m的高处时燃料恰好用完，忽略空气阻力，g=10 m/s2，则(　　)
A.燃料恰好用完时冲天炮的速度大小为20 m/s
B.燃料用完后继续向上运动的位移大小为17 m
C.冲天炮上升离地面的最大高度为38 m
D.冲天炮从发射到最大高度所用的时间为4.5 s
解析　根据位移与速度的关系式有=2ah1，解得v0==20 m/s，故A正确;燃料用完后，冲天炮继续向上做竖直上抛运动，利用逆向思维有=2gh2，解得h2=20 m，故B错误;结合上述可知，冲天炮上升离地面的最大高度为H=h1+h2=45 m，故C错误;根据平均速度与位移的关系有h1=t1，h2=t2，解得冲天炮从发射到最大高度所用的时间为t=t1+t2=4.5 s，故D正确。
D
7.“太空梭”是游乐园中一种利用自由落体运动规律设计的游乐设施，如图。这种游乐设施使用机械装置将乘坐台上的乘客升至高处，然后由静止释放，自由下落，最后在落地前用机械装置将乘坐台停下来。将该游乐设施下落时的运动看作自由落体运动和匀变速直线运动，出于安全考虑，普通人最多承受3g的加速度，g取10 m/s2。如果设计一个自由落体历时6 s的“太空梭”，则该设施的高度至少为(　　)
A.420 m B.180 m
C.300 m D.240 m
解析　“太空梭”的运动分为两个阶段，自由落体阶段和匀减速阶段，自由落体下落的高度为h1=gt2=180 m，匀减速的最大加速度为3g，则匀减速下落的高度为h2==60 m，则总高度为H=h1+h2=240 m，A、B、C错误，D正确。
C
8.(2024·浙江金华模拟)如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L的细线连接，a球在上，b球在下，用手拿着a球，测得a球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a球，两球落地的时间差为Δt，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是(　　)
B级　综合提升练
A.b球下落的时间大于 B.a球下落的时间小于
C.重力加速度g=()2 D.b球落地前a球的加速度比b球大
解析　某时刻静止释放a球，a球下落高度为h，b球下落高度为h－L，则根据运动学公式可得h－L=g，则b球下落的时间为tb=，A错误;a球下落的时间为ta=，B错误;两球落地的时间差为Δt，则Δt=ta－tb=，故重力加速度g=()2，C正确;b球落地前两球均做自由落体运动，则a球的加速度与b球加速度相等，D错误。
D
9.甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为(　　)
A.g B.g()
C.g() D.g()
解析　根据竖直上抛运动规律，竖直向上运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间为t=，甲小球到达最高点的高度为h=g=g，甲小球下落的高度为h'=g=g，故该位置距离抛出点的高度为h″=h－h'=g()，故D正确。
BD
10.(多选)(2025·山东济宁高三期中)如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同小球b从地面上方某处由静止释放，两球在空中相遇时速度大小恰好均为v0(不计空气阻力)。重力加速度为g，则(　　)
A.球b开始下落的高度为
B.球b开始下落的高度为
C.两球同时落地
D.两球落地的时间差为
解析　依题意有gt=v0，相遇时两球运动的时间t=，从运动开始至两球相遇，球a上升高度为h1=v0t－gt2=，球b已下落的距离为h2=gt2=，则球b开始下落的高度为h=h1+h2=，故A错误，B正确;由题意可知，球a上升的最大高度与球b下落的高度相等，对球b有=g，解得tb=，而球a做竖直上抛运动，先向上做匀减速运动，然后做自由落体运动，根据运动的对称性可知，其运动时间为ta=，可知两球不会同时落地，故C错误;两球落地的时间差为Δt=ta－tb=，故D正确。
11.(2025·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用，我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中。如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1=205 m处，t=0时刻，它以加速度a1=6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1=75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2=70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2，求:
(1)无人机从t=0时刻到重新悬停在距目标高度为H2=70 m处的总时间t;
(2)若无人机在距目标高度为H2=70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，恢复动力后的最小加速度。
答案　(1)9 s　(2)4 m/s2
解析　(1)设无人机下降过程最大速度为v，向下加速运动
时间为t1，减速运动时间为t2，由匀变速直线运动规律有
h1=a1，v=a1t1，H1－H2－h1=t2
联立解得t1=5 s，t2=4 s
则总时间为t=t1+t2=9 s。
(2)无人机自由下落2 s末的速度为v2=gt2'=20 m/s
2 s内向下运动的位移为x1=gt2'2=20 m
设其向下匀减速运动的加速度大小为a2时，恰好到达地面前瞬间速度为零，此时a2为最小加速度，则H2－x1=，代入数据解得a2=4 m/s2。
AD
12.(多选)(2025·四川遂宁高三期中)如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h处，空心管长为L，小球球心与管的轴线重合，并在竖直线上释放小球，小球可以无碰撞的穿过空心管，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　)
C级　培优加强练
A.两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，则小球穿过管的时间为
B.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为
C.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为
D.两者均无初速度释放，但小球提前了Δt时间释放，则小球穿过管的时间为
解析　两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，以管为参考系，小球相对管匀速运动，则有t=，故A正确;若两者均无初速度释放，但小球提前Δt时间释放，以管为参考系，小球相对管匀速运动，则有v=gΔt，L=vt，可知小球穿过管的时间为t=，故D正确;两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，以小球为参考系，管相对小球向上匀速运动，则有t=，故B、C错误。

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