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专题强化二　追及相遇问题
学习目标　1.会分析追及相遇问题，掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。 2.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
　　追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型:以甲追乙为例。
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲v乙，追上之前，甲、乙的距离就不断减小。
(2)若v甲=v乙，甲、乙的距离保持不变。
2.解答追及相遇问题的三种方法
情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解相关问题
函数 分析法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
角度　情境分析法
例1 (2025·山东潍坊模拟)如图所示，甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1=72 km/h，乙车的速度大小v2=36 km/h。当甲、乙两车相距x0=20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a=2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求:
(1)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx;
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t。
答案　(1)45 m　(2)12 s
解析　(1)当两车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等，由v1=72 km/h=20 m/s，v2=36 km/h=10 m/s
则v1－at1=v2
解得t1=5 s
在t1时间内甲车位移为
x1=t1=×5 m=75 m
乙车位移为x2=v2t1=10×5 m=50 m
两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx=x0+x1－x2=20 m+75 m－50 m=45 m。
(2)设经过时间t2甲车停下来，根据运动学公式可得
t2== s=10 s
在t2时间内，甲车的位移
x1'=t2=×10 m=100 m
乙车的位移为x2'=v2t2=10×10 m=100 m
说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距20 m，两车并排时乙车再运动的时间为
t3== s=2 s
所以从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间
t=t2+t3=12 s。
拓展　 若甲车刚停止时，危险解除，甲车立刻以a0=2 m/s2的加速度加速行驶至原速度后匀速运动，问乙车是否还能追上甲车(甲、乙两车不在同一车道行驶，不会相撞)。
答案　能追上
解析　方法一　设甲车加速到与乙车速度相等时用时 t4，则v2=a0t4
解得t4=5 s
x甲=x1'+t4=125 m
x乙=v2(t2+t4)=150 m
由于x乙>x甲+x0，故乙车可以追上甲车。
方法二　画出甲、乙两车运动的v－t图像，如图所示
x1=×10×5 m=25 m
x2=×10×(15－5) m=50 m
因x2>x1+x0，故乙车可以追上甲车。
总结提升
1.情境分析法的基本思路
2.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
跟踪训练
1.(多选)(2025·山东聊城高三期末)飞盘是一项新兴运动项目。在某场比赛中，运动员甲以大约10 m/s的速度带飞盘沿直线进攻，他的队友乙正以6 m/s的速度同向奔跑，t=0时刻，两人恰好齐头并进且相距8 m。从该时刻起，乙的速度保持不变，甲由于受到对方队员的围堵，以大小为1 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停止。若甲根据经验判断自己与乙之间的距离在10 m以内才有把握成功将球传给乙，从t=0时刻开始，甲在下列哪些时刻伺机把飞盘传出，乙可以顺利接到飞盘(　　)
A.1 s B.4 s
C.8 s D.10 s
答案　AC
解析　甲要想把飞盘传给乙，则两人沿同一方向的位移之差小于Δx= m=6 m，设当经过时间为t时两人之间的同方向距离恰好为6 m，则=Δx，解得t=2 s或t=6 s或t= s，甲停止运动的时间为t0==10 s，两人间距小于10 m时应该在0~2 s和6~ s之间，故A、C正确。
角度　图像分析法
例2 (2024·河北邯郸模拟)玩具车甲、乙在两条平行的直轨道上运行，它们的－t图像如图所示。初始时刻，两车在运动方向上相距l=1 m，甲在前，乙在后，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两车之间的距离先减小后增加
B.甲车做加速度大小为a=0.5 m/s2的匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动
C.在t=t0时刻甲、乙两车共速
D.0~t0，甲车的平均速度大小为4 m/s
答案　D
解析　由x=v0t+at2，得=v0+at，由图像可知，甲车初速度v0=2 m/s，由a= m/s2得a=1 m/s2，所以甲车做初速度为v0=2 m/s，加速度为a=1 m/s2的匀加速直线运动，乙车做v=4 m/s的匀速直线运动，故B错误;由v=v0+at得共速时t=2 s，此时x甲=t=6 m，x乙=vt=8 m，Δx=x乙－x甲=2 m>l，则共速前乙车已追上甲，整个过程中两车可相遇两次，甲、乙两车之间的距离先减小后增加，再减小再增加，故A错误;t0时刻二者平均速度相等，则有v=，得t0=4 s，此时v甲=v0+at0=2 m/s+1×4 m/s=6 m/s，不等于乙车的速度，故C错误;0~t0，甲车的平均速度为==4 m/s，故D正确。
总结提升　图像法分析追及相遇问题的方法和思路
方法 基本思路
数理 转换 定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作出x－t图像或v－t图像等;或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题
跟踪训练
2.(2025·山东青岛高三期末)在一平直路面上，甲、乙两车做匀变速直线运动，其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻，乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
答案　A
解析　由v－t图像与横轴所围面积表示位移，可知在t=2 s时刻，甲车比乙车多走的距离为Δx=×(20－5)×2 m=15 m，因为Δx=x0=15 m，则此时甲车刚好追上乙车，A正确，B错误;由v－t图像的斜率表示加速度，可知a甲= m/s2=5 m/s2，a乙= m/s2=2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，C错误;0~2 s内两车距离减小，2 s后甲车速度小于乙车速度，两车距离又增大，故0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大，D错误。
角度　函数分析法
例3 在水平轨道上有两列火车A和B相距为x，后面的A车做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞(未相遇)，A车的初速度v0应满足什么条件
答案　v0<
解析　假设经过时间t，A车能追上B车，对A车有
xA=v0t－×2at2
对B车有xB=at2
则有xA=x+xB
即v0t－×2at2=x+at2
整理得3at2－2v0t+2x=0
两车不相撞，t无实数解，则
Δ=(－2v0)2－4×3a×2x<0
则A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
函数分析法讨论相遇问题的思路
设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx=0时，表示两者相遇。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次;若Δ=0，即有一个解，说明刚好追上或相遇;若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。当t=－时，函数有极值，代表两者距离有最大值或最小值。
A级　基础对点练
1.大雾天气行车容易发生交通事故。在大雾中，一辆客车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，一辆轿车以20 m/s的速度同方向在同一公路上驶来，轿车司机在距客车100 m时发现客车并立即紧急制动，为不使两车相撞，轿车的制动加速度至少为(　　)
A.0.25 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1 m/s2 D.2 m/s2
答案　B
解析　当两车共速时距离最小为零，此时两车恰不相碰，则v轿－at=v客，v轿t－at2=Δx+v客t，解得a=0.5 m/s2，故B正确。
2.(多选)(2024·河北石家庄期末)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x随时间t的变化如图所示，甲、乙图线分别为部分抛物线、直线。下列说法正确的是(　　)
A.甲做匀减速直线运动 B.乙做匀加速直线运动
C.第4 s末，二者速度相等 D.前4 s内，二者位移相同
答案　AD
解析　由x－t图像知甲做匀减速直线运动，乙做匀速直线运动，故A正确，B错误;第4 s末，甲、乙的位置相同，前4 s内二者位移相同，图线的斜率不同，即二者的速度不相等，故C错误，D正确。
3.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(　　)
A.s B.2s
C.3s D.4s
答案　B
解析　两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车的刹车时间为t=，刹车位移为s=，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x=v0t==2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为Δx=x+s－s=x=2s，故选项B正确，A、C、D错误。
4.如图所示，装备了“全力自动刹车”安全系统的汽车，当车速满足3.6 km/h≤v≤28.8 km/h，且与前方行人之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，使汽车避免与行人相撞。若该车在不同路况下“全力自动刹车”的加速度取值范围是5~7 m/s2，则该系统设置的安全距离约为(　　)
A.0.07 m B.0.1 m
C.4.57 m D.6.4 m
答案　D
解析　汽车从开始刹车到停止运动的位移x=，系统设置的安全距离应为减速的最大位移，即初速度取最大值28.8 km/h=8 m/s，加速度取最小值5 m/s2时的位移，代入数据可得x=6.4 m，故D正确。
5.(2025·山东济南模拟)如图所示，一辆轿车以20 m/s的速度，从匝道驶入限速为90 km/h的某高架桥快速路的行车道。由于前方匀速行驶的货车速度较小，轿车司机踩油门超车，加速8 s后发现无超车条件，立即踩刹车减速，经过3 s减速后，刚好与前方货车保持约60 m左右距离同速跟随。整个过程中轿车的速度与时间的关系如图乙所示，货车一直保持匀速。下列说法中正确的是(　　)
A.该过程轿车出现了超速情况
B.该过程轿车的平均加速度大小为1.25 m/s2
C.该过程轿车与货车之间的距离先减小后增大
D.轿车开始加速时与货车的距离约为100 m
答案　D
解析　由题图乙可知轿车的最大速度为24 m/s=86.4 km/h<90 km/h，该过程轿车没有超速，故A错误;轿车的平均加速度大小为= m/s2≠1.25 m/s2，故B错误;轿车速度一直大于货车速度，直到11 s末两车速度相等，所以两车距离一直在减小，故C错误;0~11 s内，轿车的位移为x1=×(20+24)×8 m+(24+18)×3 m=239 m，货车的位移为x2=18×11 m=198 m，开始的距离为d=x1+x0－x2=239 m+60 m－198 m=101 m，故D正确。
6.(多选)(2024·山东德州模拟)甲、乙两质点沿同一直线运动，其中甲做匀变速直线运动，乙以大小为5 m/s速度做匀速直线运动，在t=3 s时两质点相遇，他们的位置随时间变化及相遇时切线数据如图所示，在0~3 s时间内，下列判断正确的是(　　)
A.相遇时甲质点的速度大小为3 m/s
B.甲质点的初速度大小为7 m/s
C.甲质点的加速度大小为2 m/s2
D.在t=1.5 s时，甲、乙两质点相距最远
答案　BC
解析　相遇时交点的纵坐标x=－7 m，x－t图像的斜率表示速度，甲质点的速度大小为v3= m/s=1 m/s，故A错误;设甲质点的初速度为v0，加速度大小为a，有v3=v0－at，x甲=v0t－at2，其中t=3 s，x甲=12 m，联立解得v0=7 m/s，a=2 m/s2，故B、C正确;甲、乙速度相等时，两质点相距最远，有v0－at1=v乙，解得t1=1 s，故D错误。
7.(2025·辽宁东北育才高三期中)中国高铁向世界展示了中国速度，和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动。两车运动的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.复兴号高铁追上和谐号动车前，t=70 s时两车相距最远
B.复兴号高铁经过95 s加速达到最大速度
C.t=140 s时，复兴号高铁追上和谐号动车
D.复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距4 900 m
答案　B
解析　由v－t图像可知，0≤t≤140 s时，和谐号动车速度大于复兴号高铁速度，t>140 s时，和谐号动车速度小于复兴号高铁速度，故复兴号高铁追上和谐号动车前，t=140 s时两车相距最远，故A、C错误;复兴号高铁的加速度为a== m/s2=1 m/s2，复兴号高铁加速达到最大速度所需的时间为t1== s=95 s，故B正确;根据v－t图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距Δx=×140×70 m－×(140－70)×70 m=2 450 m，故D错误。
B级　综合提升练
8.(多选)两个滑块a、b从同一位置出发沿同一直线运动，先匀加速运动后匀减速运动。在坐标纸上画出a、b运动的v－t图像如图所示，t1、t2两时刻a、b速度相等。下列说法正确的是(　　)
A.t1时刻b与a再次相遇
B.t2时刻b与a再次相遇
C.加速阶段a、b加速度大小之比为
D.从开始运动到b停下的时间内，b的平均速度大于a的平均速度
答案　BC
解析　开始加速时，a的速度大于b的速度，a在前b在后，a、b间距离逐渐变大，t1时刻二者速度相等，然后b的速度大于a的速度，a、b间距离逐渐变小，在v－t图像中，先连接a、b的两转折点(速度最大点)，再连接O与a、b的第二个交点，可发现两条线的斜率相等，即两条线平行。由几何知识可知两个阴影部分三角形面积相等，可知0~t2内二者位移相等，此时b与a相遇，A错误，B正确;t2时刻后，a的速度大于b的速度，当b停下时，a在b前方还有速度，从开始运动到b停下过程，a的位移大于b的位移，a的平均速度大于b的平均速度，D错误;由图中加速时图像斜率关系可知，加速阶段a、b加速度之比为，C正确。
9.物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0=30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A.t=3 s时两车间距离为25 m
B.3~9 s内，A车的加速度大于B车的加速度
C.两车最近距离为10 m
D.0~9 s内两车相遇一次
答案　C
解析　在0~3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA==3 s，故在t=3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA=tA=45 m，B车前进的位移为xB=v0tA=90 m，t=3 s时两车间距离为Δx=d+xA－xB=55 m，故A错误;由题图可知在3~9 s内A车的加速度为aA2=5 m/s2，在v－t图像中，图像的斜率表示加速度，则以aB==－5 m/s2，故A、B两车的加速度大小相等，故B错误;t=3 s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3~9 s的过程中，设经历时间t两者速度相同，则v共=aA2t=v0+aBt，解得t=3 s，v共=15 m/s，A车在t=3 s内前进的位移为x1=t=22.5 m，B车前进的位移为x2=t=67.5 m，故此时两车相距的最小距离为Δxmin=Δx+x1－x2=10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C正确，D错误。
10.(2024·河北石家庄模拟)如图所示，直线MN表示一条平直单车道，甲、乙两辆汽车开始静止，车头分别在A、B两处，两辆车长均为L=4 m，两个车头间的距离为x0=89 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1=2.5 m/s2，甲车运动了t0=5 s后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣笛，又经过t1=1 s，乙车才开始向右做匀加速直线运动。
(1)若乙车运动的加速度a2=5.0 m/s2，两辆汽车是否会相撞 通过计算说明。
(2)若要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少是多少
答案　(1)会　见解析　(2)5.3 m/s2
解析　(1)假设两车某时刻相撞，如图所示。
应满足时间关系t甲=t乙+t0+t1
位移关系x甲=x乙+x0－L
甲车在t0+t1=6 s时间内的位移为
x甲1=a1=45 m此时尚未撞上乙车，若此后再经时间t与乙车相撞，则有a1=a2t2+x0－L
代入数据解得t=4 s(另一解舍去)，即再经过t=4 s
甲、乙两车会相撞。
(2)若经过时间t2，两车速度相等，且此时两车恰好不相撞，以后两车不会相撞，此种情况下乙车加速度设为a0，则有
a1t2=a0(t2－t0－t1)
a1=a0(t2－t0－t1)2+x0－L
解得a0= m/s2=5.3 m/s2
即要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少为5.3 m/s2。
C级　培优加强练
11.(2025·广东汕头联考)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小;
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离;
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇 (设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m　(3)20 s
解析　(1)赛车3 s末的速度
v1=a1t1=2×3 m/s=6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2+s0=a1，其中s0=200 m
解得t2=20 s
此时赛车的速度v=a1t2=2×20 m/s=40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0=a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3== s=5 s
两车最远相距Δs=v0t3+s0－a1=225 m。
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－a2=v0t4
解得t4=15 s
赛车停下来的时间t'== s=10 s
所以t4=15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足=v0t5
解得t5=20 s。(共45张PPT)
专题强化二　追及相遇问题
第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
1.会分析追及相遇问题，掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。
2.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升素养能力
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型:以甲追乙为例。
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲v乙，追上之前，甲、乙的距离就不断减小。
(2)若v甲=v乙，甲、乙的距离保持不变。
2.解答追及相遇问题的三种方法
情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解相关问题
函数 分析法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况
角度　　情境分析法
例1 (2025·山东潍坊模拟)如图所示，甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1=72 km/h，乙车的速度大小v2=36 km/h。当甲、乙两车相距x0=20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a=2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求:
解析　当两车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等，由v1=72 km/h=20 m/s，v2=36 km/h=10 m/s
则v1－at1=v2
解得t1=5 s
在t1时间内甲车位移为
x1=t1=×5 m=75 m
乙车位移为x2=v2t1=10×5 m=50 m
两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离
Δx=x0+x1－x2=20 m+75 m－50 m=45 m。
(1)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx;
答案　45 m
解析　设经过时间t2甲车停下来，根据运动学公式可得
t2== s=10 s
在t2时间内，甲车的位移x1'=t2=×10 m=100 m
乙车的位移为x2'=v2t2=10×10 m=100 m
说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距20 m，两车并排时乙车再运动的时间为t3== s=2 s
所以从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t=t2+t3=12 s。
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t。
答案　12 s
拓展　 若甲车刚停止时，危险解除，甲车立刻以a0=2 m/s2的加速度加速行驶至原速度后匀速运动，问乙车是否还能追上甲车(甲、乙两车不在同一车道行驶，不会相撞)。
答案　能追上
解析　方法一　设甲车加速到与乙车速度相等时用时 t4，则v2=a0t4
解得t4=5 s
x甲=x1'+t4=125 m
x乙=v2(t2+t4)=150 m
由于x乙>x甲+x0，故乙车可以追上甲车。
方法二　画出甲、乙两车运动的v－t图像，如图所示
x1=×10×5 m=25 m
x2=×10×(15－5) m=50 m
因x2>x1+x0，故乙车可以追上甲车。
总结提升
1.情境分析法的基本思路
2.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
1.(多选)(2025·山东聊城高三期末)飞盘是一项新兴运动项目。在某场比赛中，运动员甲以大约10 m/s的速度带飞盘沿直线进攻，他的队友乙正以6 m/s的速度同向奔跑，t=0时刻，两人恰好齐头并进且相距8 m。从该时刻起，乙的速度保持不变，甲由于受到对方队员的围堵，以大小为1 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停止。若甲根据经验判断自己与乙之间的距离在10 m以内才有把握成功将球传给乙，从t=0时刻开始，甲在下列哪些时刻伺机把飞盘传出，乙可以顺利接到飞盘(　　)
A.1 s B.4 s C.8 s D.10 s
跟踪训练
AC
解析　甲要想把飞盘传给乙，则两人沿同一方向的位移之差小于Δx= m=6 m，设当经过时间为t时两人之间的同方向距离恰好为6 m，则=Δx，解得t=2 s或t=6 s或t= s，甲停止运动的时间为t0==10 s，两人间距小于10 m时应该在0~2 s和6~ s之间，故A、C正确。
角度　　图像分析法
例2 (2024·河北邯郸模拟)玩具车甲、乙在两条平行的直轨道上运行，它们的－t图像如图所示。初始时刻，两车在运动方向上相距l=1 m，甲在前，乙在后，下列说法正确的是(　　)
D
A.甲、乙两车之间的距离先减小后增加
B.甲车做加速度大小为a=0.5 m/s2的匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动
C.在t=t0时刻甲、乙两车共速
D.0~t0，甲车的平均速度大小为4 m/s
解析　由x=v0t+at2，得=v0+at，由图像可知，甲车初速度v0=2 m/s，由a= m/s2得a=1 m/s2，所以甲车做初速度为v0=2 m/s，加速度为a=1 m/s2的匀加速直线运动，乙车做v=4 m/s的匀速直线运动，故B错误;由v=v0+at得共速时t=2 s，
此时x甲=t=6 m，x乙=vt=8 m，Δx=x乙－x甲=2 m>l，则共速前乙车已追上甲，整个过程中两车可相遇两次，甲、乙两车之间的距离先减小后增加，再减小再增加，故A错误;t0时刻二者平均速度相等，则有v=，得t0=4 s，此时v甲=v0+at0=2 m/s+1×4 m/s=6 m/s，不等于乙车的速度，故C错误;0~t0，甲车的平均速度为==4 m/s，故D正确。
总结提升　图像法分析追及相遇问题的方法和思路
方法 基本思路
数理 转换 定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作出x－t图像或v－t图像等;或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题
2.(2025·山东青岛高三期末)在一平直路面上，甲、乙两车做匀变速直线运动，其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻，乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
跟踪训练
A
A.t=2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
解析　由v－t图像与横轴所围面积表示位移，可知在t=2 s时刻，甲车比乙车多走的距离为Δx=×(20－5)×2 m=15 m，因为Δx=x0=15 m，则此时甲车刚好追上乙车，A正确，B错误;由v－t图像的斜率表示加速度，可知a甲= m/s2=5 m/s2，a乙= m/s2=2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，C错误;0~2 s内两车距离减小，2 s后甲车速度小于乙车速度，两车距离又增大，故0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大，D错误。
角度　　函数分析法
例3 在水平轨道上有两列火车A和B相距为x，后面的A车做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞(未相遇)，A车的初速度v0应满足什么条件
解析　假设经过时间t，A车能追上B车，对A车有
xA=v0t－×2at2
对B车有xB=at2
则有xA=x+xB
即v0t－×2at2=x+at2
整理得3at2－2v0t+2x=0
两车不相撞，t无实数解，则
Δ=(－2v0)2－4×3a×2x<0
则A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
答案　v0<
函数分析法讨论相遇问题的思路
设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx=0时，表示两者相遇。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次;若Δ=0，即有一个解，说明刚好追上或相遇;若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。当t=－时，函数有极值，代表两者距离有最大值或最小值。
提升素养能力
2
A级　基础对点练
B
1.大雾天气行车容易发生交通事故。在大雾中，一辆客车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，一辆轿车以20 m/s的速度同方向在同一公路上驶来，轿车司机在距客车100 m时发现客车并立即紧急制动，为不使两车相撞，轿车的制动加速度至少为(　　)
A.0.25 m/s2 B.0.5 m/s2 C.1 m/s2 D.2 m/s2
解析　当两车共速时距离最小为零，此时两车恰不相碰，则v轿－at=v客，v轿t－at2=Δx+v客t，解得a=0.5 m/s2，故B正确。
AD
2.(多选)(2024·河北石家庄期末)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x随时间t的变化如图所示，甲、乙图线分别为部分抛物线、直线。下列说法正确的是(　　)
A.甲做匀减速直线运动 B.乙做匀加速直线运动
C.第4 s末，二者速度相等 D.前4 s内，二者位移相同
解析　由x－t图像知甲做匀减速直线运动，乙做匀速直线运动，故A正确，B错误;第4 s末，甲、乙的位置相同，前4 s内二者位移相同，图线的斜率不同，即二者的速度不相等，故C错误，D正确。
B
3.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(　　)
A.s B.2s C.3s D.4s
解析　两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设加速度大小为a，前车的刹车时间为t=，刹车位移为s=，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x=v0t==2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为Δx=x+s－s=x=2s，故选项B正确，A、C、D错误。
D
4.如图所示，装备了“全力自动刹车”安全系统的汽车，当车速满足3.6 km/h≤v≤28.8 km/h，且与前方行人之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，使汽车避免与行人相撞。若该车在不同路况下“全力自动刹车”的加速度取值范围是5~7 m/s2，则该系统设置的安全距离约为(　　)
A.0.07 m B.0.1 m C.4.57 m D.6.4 m
解析　汽车从开始刹车到停止运动的位移x=，系统设置的安全距离应为减速的最大位移，即初速度取最大值28.8 km/h=8 m/s，加速度取最小值5 m/s2时的位移，代入数据可得x=6.4 m，故D正确。
D
5.(2025·山东济南模拟)如图所示，一辆轿车以20 m/s的速度，从匝道驶入限速为90 km/h的某高架桥快速路的行车道。由于前方匀速行驶的货车速度较小，轿车司机踩油门超车，加速8 s后发现无超车条件，立即踩刹车减速，经过3 s减速后，刚好与前方货车保持约60 m左右距离同速跟随。整个过程中轿车的速度与时间的关系如图乙所示，货车一直保持匀速。下列说法中正确的是(　　)
A.该过程轿车出现了超速情况
B.该过程轿车的平均加速度大小
为1.25 m/s2
C.该过程轿车与货车之间的距离
先减小后增大
D.轿车开始加速时与货车的距离约为100 m
解析　由题图乙可知轿车的最大速度为24 m/s=86.4 km/h<90 km/h，该过程轿车没有超速，故A错误;轿车的平均加速度大小为= m/s2≠1.25 m/s2，故B错误;轿车速度一直大于货车速度，直到11 s末两车速度相等，所以两车距离一直在减小，故C错误;0~11 s内，轿车的位移为x1=×(20+24)×8 m+(24+18)×3 m=239 m，
货车的位移为x2=18×11 m=198 m，开始的距离为d=x1+x0－x2=239 m+60 m－198 m=101 m，故D正确。
BC
6.(多选)(2024·山东德州模拟)甲、乙两质点沿同一直线运动，其中甲做匀变速直线运动，乙以大小为5 m/s速度做匀速直线运动，在t=3 s时两质点相遇，他们的位置随时间变化及相遇时切线数据如图所示，在0~3 s时间内，下列判断正确的是(　　)
A.相遇时甲质点的速度大小为3 m/s
B.甲质点的初速度大小为7 m/s
C.甲质点的加速度大小为2 m/s2
D.在t=1.5 s时，甲、乙两质点相距最远
解析　相遇时交点的纵坐标x=－7 m，x－t图像的斜率表示速度，甲质点的速度大小为v3= m/s=1 m/s，故A错误;设甲质点的初速度为v0，加速度大小为a，有v3=v0－at，x甲=v0t－at2，其中t=3 s，x甲=12 m，联立解得v0=7 m/s，a=2 m/s2，故B、C正确;甲、乙速度相等时，两质点相距最远，有v0－at1=v乙，解得t1=1 s，故D错误。
B
7.(2025·辽宁东北育才高三期中)中国高铁向世界展示了中国速度，和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动。两车运动的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.复兴号高铁追上和谐号动车前，t=70 s时两车相距最远
B.复兴号高铁经过95 s加速达到最大速度
C.t=140 s时，复兴号高铁追上和谐号动车
D.复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距4 900 m
解析　由v－t图像可知，0≤t≤140 s时，和谐号动车速度大于复兴号高铁速度，t>140 s时，和谐号动车速度小于复兴号高铁速度，故复兴号高铁追上和谐号动车前，t=140 s时两车相距最远，故A、C错误;复兴号高铁的加速度为a== m/s2=1 m/s2，复兴号高铁加速达到最大速度所需的时间为t1== s=95 s，故B正确;根据v－t图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距Δx=×140×70 m－×(140－70)×70 m=2 450 m，故D错误。
BC
8.(多选)两个滑块a、b从同一位置出发沿同一直线运动，先匀加速运动后匀减速运动。在坐标纸上画出a、b运动的v－t图像如图所示，t1、t2两时刻a、b速度相等。下列说法正确的是(　　)
B级　综合提升练
A.t1时刻b与a再次相遇
B.t2时刻b与a再次相遇
C.加速阶段a、b加速度大小之比为
D.从开始运动到b停下的时间内，b的平均速度大于a的平均速度
解析　开始加速时，a的速度大于b的速度，a在前b在后，a、b间距离逐渐变大，t1时刻二者速度相等，然后b的速度大于a的速度，a、b间距离逐渐变小，在v－t图像中，先连接a、b的两转折点(速度最大点)，再连接O与a、b的第二个交点，可发现两条线的斜率相等，即两条线平行。由几何知识可知两个阴影部分三角形面积相等，可知0~t2内二者位移相等，此时b与a相遇，A错误，B正确;t2时刻后，a的速度大于b的速度，当b停下时，a在b前方还有速度，从开始运动到b停下过程，a的位移大于b的位移，a的平均速度大于b的平均速度，D错误;由图中加速时图像斜率关系可知，加速阶段a、b加速度之比为，C正确。
C
9.物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0=30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A.t=3 s时两车间距离为25 m
B.3~9 s内，A车的加速度大于
B车的加速度
C.两车最近距离为10 m
D.0~9 s内两车相遇一次
解析　在0~3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA==3 s，故在t=3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA=tA=45 m，B车前进的位移为xB=v0tA=90 m，t=3 s时两车间距离为Δx=d+xA－xB=55 m，故A错误;由题图可知在3~9 s内A车的加速度为aA2=5 m/s2，在v－t图像中，图像的斜率表示加速度，则以aB==－5 m/s2，故A、B两车的加速度大小相等，故B错误;t=3 s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3~9 s的过程中，设经历时间t两者速度相同，则v共=aA2t=v0+aBt，解得t=3 s，v共=15 m/s，A车在t=3 s
内前进的位移为x1=t=22.5 m，B车前进的位移为x2=t=67.5 m，故此时两车相距的最小距离为Δxmin=Δx+x1－x2=10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C正确，D错误。
10.(2024·河北石家庄模拟)如图所示，直线MN表示一条平直单车道，甲、乙两辆汽车开始静止，车头分别在A、B两处，两辆车长均为L=4 m，两个车头间的距离为x0=89 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1=2.5 m/s2，甲车运动了t0=5 s后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣笛，又经过t1=1 s，乙车才开始向右做匀加速直线运动。
(1)若乙车运动的加速度a2=5.0 m/s2，两辆汽车是否会相撞 通过计算说明。
(2)若要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少是多少
答案　(1)会　见解析　(2)5.3 m/s2
解析　(1)假设两车某时刻相撞，如图所示。
应满足时间关系t甲=t乙+t0+t1
位移关系x甲=x乙+x0－L
甲车在t0+t1=6 s时间内的位移为x甲1=a1=45 m此时尚未撞上乙车，若此后再经时间t与乙车相撞，则有a1=a2t2+x0－L
代入数据解得t=4 s(另一解舍去)，即再经过t=4 s
甲、乙两车会相撞。
(2)若经过时间t2，两车速度相等，且此时两车恰好不相撞，以后两车不会相撞，此种情况下乙车加速度设为a0，则有a1t2=a0(t2－t0－t1)
a1=a0(t2－t0－t1)2+x0－L
解得a0= m/s2=5.3 m/s2
即要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少为5.3 m/s2。
11.(2025·广东汕头联考)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小;
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离;
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇 (设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
C级　培优加强练
答案　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m　(3)20 s
解析　(1)赛车3 s末的速度v1=a1t1=2×3 m/s=6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2+s0=a1，其中s0=200 m
解得t2=20 s
此时赛车的速度v=a1t2=2×20 m/s=40 m/s
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0=a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3== s=5 s
两车最远相距Δs=v0t3+s0－a1=225 m。
(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
由位移关系得vt4－a2=v0t4
解得t4=15 s
赛车停下来的时间t'== s=10 s
所以t4=15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足=v0t5
解得t5=20 s。

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