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八年级下学期数学期中试题
本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分。本试题共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. 2(x y)=2x 2y B. 6m2n2=2m2·3n2 C. x2 2x 3=x(x 2) 3 D. y2 4y+4=(y 2)2
3.已知a>b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. a b<0 B. 3a+1<3b+1 C.am2>bm2 D. >
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
5.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45 后得到△COD，若∠AOB=27 ，则∠BOC的度数是（ ）
A. 18 B. 27 C. 45 D. 72
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC=120 ，AD=5，则BC的长为（ ）
A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20
7.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有 45 元，计划从现在起以后每个月节省 30 元，直到他至少有 300 元。设x个月后他至少有 300 元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（ ）
A. 30x+45≥300 B. 30x 45≥300 C. 30x 45≤300 D. 30x+45≤300
8.如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E。若AD=4，△AEC的周长为 17，则△ABC的周长为（ ）
A. 20 B. 21 C. 25 D. 30
9.如图，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC=BC=13，点A，B的坐标分别为(2,0)，(12,0)，将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y= x+8上时，△ABC平移的距离为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
10.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab<0；②M(x1,y1)，N(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，则(x1 x2)(y1 y2)>0；③a+b>c+d；④3a+b=3c+d；⑤当m>3时，am+b>cm+d。其中正确的个数有（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤
第 Ⅱ 卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，直接填写答案）
11. 因式分解：m2 16= 。
12. 如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A=55 ，∠B=50 ，则∠DFE的度数是 。
13. 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______cm。
14. 关于x的方程3x 2m=1的解为正数，则m的取值范围是______。
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+6与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转45 ，得到线段BP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为______。
三、解答题（本题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （本题 7 分）因式分解：（1）4mx 6my+2m （2）(a b)2+b(b a)
17. （本题 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
18. （本题 7 分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF。求证：AB=AC。
19. （本题 8 分） 数学课堂上，李老师设计了 “接力游戏”，规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集。
接力游戏
老师：<
甲同学：3(x 1)+1<2(2x+1)；
乙同学：3x 3+1<4x+2；
丙同学：3x 4x<2+3 1；
丁同学： x<4；
戊同学：x< 4。
请根据上面的 “接力游戏”，解答下列问题。
（1）在 “接力游戏” 中，共有______位同学出现计算错误；
（2）请你给出不等式+1<的正确的解答过程，并把它的解集在数轴上表示出来。
20.（本题 8 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向右平移 6 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1；
（2）若△A1B1C1和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；
（3）将△ABC绕某点旋转180 也可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是______。
21.（本题 9 分）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。巧妙的运用 “配方法” 能对一些多项式进行因式分解。
例：因式分解：a2+6a+8。
解：原式=a2+6a+9 1=(a+3)2 1=(a+3 1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)
（1）解决问题：运用配方法将多项式x2 2x 3进行因式分解。
（2）拓展运用：已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2=2ab+4b+6c 13，请判断三角形的形状，并说明理由。
22.（本题 10 分）《哪吒之魔童降世》票房大卖，周边玩偶热销。甲、乙两个玩偶专卖店以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠方案：
专卖店 优惠条件
甲 购物花费优惠 10%
乙 累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按八折收费
（1）设顾客累计购物花费x(x>100)元，若在甲商场购物，则实际花______元；若在乙商场购物，则实际花费______元；（均用含x的式子表示，均化为最简形式）
（2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由。
（3）甲玩偶专卖店打算要花费 1000 元购进哪吒、敖丙两款玩偶共 60 个，已知哪吒玩偶进价 18 元/ 个、敖丙玩偶进价 15 元/个，问最多可以购进哪吒玩偶多少个？
23.（本题 10 分）对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式。利用图 1，可以得到一个因式分解等式：a2+2ab+b2=(a+b)2；如图 2 所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形，③、④都是剪成长为b的小正方形，剩下的都是剪成长分别为a、b的小长方形。
（1）观察图 2，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为______；
（2）若每块小长方形的面积为 4，四个正方形的面积之和为 34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）拓展：如图 3 表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式。
24.（本题 12 分）如图 1，已知点A(2,a)，将线段AO平移至线段BC，点B(b,0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a，b满足+(b 5)2=0。
（1）直接写出点B，点C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）如图 2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒 2 个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒 3 个单位的速度向下运动。若经过t秒，△COQ的面积与△AOP的面积相等，试求t的值及点P的坐标。
（3）如图 3，若点D在线段OA上，将点D绕点O顺时针旋转90 得到点E，当点E恰好落在线段BC上时，直接写出点E的坐标。
25.(本题 12 分)
（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图 1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150 。求证：AP2+BP2=CP2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60 ，得到△AP′B，连接PP′。
∴∠PAP′=60 ，PA=P′A，PC=______
∴△APP′为______三角形（从 “等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角” 中选择）。
∴∠APP′=60 ，PA=PP′
∵∠APB=150
∴∠BPP′= °
∴P′P2+BP2=
即AP2+BP2=CP2
（2）类比研究：如图 2，在等腰△ABC中，∠BAC=90 ，内部有一点P，若∠APB=135 ，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明。
（3）拓展应用： 如图 3 是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=8，BC=10，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值.
答案
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B ）
2.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ D ）
A. 2(x y)=2x 2y B. 6m2n2=2m2·3n2 C. x2 2x 3=x(x 2) 3 D. y2 4y+4=(y 2)2
3.已知a>b，则下列各式中一定成立的是（ D ）
A. a b<0 B. 3a+1<3b+1 C.am2>bm2 D. >
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ C ）
5.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45 后得到△COD，若∠AOB=27 ，则∠BOC的度数是（ A ）
A. 18 B. 27 C. 45 D. 72
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC=120 ，AD=5，则BC的长为（ C ）
A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20
7.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有 45 元，计划从现在起以后每个月节省 30 元，直到他至少有 300 元。设x个月后他至少有 300 元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（ A ）
A. 30x+45≥300 B. 30x 45≥300 C. 30x 45≤300 D. 30x+45≤300
8.如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E。若AD=4，△AEC的周长为 17，则△ABC的周长为（ C ）
A. 20 B. 21 C. 25 D. 30
9.如图，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC=BC=13，点A，B的坐标分别为(2,0)，(12,0)，将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y= x+8上时，△ABC平移的距离为（ D ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
10.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab<0；②M(x1,y1)，N(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，则(x1 x2)(y1 y2)>0；③a+b>c+d；④3a+b=3c+d；⑤当m>3时，am+b>cm+d。其中正确的个数有（ B ）
A. ①② B. ①③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤
第 Ⅱ 卷 非选择题（共 110 分）
二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，直接填写答案）
11. 因式分解：m2 16= (m+4)(m﹣4) 。
12. 如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A=55 ，∠B=50 ，则∠DFE的度数是 75° 。
13. 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为___3___cm。
14. 关于x的方程3x 2m=1的解为正数，则m的取值范围是___m＞﹣___。
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+6与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转45 ，得到线段BP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为___3﹣3___。
三、解答题（本题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （本题 7 分）因式分解：（1）4mx 6my+2m （2）(a b)2+b(b a)
=2m（2x﹣3y+1） =（a﹣b）（a﹣b﹣b）
=（a﹣b）（a﹣2b）
17. （本题 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
解：解①得 x <3
解②得 x ≥1
∴原不等式组的解集为1≤ x <3
它的所有整数解为1和2
18. （本题 7 分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF。求证：AB=AC。
证明：∵D 是 BC 的中点
∴BD = CD
∵DE⊥AB , DF⊥AC
∴△ BED 和△ CFD 都是直角三角形
在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中
∴△BED≌△ CFD ( HL )
∴∠B=∠C
∴AB = AC
19. （本题 8 分） 数学课堂上，李老师设计了 “接力游戏”，规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集。
接力游戏
老师：<
甲同学：3(x 1)+1<2(2x+1)；
乙同学：3x 3+1<4x+2；
丙同学：3x 4x<2+3 1；
丁同学： x<4；
戊同学：x< 4。
请根据上面的 “接力游戏”，解答下列问题。
（1）在 “接力游戏” 中，共有______位同学出现计算错误；
（2）请你给出不等式+1<的正确的解答过程，并把它的解集在数轴上表示出来。
(1)2
(2)+1<
3( x -1)+6<2(2x+1)
3x-3+6<4x+2
3x-4x<2+3-6
-x <-1
x >1
20.（本题 8 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向右平移 6 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1；
（2）若△A1B1C1和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；
（3）将△ABC绕某点旋转180 也可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是______。
（1）（2）如图所示
（3）（﹣3，0.5）
21.（本题 9 分）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。巧妙的运用 “配方法” 能对一些多项式进行因式分解。
例：因式分解：a2+6a+8。
解：原式=a2+6a+9 1=(a+3)2 1=(a+3 1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)
（1）解决问题：运用配方法将多项式x2 2x 3进行因式分解。
（2）拓展运用：已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2=2ab+4b+6c 13，请判断三角形的形状，并说明理由。
(1)x2-2x-3=x2-2x+1-4=(x -1)2-22=(x +1)(x -3)
(2)△ABC 是等腰三角形
理由如下：.
∵a2+2b2+c2=2ab+4b+6c 13
∴a2-2ab+b2+b2-4b+4+c2-6c+9=0,
∴( a - b )2+( b -2)2+( c -3)2=0
∵( a - b )2≥0.( b -2)2≥0,( c -3)2≥0
∴a - b =0, b -2=0, c -3=0
: a b=2, c=3
∴△ABC 是等腰三角形．
22.（本题 10 分）《哪吒之魔童降世》票房大卖，周边玩偶热销。甲、乙两个玩偶专卖店以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠方案：
专卖店 优惠条件
甲 购物花费优惠 10%
乙 累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按八折收费
（1）设顾客累计购物花费x(x>100)元，若在甲商场购物，则实际花______元；若在乙商场购物，则实际花费______元；（均用含x的式子表示，均化为最简形式）
（2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由。
（3）甲玩偶专卖店打算要花费 1000 元购进哪吒、敖丙两款玩偶共 60 个，已知哪吒玩偶进价 18 元/个、敖丙玩偶进价 15 元/个，问最多可以购进哪吒玩偶多少个？
22.(1)0.9x;(0.8x+20)
(2)0.9x>0.8x+20
∴x >200
当 x>200元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠．
(3）设购进哪吒玩偶 m 个，则购进敖丙玩偶（60- m）个
18m+15(60- m )≤1000
解得m ≤33
∵m 为正整数
艘m最多为33
答：最多可以购进哪吒玩偶33个。
23.（本题 10 分）对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式。利用图 1，可以得到一个因式分解等式：a2+2ab+b2=(a+b)2；如图 2 所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形，③、④都是剪成长为b的小正方形，剩下的都是剪成长分别为a、b的小长方形。
（1）观察图 2，可以发现多项式2a2+5ab+2b2可以因式分解为______；
（2）若每块小长方形的面积为 4，四个正方形的面积之和为 34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）拓展：如图 3 表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式。
(1)(2a+ b )( a +2b);
(2）由题意得 ab =4,2a2+2b2=34
∴a2+b2=17
所有裁剪线（虚线部分）长之和为2(2a+ b )+2(a +2b)=6a+6b
∴( a+ b)2=a2+b2+2ab=25
∵a >0,b >0
∴a + b =5
所有裁剪线（虚线部分）长之和为6a+6b=6×5=30
答：图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为30;
(3)x2-4x=x (x+2)(x-2)
24.（本题 12 分）如图 1，已知点A(2,a)，将线段AO平移至线段BC，点B(b,0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a，b满足+(b 5)2=0。
（1）直接写出点B，点C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）如图 2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒 2 个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒 3 个单位的速度向下运动。若经过t秒，△COQ的面积与△AOP的面积相等，试求t的值及点P的坐标。
（3）如图 3，若点D在线段OA上，将点D绕点O顺时针旋转90 得到点E，当点E恰好落在线段BC上时，直接写出点E的坐标。
(1) B (5,0) C (3,-6);
(2）当点 P 在原点右侧时﹣(5-2t)x6=-x3tx3…5分解得 t ,=….6分5-21号 R （鄂）…7分
当点 P 在原点右侧时(2t-5)x6=×3t×3
解得t2=10
5-2t=-15
∴P(-15,0)
(3) B (，﹣)
25.(本题 12 分)
（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图 1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150 。求证：AP2+BP2=CP2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60 ，得到△AP′B，连接PP′。
∴∠PAP′=60 ，PA=P′A，PC=______
∴△APP′为______三角形（从 “等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角” 中选择）。
∴∠APP′=60 ，PA=PP′
∵∠APB=150
∴∠BPP′= °
∴P′P2+BP2=
即AP2+BP2=CP2
（2）类比研究：如图 2，在等腰△ABC中，∠BAC=90 ，内部有一点P，若∠APB=135 ，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明。
（3）拓展应用： 如图 3 是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=8，BC=10，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值.
25.(1) P'B 等边 90 P’B
(2)2PA2+PB2=PC2
证明如下：如图，将△APC 绕A 点逆时针旋转90°得到△AP1B ，连接 P1P
由旋转性质可得： PA = P1A , PC = P1B ,∠PAP1=90°
∴△ APP1 为等腰直角三角形，
∴∠APP1=45,PP1=PA
∵∠APB =135°
∴∠BPP = ∠APB -∠APP1=135°-45°=90°
∴PP12+PB2=P1B2
∴(PA)2+PB2=PC2
∴2PA2+PB2=PC2
(3）如图，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△EDC ，连接PD 、BE
将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△EDC
∴CP = CD , AP = DE , AC = EC =8,∠PCD =∠ACE =60°
∴△PCD是等边三角形
∴PD = PC
∴PA + PB + PC = DE + PB + PD ，当点B 、P 、D 、E 四点共线时，PA +PB +PC 最小
∵∠ACE =60°, ∠ACB =30°
∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°
在 Rt△BCE 中，BE=2
即 PA + PB + PC 的最小值为2

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