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第2讲　力的合成与分解
学习目标　1.会用平行四边形定则及三角形定则求合力。 2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。3.能利用力的合成与分解解决实际问题。
1.力的合成
2.力的分解
3.矢量和标量
1.思考判断
(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。(×)
(2)两个力的合力一定比其分力大。(×)
(3)当一个分力增大时，合力一定增大。(×)
(4)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。(√)
(5)一个力只能分解为一对分力。(×)
(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。(√)
(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
2.物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示。其中F5大小为10 N，方向水平向右。若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F;若将F5转过120°，此时的合力为F'，则F与F'大小之比为(　　)
A.1∶1　　　　 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
答案　C
3.一个物体受到三个共点力F1、F2、F3作用，其合力为0，这三个力的大小分别为20 N、18 N、30 N，现将F3突然减小到18 N，三个力的方向仍保持不变，则此时它们的合力为(　　)
A.8 N B.10 N
C.12 N D.18 N
答案　C
4.(人教版必修第一册P80T6改编)如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10 N的相框对称地悬挂在墙壁上，相框上两个挂钉间的距离为0.5 m。已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为(　　)
A.0.5 m B.1.0 m
C. m D. m
答案　C
考点一　共点力的合成
1.两个共点力的合力
合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
2.三个共点力的合力
(1)最大值:当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值:如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0;如果不处于这个范围，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
例1 (2024·湖北卷，6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A.f B.f
C.2f D.3f
答案　B
解析　
方法总结　几种特殊情况的共点力的合成方法
类型 作图 合力的计算
两力互 相垂直 F＝ tan θ＝
两力等大， 夹角为θ F＝2F1cos F与F1夹角为
两力等大， 夹角为120° F'＝F F'与F夹角为60°
跟踪训练
1.(2025·皖豫名校联盟高三联考)质量为2 kg的物体在4个共点力作用下处于静止状态，其中最大的一个力大小为F1＝20 N，最小的一个力大小为F2＝2 N。下列判断正确的是(　　)
A.其他两个力的合力大小可能等于10 N
B.其他两个力的合力大小一定为22 N或18 N
C.若保持其他力不变，只撤除F2，物体运动的加速度大小一定是1 m/s2
D.若保持其他力不变，瞬间把F2的方向改变60°，物体由静止开始运动，在最初1秒内的位移大小是1 m
答案　C
解析　物体处于平衡状态，则合力为0，根据力的合成法则，2个力的合力与剩余2个力的合力等大反向。F1与F2的合力范围为F1－F2≤F合≤F1＋F2，即18 N≤F合≤22 N，故其他两个力的合力范围为18 N≤F合'≤22 N，故A、B错误;其余三个力的合力与F2等大反向，只撤除F2，物体运动的加速度大小为a＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确;若把F2的方向改变60°，则其余三力的合力与F2大小相等，方向成120°角，合力F＝F2，此时物体的加速度为a'＝＝1 m/s2，在最初1秒内的位移大小是x＝a't2＝0.5 m，故D错误。
考点二　力的分解
力的分解的两种常用方法
(1)按照解决问题需要分解
(2)正交分解法
①建系原则:一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力在坐标轴上);在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤:把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力:Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力:Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小:F＝(如图所示)
合力方向:若F与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
角度　按照解决问题需要分解
例2 (2025·重庆一中模拟)如图所示，静止在水平桌面上厚度不计的圆柱形玻璃杯中放有两个半径相同的玻璃球A和B，每个玻璃球的重力为G。已知玻璃杯的底部直径是玻璃球半径的3倍，玻璃球A对玻璃杯侧壁的压力大小为F1，玻璃球A对玻璃球B的压力大小为F2，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.F1＝G，F2＝G B.F1＝G，F2＝G
C.F1＝G，F2＝G D.F1＝G，F2＝G
答案　A
解析　设两玻璃球A、B的球心连线与竖直方向的夹角为θ，如图甲所示，由几何关系可知sin θ＝，θ＝30°，将玻璃球A的重力进行分解，如图乙所示
可得F1＝Gtan θ＝G，F2＝2F1＝G，故玻璃球A对玻璃杯侧壁的压力大小为G，玻璃球A对玻璃球B的压力大小为G，故A正确。
角度　力的正交分解
例3 (2024·河北卷，5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
答案　A
解析　对球体受力分析如图所示，正交分解列方程，x轴方向有FN1sin 30°＝FN2sin 30°，y轴方向有FN1 cos 30°＋FN2cos 30°＋F＝mg，联立解得FN1＝ N，A正确。
衔接教材 (人教版必修第一册P79练习与应用T5)将一个质量为4 kg的铅球放在倾角为45°的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态(如图)。不考虑铅球受到的摩擦力，铅球对挡板的压力和对斜面的压力分别是多少
衔接分析　教材中该题与2024年河北卷第5题模型与解题思路完全一致，考查利用正交分解法解决共点力的平衡问题，题目涉及斜面、挡板和小球，对研究对象小球进行受力分析，将共点力正交分解，求挡板和斜面与球间的作用力。
跟踪训练
2.(2024·广东深圳模拟)竖直墙上M为一坚实的固定圆环，N为一铁钉，圆环与铁钉之间连着细铁丝，选项A中，有一力F沿图中水平方向拉着铁钉，选项B、C、D中同一大小的力F在铁丝中点沿图中方向拉铁丝，四种情况下，铁钉受到拉力最大的是(　　)
答案　B
解析　选项A中，铁钉受到的拉力FA＝F;选项B中铁丝中点的力F的分解示意图如图所示，根据力的平行四边形及几何关系，解得铁钉受到拉力FB＝F，可知θ＝90°时，FB>F;在选项C、D中α角度不变，力F不变，θ角度减小，铁钉受到拉力也逐渐减小，因此选项B中铁钉受到拉力最大，故B正确。
考点三　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
角度　“活结”和“死结”模型分析
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
例4 如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
A.45° B.55°
C.60° D.70°
答案　B
解析　悬挂甲物体的细线拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则滑轮两侧绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在连接甲、乙绳子的角平分线上，如图所示，根据几何关系有180°＝2β＋α，解得β＝55°，故B正确。
角度　“动杆”和“定杆”模型分析
模型结构 模型解读 模型特点
“动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
“定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
例5 (2024·浙江杭州月考)如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°;轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过轻绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，在轻杆的G点用轻绳FG悬挂一个质量也为10 kg的物体，下列说法正确的是(　　)
A.横梁BC对C端的弹力方向沿着BC向右
B.轻绳AC段的张力与轻绳EG段的张力之比为2∶1
C.横梁BC对C端的弹力大小与轻杆HG对G端的弹力大小之比为∶1
D.横梁BC对C端的弹力大小与轻杆HG对G端的弹力大小之比为1∶
答案　D
解析　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲、乙所示。图甲中，根据几何关系得FAC＝FCD＝M1g，且二者夹角为120°，故可得横梁BC对C端的弹力大小为FNC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°角斜向右上方，A错误;图乙中由FEGsin 30°＝M2g，FEGcos 30°＝FNG，得FEG＝2M2g，FNG＝M2g，所以有，B、C错误，D正确。
A级　基础对点练
对点练1　共点力的合成
1.一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小
答案　B
解析　先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，方向与F3同向，故B正确。
2.如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为(　　)
A.50 N B.30 N
C.20 N D.10 N
答案　B
解析　如图所示，利用平行四边形定则可知，F2和F4的合力等于F1，F3和F5的合力也等于F1，所以这5个力的合力大小为3F1＝30 N，故B正确。
3.(2025·山东济南高三针对性训练)高空滑索因其惊险刺激而深受年轻人追捧。人通过轻绳与轻质滑环相连，开始下滑前，轻质滑环固定在钢索AB上O点处，滑环和人均处于静止状态，钢索和轻绳的夹角关系如图所示。设OA段钢索的拉力大小为T1，OB段钢索的拉力大小为T2，OC段轻绳的拉力大小为T3，下列判断正确的是(　　)
A.T1>T2>T3 B.T1>T3>T2
C.T2>T1>T3 D.T3>T2>T1
答案　A
解析　以结点O为研究对象受力分析，如图所示，由力的平衡条件得OA段钢索的拉力与OB段钢索的拉力的合力大小等于OC段的拉力大小，由图中几何关系知γ>α>β，则三段的拉力大小关系为T1>T2>T3，A正确。
对点练2　力的分解
4.(2024·辽宁辽阳模拟)一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1、2面的弹力大小分别记为F1、F2，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列判断正确的是(　　)
A.F1＝Fsin θ B.F1＝Fcos θ
C.F2＝Ftan θ D.F2＝
答案　D
解析　将力F沿垂直木板1、2面进行分解如图所示，可得F1＝，F2＝，故D正确。
5.(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A.Ff＝G　　　　　 B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
答案　C
解析　如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正确，A、B、D错误。
6.如图所示，开口向下的“”形框架两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮。两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过光滑定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为(　　)
A.1∶2cos θ B.2cos θ∶1
C.2sin θ∶1 D.1∶2sin θ
答案　A
解析　对两个滑块分别受力分析，如图所示，根据平衡条件可知，mAg＝F1sin θ，mBg＝F2sin 2θ，又F1＝F2，因此，A正确。
对点练3　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
7.如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
答案　D
解析　对结点O受力分析，根据平衡条件，水平方向有F1sin α＝F2sin β＝Fx，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确;竖直方向，有F1的竖直分量F1y＝F1cos α＝ ，F2的竖直分量F2y＝F2cos β＝，由tan α>tan β可知，F1y8.一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上，光滑铰链(不计质量)与轻杆连接，轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O'连接，如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°，重力加速度为g，则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为(　　)
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
答案　B
解析　由题可知，两轻杆为两个“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对中间铰链进行受力分析，铰链所受轻绳拉力大小为mg，方向竖直向下，下面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上，设为F2，
如图所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有，解得F1＝mg，F2＝mg，选项B正确。
B级　综合提升练
9.(多选)两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。以下说法正确的是(　　)
A.合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B.若F1和F2大小不变，θ角减小，合力F一定增大
C.若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小
D.若F1和F2大小不变，合力F与θ的关系图像如图所示，则任意改变这两个分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
答案　BC
解析　合力F的取值范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力F不一定总比分力F1和F2中的任何一个力都大，故A错误;根据余弦定理可得合力大小为F＝，θ角减小，则合力F一定增大，故B正确;若夹角θ为钝角，θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，故C正确;由题图知，当θ＝180°时，F合＝2 N，即|F1－F2|＝2 N，当θ＝90°时，F合'＝10 N，即＝10 N，解得F1＝6 N，F2＝8 N或F1＝8 N，F2＝6 N，故2 N≤F≤14 N，故D错误。
10.(2025·四川成都一模)如图所示，两固定斜面OM粗糙、ON光滑，两物块a、b通过铰链与轻杆相连，且都静止于斜面上，杆垂直于OM。当对b物体施加竖直向下的恒力时(　　)
A.a向上滑动
B.b仍静止
C.a与OM间的摩擦力增大
D.b沿斜面向下运动
答案　B
解析　设b的质量为m，杆对b的弹力为F，ON对b的支持力为FNb，其力的矢量图如图所示，由几何知识可知F＝FNb＝mg。当b受到竖直向下的恒力时，竖直方向的作用力增大，杆和斜面ON的支持力等比例增大，合力仍为零，b仍静止，故B正确，D错误;杆对a的力始终垂直斜面OM，a始终静止，摩擦力Ff＝magsin 60°不变，故A、C错误。
11.(2025·江苏南京师范大学附属中学期末)如图所示，两个质量均为m的小球分别套在竖直固定的光滑圆环上，圆环半径为R，一不可伸长的细线两端各系在一个小球上，细线长为2R。用竖直向上的力F拉细线中点O，可使两小球保持等高静止在圆上a、b两点不同处。当a、b间的距离为R时，力F的大小为(重力加速度为g)(　　)
A.2mg B.3mg
C.2mg D.3mg
答案　B
解析　a、b等高且距离为R，O为细线中点且细线长为2R，则Oa＝Ob＝R，三角形Oab为等边三角形，如图所示，O'为圆心，选取左侧小球进行分析，由图中几何关系可得，圆环弹力沿O'a向外，与水平方向夹角为30°，则小球所受重力与圆环弹力相等、两者的合力为F合＝2mgcos 30°＝mg，与细线拉力FT等大，力F的大小与细线拉力的合力等大反向，两细线夹角为60°，则F＝2FTcos 30°＝FT＝3mg，故B正确。
12.如图所示，轻绳MN的两端固定在水平天花板上，物体A系在轻绳MN的某处，悬挂有物体B的光滑轻滑轮跨在轻绳MN上。系统静止时的几何关系如图，则A与B的质量之比为(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶ D.∶2
答案　A
解析　对物体A上方绳的结点受力分析，如图甲所示，根据共点力平衡及几何关系可知，合力正好平分两个分力的夹角，可得F1＝mAg，对滑轮受力分析，如图乙所示，由于滑轮两侧绳的拉力相等，两侧绳夹角为120°，可得F2＝mBg，根据同一根轻绳拉力相等的特点可知F1＝F2，则mA＝mB，得，A正确。
13.(2025·福建福州一中月考)为了安全，卡车运输卷材时常用“V”形槽固定。如图，将“V”形槽简化为两光滑固定于卡车的斜面Ⅰ和Ⅱ，两斜面的倾角分别为30°和60°。质量为m的匀质圆筒状钢卷放在斜面上，当卡车沿平直公路行驶时，钢卷对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1和F2，则(重力加速度为g)(　　)
A.若卡车匀速运动，则F1＝mg
B.若卡车匀速运动，则F1＝F2
C.若卡车加速运动，则F1和F2都可能大于mg
D.若卡车急刹车且F1减小为零时，F2＝1.5mg
答案　B
解析　若卡车匀速运动，钢卷受力平衡，根据重力的作用效果分解如图甲，则有F1＝mgcos 30°＝mg，F2＝mgsin 30°＝mg，可知F1＝F2，A错误，B正确;若卡车加速运动，如果加速度从零逐渐增大，F2逐渐减小，当加速度最大时，F2＝0，此时受力如图乙，则有F1＝mg>mg，C错误;若卡车急刹车且F1减小为零时，F2＝＝2mg，D错误。
C级　培优加强练
14.(2025·河北衡水联考)将一根长195 cm的细钢丝的两端分别用螺丝固定在两个相同的小木块上，取两根长98.5 cm的硬质轻木条，在顶点用铰链连接起来。将两木块分开，拉直钢丝，放在比较光滑的水平面上，然后将两轻木条的自由端分别卡在两木块的凹槽内，用手指在顶点铰链处用大小为F的力下按，细钢丝就会被拉断。该实验中，细钢丝被拉断前瞬间承受的拉力大小约为(　　)
A.F B.F
C.F D.F
答案　B
解析　把竖直向下的力F沿两木条方向分解，如图甲所示，设两木条之间的夹角为θ，由几何关系可知tan，则木条作用于木块上的力为F1＝F2＝，木条对木块的作用力F1产生两个效果，竖直向下压木块的力F1″和沿水平方向推木块的力F1'，如图乙所示，细钢丝上的张力FT与F1'大小相等，即FT＝F1sin·sinFtanF，B正确。(共62张PPT)
第2讲　力的合成与分解
第二章　相互作用——力
1.会用平行四边形定则及三角形定则求合力。
2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
3.能利用力的合成与分解解决实际问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
相同
1.力的合成
合力
分力
等效替代
合力
有向线段
合力
有向线段
分力
2.力的分解
逆运算
平行四边形
垂直
方向
3.矢量和标量
平行四边形
方向
算术
1.思考判断
×
(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。( )
(2)两个力的合力一定比其分力大。( )
(3)当一个分力增大时，合力一定增大。( )
(4)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。( )
(5)一个力只能分解为一对分力。( )
(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。( )
(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。( )
×
×
√
×
√
√
C
2.物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示。其中F5大小为10 N，方向水平向右。若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F;若将F5转过120°，此时的合力为F'，则F与F'大小之比为(　　)
A.1∶1　　　　 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
C
3.一个物体受到三个共点力F1、F2、F3作用，其合力为0，这三个力的大小分别为20 N、18 N、30 N，现将F3突然减小到18 N，三个力的方向仍保持不变，则此时它们的合力为(　　)
A.8 N B.10 N C.12 N D.18 N
C
4.(人教版必修第一册P80T6改编)如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10 N的相框对称地悬挂在墙壁上，相框上两个挂钉间的距离为0.5 m。已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为(　　)
A.0.5 m B.1.0 m
C. m D. m
研透核心考点
2
考点二　力的分解
考点一　共点力的合成
考点三　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
考点一　共点力的合成
1.两个共点力的合力
合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
2.三个共点力的合力
(1)最大值:当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值:如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0;如果不处于这个范围，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
例1 (2024·湖北卷，6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
B
A.f B.f
C.2f D.3f
解析　
方法总结　几种特殊情况的共点力的合成方法
类型 作图 合力的计算
两力互 相垂直 F＝
tan θ＝
两力等大， 夹角为θ F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大， 夹角为120° F'＝F
F'与F夹角为60°
跟踪训练
1.(2025·皖豫名校联盟高三联考)质量为2 kg的物体在4个共点力作用下处于静止状态，其中最大的一个力大小为F1＝20 N，最小的一个力大小为F2＝2 N。下列判断正确的是(　　)
A.其他两个力的合力大小可能等于10 N
B.其他两个力的合力大小一定为22 N或18 N
C.若保持其他力不变，只撤除F2，物体运动的加速度大小一定是1 m/s2
D.若保持其他力不变，瞬间把F2的方向改变60°，物体由静止开始运动，在最初1秒内的位移大小是1 m
C
解析　物体处于平衡状态，则合力为0，根据力的合成法则，2个力的合力与剩余2个力的合力等大反向。F1与F2的合力范围为F1－F2≤F合≤F1＋F2，即18 N≤F合≤22 N，故其他两个力的合力范围为18 N≤F合'≤22 N，故A、B错误;其余三个力的合力与F2等大反向，只撤除F2，物体运动的加速度大小为a＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确;若把F2的方向改变60°，则其余三力的合力与F2大小相等，方向成120°角，合力F＝F2，此时物体的加速度为a'＝＝1 m/s2，在最初1秒内的位移大小是x＝a't2＝0.5 m，故D错误。
考点二　力的分解
力的分解的两种常用方法
(1)按照解决问题需要分解
(2)正交分解法
①建系原则:一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力在坐标轴上);在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤:把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力:Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力:Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小:F＝(如图所示)
合力方向:若F与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
角度　　按照解决问题需要分解
例2 (2025·重庆一中模拟)如图所示，静止在水平桌面上厚度不计的圆柱形玻璃杯中放有两个半径相同的玻璃球A和B，每个玻璃球的重力为G。已知玻璃杯的底部直径是玻璃球半径的3倍，玻璃球A对玻璃杯侧壁的压力大小为F1，玻璃球A对玻璃球B的压力大小为F2，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A
A.F1＝G，F2＝G B.F1＝G，F2＝G
C.F1＝G，F2＝G D.F1＝G，F2＝G
解析　设两玻璃球A、B的球心连线与竖直方向的夹角为θ，如图甲所示，由几何关系可知sin θ＝，θ＝30°，将玻璃球A的重力进行分解，如图乙所示
可得F1＝Gtan θ＝G，F2＝2F1＝G，故玻璃球A对玻璃杯侧壁的压力大小为G，玻璃球A对玻璃球B的压力大小为G，故A正确。
角度　　力的正交分解
例3 (2024·河北卷，5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
A
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
解析　对球体受力分析如图所示，正交分解列方程，x轴方向有FN1sin 30°＝FN2sin 30°，y轴方向有FN1 cos 30°＋FN2cos 30°＋F＝mg，联立解得FN1＝ N，A正确。
衔接教材 (人教版必修第一册P79练习与应用T5)将一个质量为4 kg的铅球放在倾角为45°的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态(如图)。不考虑铅球受到的摩擦力，铅球对挡板的压力和对斜面的压力分别是多少
衔接分析　教材中该题与2024年河北卷第5题模型与解题思路完全一致，考查利用正交分解法解决共点力的平衡问题，题目涉及斜面、挡板和小球，对研究对象小球进行受力分析，将共点力正交分解，求挡板和斜面与球间的作用力。
跟踪训练
2.(2024·广东深圳模拟)竖直墙上M为一坚实的固定圆环，N为一铁钉，圆环与铁钉之间连着细铁丝，选项A中，有一力F沿图中水平方向拉着铁钉，选项B、C、D中同一大小的力F在铁丝中点沿图中方向拉铁丝，四种情况下，铁钉受到拉力最大的是(　　)
B
解析　选项A中，铁钉受到的拉力FA＝F;选项B中铁丝中点的力F的分解示意图如图所示，根据力的平行四边形及几何关系，解得铁钉受到拉力FB＝F，可知θ＝90°时，FB>F;在选项C、D中α角度不变，力F不变，θ角度减小，铁钉受到拉力也逐渐减小，因此选项B中铁钉受到拉力最大，故B正确。
考点三　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
角度　　“活结”和“死结”模型分析
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
例4 如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
A.45° B.55° C.60° D.70°
B
解析　悬挂甲物体的细线拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则滑轮两侧绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在连接甲、乙绳子的角平分线上，如图所示，根据几何关系有180°＝2β＋α，解得β＝55°，故B正确。
角度　　“动杆”和“定杆”模型分析
模型结构 模型解读 模型特点
“动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
“定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
例5 (2024·浙江杭州月考)如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°;轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过轻绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，在轻杆的G点用轻绳FG悬挂一个质量也为10 kg的物体，下列说法正确的是(　　)
D
A.横梁BC对C端的弹力方向沿着BC向右
B.轻绳AC段的张力与轻绳EG段的张力
之比为2∶1
C.横梁BC对C端的弹力大小与轻杆HG对G端
的弹力大小之比为∶1
D.横梁BC对C端的弹力大小与轻杆HG对G端的弹力大小之比为1∶
解析　题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲、乙所示。图甲中，根据几何关系得FAC＝FCD＝M1g，
且二者夹角为120°，故可得横梁BC对C端的弹力大小为FNC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°角斜向右上方，A错误;图乙中由FEGsin 30°＝M2g，FEGcos 30°＝FNG，得FEG＝2M2g，FNG＝M2g，所以有，B、C错误，D正确。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
B
对点练1　共点力的合成
1.一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小
解析　先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，方向与F3同向，故B正确。
B
2.如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为(　　)
A.50 N B.30 N
C.20 N D.10 N
解析　如图所示，利用平行四边形定则可知，F2和F4的合力等于F1，F3和F5的合力也等于F1，所以这5个力的合力大小为3F1＝30 N，故B正确。
A
3.(2025·山东济南高三针对性训练)高空滑索因其惊险刺激而深受年轻人追捧。人通过轻绳与轻质滑环相连，开始下滑前，轻质滑环固定在钢索AB上O点处，滑环和人均处于静止状态，钢索和轻绳的夹角关系如图所示。设OA段钢索的拉力大小为T1，OB段钢索的拉力大小为T2，OC段轻绳的拉力大小为T3，下列判断正确的是(　　)
A.T1>T2>T3 B.T1>T3>T2
C.T2>T1>T3 D.T3>T2>T1
解析　以结点O为研究对象受力分析，如图所示，由力的平衡条件得OA段钢索的拉力与OB段钢索的拉力的合力大小等于OC段的拉力大小，由图中几何关系知γ>α>β，则三段的拉力大小关系为T1>T2>T3，A正确。
D
对点练2　力的分解
4.(2024·辽宁辽阳模拟)一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1、2面的弹力大小分别记为F1、F2，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列判断正确的是(　　)
A.F1＝Fsin θ B.F1＝Fcos θ
C.F2＝Ftan θ D.F2＝
解析　将力F沿垂直木板1、2面进行分解如图所示，可得F1＝，F2＝，故D正确。
C
5.(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A.Ff＝G　　　　　 B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
解析　如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正确，A、B、D错误。
A
6.如图所示，开口向下的“ ”形框架两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮。两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过光滑定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为(　　)
A.1∶2cos θ B.2cos θ∶1 C.2sin θ∶1 D.1∶2sin θ
解析　对两个滑块分别受力分析，如图所示，根据平衡条件可知，mAg＝F1sin θ，mBg＝F2sin 2θ，又F1＝F2，因此，A正确。
D
对点练3　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
7.如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
解析　对结点O受力分析，根据平衡条件，水平方向有F1sin α＝F2sin β＝Fx，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确;竖直方向，有F1的竖直分量F1y＝F1cos α＝ ，F2的竖直分量F2y＝F2cos β＝，由tan α>tan β可知，F1yB
8.一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上，光滑铰链(不计质量)与轻杆连接，轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O'连接，如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°，重力加速度为g，则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为(　　)
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
解析　由题可知，两轻杆为两个“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对中间铰链进行受力分析，铰链所受轻绳拉力大小为mg，方向竖直向下，下面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上，设为F2，如图所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有，解得F1＝mg，F2＝mg，选项B正确。
B级　综合提升练
BC
9.(多选)两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。以下说法正确的是(　　)
A.合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B.若F1和F2大小不变，θ角减小，合力F一定增大
C.若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小
D.若F1和F2大小不变，合力F与θ的关系图像如图所示，则任意改变这两个分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
解析　合力F的取值范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力F不一定总比分力F1和F2中的任何一个力都大，故A错误;根据余弦定理可得合力大小为F＝，θ角减小，则合力F一定增大，故B正确;若夹角θ为钝角，θ
不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，故C正确;由题图知，当θ＝180°时，F合＝2 N，即|F1－F2|＝2 N，当θ＝90°时，F合'＝10 N，即＝10 N，解得F1＝6 N，F2＝8 N或F1＝8 N，F2＝6 N，故2 N≤F≤14 N，故D错误。
B
10.(2025·四川成都一模)如图所示，两固定斜面OM粗糙、ON光滑，两物块a、b通过铰链与轻杆相连，且都静止于斜面上，杆垂直于OM。当对b物体施加竖直向下的恒力时(　　)
A.a向上滑动
B.b仍静止
C.a与OM间的摩擦力增大
D.b沿斜面向下运动
解析　设b的质量为m，杆对b的弹力为F，ON对b的支持力为FNb，其力的矢量图如图所示，由几何知识可知F＝FNb＝mg。当b受到竖直向下的恒力时，竖直方向的作用力增大，杆和斜面ON的支持力等比例增大，合力仍为零，b仍静止，故B正确，D错误;杆对a的力始终垂直斜面OM，a始终静止，摩擦力Ff＝magsin 60°不变，故A、C错误。
B
11.(2025·江苏南京师范大学附属中学期末)如图所示，两个质量均为m的小球分别套在竖直固定的光滑圆环上，圆环半径为R，一不可伸长的细线两端各系在一个小球上，细线长为2R。用竖直向上的力F拉细线中点O，可使两小球保持等高静止在圆上a、b两点不同处。当a、b间的距离为R时，力F的大小为(重力加速度为g)(　　)
A.2mg B.3mg C.2mg D.3mg
解析　a、b等高且距离为R，O为细线中点且细线长为2R，则Oa＝Ob＝R，三角形Oab为等边三角形，如图所示，O'为圆心，选取左侧小球进行分析，由图中几何关系可得，圆环弹力沿O'a向外，与水平方向夹角为30°，则小球所受重力与圆环弹力相等、两者的合力为F合＝2mgcos 30°＝mg，与细线拉力FT等大，力F的大小与细线拉力的合力等大反向，两细线夹角为60°，则F＝2FTcos 30°＝FT＝3mg，故B正确。
A
12.如图所示，轻绳MN的两端固定在水平天花板上，物体A系在轻绳MN的某处，悬挂有物体B的光滑轻滑轮跨在轻绳MN上。系统静止时的几何关系如图，则A与B的质量之比为(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶ D.∶2
解析　对物体A上方绳的结点受力分析，如图甲所示，根据共点力平衡及几何关系可知，合力正好平分两个分力的夹角，可得F1＝mAg，对滑轮受力分析，如图乙所示，由于滑轮两侧绳的拉力相等，两侧绳夹角为120°，可得F2＝mBg，根据同一根轻绳拉力相等的特点可知F1＝F2，则mA＝mB，得，A正确。
B
13.(2025·福建福州一中月考)为了安全，卡车运输卷材时常用“V”形槽固定。如图，将“V”形槽简化为两光滑固定于卡车的斜面Ⅰ和Ⅱ，两斜面的倾角分别为30°和60°。质量为m的匀质圆筒状钢卷放在斜面上，当卡车沿平直公路行驶时，钢卷对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1和F2，则(重力加速度为g)(　　)
A.若卡车匀速运动，则F1＝mg
B.若卡车匀速运动，则F1＝F2
C.若卡车加速运动，则F1和F2都可能大于mg
D.若卡车急刹车且F1减小为零时，F2＝1.5mg
解析　若卡车匀速运动，钢卷受力平衡，根据重力的作用效果分解如图甲，则有F1＝mgcos 30°＝mg，F2＝mgsin 30°＝mg，可知F1＝F2，A错误，B正确;若卡车加速运动，如果加速度从零逐渐增大，F2逐渐减小，当加速度最大时，F2＝0，此时受力如图乙，则有F1＝mg>mg，C错误;若卡车急刹车且F1减小为零时，F2＝＝2mg，D错误。
14.(2025·河北衡水联考)将一根长195 cm的细钢丝的两端分别用螺丝固定在两个相同的小木块上，取两根长98.5 cm的硬质轻木条，在顶点用铰链连接起来。将两木块分开，拉直钢丝，放在比较光滑的水平面上，然后将两轻木条的自由端分别卡在两木块的凹槽内，用手指在顶点铰链处用大小为F的力下按，细钢丝就会被拉断。该实验中，细钢丝被拉断前瞬间承受的拉力大小约为(　　)
C级　培优加强练
A.F B.F
C.F D.F
B
解析　把竖直向下的力F沿两木条方向分解，如图甲所示，设两木条之间的夹角为θ，由几何关系可知tan，则木条作用于木块上的力为F1＝F2＝，木条对木块的作用力F1产生两个效果，竖直向下压木块的力F1″和沿水平方向推木块的力F1'，如图乙所示，细钢丝上的张力FT与F1'大小相等，即FT＝F1sin·sinFtanF，B正确。

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