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实验二　探究弹簧弹力与形变量的关系
原理装置图 操作要求 注意事项
平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等 1.将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然长度l0，即原长。 2.如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，得出弹簧的伸长量x1，将这些数据填入自己设计的表格中。 3.改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5。 1.操作:弹簧竖直悬挂，待钩码静止时测出弹簧长度。 2.作图:坐标轴标度要适中，单位要标注，连线时要使各数据点均匀分布在图线的两侧，明显偏离图线的点要舍去。 3.适量:弹簧下端所挂钩码不要太多以免伸长量超出弹性限度。 4.多测:要使用轻质弹簧尽可能多测几组数据。 5.统一:弹力及伸长量对应关系及单位应统一。
数据 处理 1.列表法:将实验数据填入表中，研究测量的数据，可发现在实验误差允许的范围内，弹力与弹簧伸长量的比值不变。 2.图像法:根据测量数据，在建好直角坐标系的坐标纸上描点。以弹簧的弹力F为纵轴，弹簧的伸长量x为横轴，根据描点的情况，作出一条经过原点的倾斜直线。
考点一　教材原型实验
作图处理数据的规则
(1)要在坐标轴上标明代表的物理量符号、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图像尽可能占满整个坐标图纸。若弹簧原长较长，则横坐标的起点可以不从零开始。
(2)作图线时，尽可能使直线通过较多的点，不在直线上的点也要尽可能均匀分布在直线的两侧(若有个别点偏离太远，则是因偶然误差太大所致，应舍去)。
(3)要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图像的斜率、截距的意义。
角度　实验原理及操作
例1 (2025·安徽黄山高三期末)某同学在做探究弹力和弹簧伸长量的关系的实验中，设计了如图甲所示的实验装置。
(1)在实验中，以下说法正确的是　　　　(填正确答案标号)。
A.弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度
B.用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
C.用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
D.用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等
(2)如图乙所示，是探究某根弹簧的伸长量x与所受拉力F之间的关系图，由图可知，弹簧的劲度系数是　　　N/m。
(3)该同学用此弹簧制作成一弹簧测力计，丙图所示为某次测力时的示数，指针位置表示力的大小为　　　　N。
答案　(1)AB　(2)300　(3)1.75(1.73~1.77均对)
解析　(1)弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度，否则弹簧会损坏，故A正确;用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，要保证弹簧位于竖直位置，使钩码的重力等于弹簧的弹力，要待钩码平衡时再读数，故B正确;弹簧的长度不等于弹簧的伸长量，伸长量等于弹簧的长度减去原长，故C错误;用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出每组的弹力与形变量之比不相等，故D错误。
(2)根据胡克定律F＝kx，可知图像的斜率等于弹簧的劲度系数，由图像求出弹簧的劲度系数为k＝ N/m＝300 N/m。
(3)弹簧测力计的最小分度值为0.1 N，指针在1.7与1.8之间，故读数为1.75 N。
角度　数据处理及误差分析
例2 (2025·湖南长沙模拟)某同学采用图甲所示装置探究弹簧弹力与伸长量的关系，安装好实验装置，让刻度尺与弹簧平行放置，弹簧下端连有水平指针。实验时，在弹簧下端逐个加挂钩码，静止时，记下钩码个数及指针所指刻度L，填入表格如下。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 25.85 27.84 29.65 31.78 33.9 36.02
请回答下列问题∶
(1)表中有一个数值记录不规范，这是挂　　　　个钩码时的读数。
(2)为减小误差，采用逐差法计算弹簧伸长量。利用ΔLn＝Ln＋3－Ln(n＝1，2，3)计算弹簧的伸长量，则有ΔL1＝5.93 cm，ΔL2＝6.06 cm，ΔL3＝6.37 cm，伸长量的平均值ΔL＝＝　　　　cm。
(3)实验中，每个钩码的质量均为m＝50.0 g，g取9.8 m/s2，该弹簧的劲度系数为　　　　N/m(结果保留3位有效数字)。
(4)图乙是该同学根据另一次实验数据描绘的弹簧的伸长量ΔL与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)5　(2)6.12　(3)24.0　(4)所挂钩码过多，导致弹簧超过了弹性限度
解析　(1)根据表格中数据可知，刻度尺的精度为0.1 cm，读数时，若单位为cm，则需要保留两位小数，可知表中挂5个钩码时的读数不规范。
(2)伸长量的平均值ΔL＝ cm＝6.12 cm。
(3)结合上述，采用逐差法计算弹簧伸长量。计算弹簧的伸长量是利用表达式ΔLn＝Ln＋3－Ln(n＝1，2，3)可知，该伸长量对应的弹力等于三个钩码的重力，根据胡克定律有3mg＝kΔL
结合上述解得k≈24.0 N/m。
(4)图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是所挂钩码过多，导致弹簧超过了弹性限度。
考点二　创新拓展实验
创新角度:实验装置的改进
装置时代化 求解智能化
1.弹力的获得:弹簧竖直悬挂，重物的重力作为弹簧的拉力，存在弹簧自重的影响→弹簧水平放置，重物的重力作为弹簧的拉力，消除了弹簧自重的影响 2.图像的获得:由坐标纸作图得F－x图像→由传感器和计算机输入数据直接得F－x图像
例3 (2025·四川内江一模)某实验小组利用如图所示的实验装置来测量橡皮绳的劲度系数k。将手机悬挂在橡皮绳下，用手机软件中的位移传感器，可以测量手机在竖直方向上的位移。该实验小组进行了如下主要的实验步骤:
a.将橡皮绳分别与手机和铁架台相连接，使手机重心和橡皮绳在同一竖直线上;
b.用手掌托着手机，使橡皮绳处于原长状态，打开手机中的位移传感器软件;
c.缓慢释放手机，当手机平衡时记录手机下降的高度x0;
d.在手机正下方悬挂不同个数的钩码，每个钩码的质量m＝50 g，缓慢释放，当钩码平衡时，记录下从橡皮绳原长开始下降的伸长量x;
e.重复上述d步操作;
f.作出悬挂钩码数量n及对应手机从橡皮绳原长开始下降的伸长量x的关系图像，如图所示。
根据n－x图像，回答以下问题:
(1)不挂钩码时，橡皮绳的伸长量为x0＝　　　　cm。
(2)钩码个数n与橡皮绳从原长开始下降的伸长量x之间的函数关系式为n＝　　　　　　(用字母k、x、x0、m、g表示)。
(3)该橡皮绳的劲度系数k＝　　　　N/m(g＝10 m/s2)。
答案　(1)1.5　(2)x－　(3)100
解析　(1)根据图像可知不挂钩码时，橡皮绳的伸长量为x0＝1.5 cm。
(2)根据胡克定律有nmg＝k(x－x0)
整理得n＝x－。
(3)由图像可知，图线的斜率为k'＝＝2 cm－1
该橡皮绳的劲度系数k＝k'mg＝100 N/m。
跟踪训练
某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下:先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数L0，数据如表所示，实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
(1)利用ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1，2，3)计算弹簧的压缩量:ΔL1＝6.03 cm，ΔL2＝6.08 cm，ΔL3＝　　　　cm，压缩量的平均值Δ＝　　　　cm。
(2)上述Δ是管中增加　　　　个钢球时产生的弹簧平均压缩量。
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为　　　N/m(结果保留3位有效数字)。
答案　(1)6.04　6.05　(2)3　(3)48.6
解析　(1)根据压缩量的变化量为ΔL3＝L6－L3＝(18.09－12.05) cm＝6.04 cm
压缩量的平均值为
Δ cm
＝6.05 cm。
(2)因三个ΔL是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量。
(3)根据钢球的平衡条件有3mgsin θ＝k·Δ
解得k＝ N/m
＝48.6 N/m。
1.(2024·河北邯郸模拟)某实验小组用压力传感器设计测量弹簧劲度系数的实验方案。如图所示，压力传感器放在水平地面上，一轻质弹簧下端与重物连接，上端与跨过定滑轮的轻绳连接，轻绳的另一端连着托盘。托盘中不放砝码时，传感器读数为F0，在托盘中放置n(n＝0，1，2，3，4，5)个砝码，对应弹簧长度的变化量为xn，传感器的读数为Fn，记录下相应的数据。
(1)数据处理时采用画F－x图像的方法，试分析该图像　　　　(选填“过”或“不过”)坐标原点，该图像的　　　　　　可表示弹簧的劲度系数。
(2)滑轮的摩擦力对实验结果　　　　(选填“产生”或“不产生”)影响。
答案　(1)不过　斜率绝对值　(2)不产生
解析　(1)弹簧中弹力的增加量kx＝F0－F，整理得F＝F0－kx，可知该图线是一条不过原点的直线;斜率的绝对值为弹簧的劲度系数。
(2)由表达式F＝F0－kx，可知滑轮的摩擦力不影响实验结果。
2.在探究弹力和弹簧伸长的关系时，某同学先按图(a)所示对弹簧甲进行探究，然后把等长的弹簧乙(直径小于甲)套在弹簧甲内，两弹簧悬挂在同一点按图(b)所示进行探究。在弹性限度内，将质量m＝50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，测得图(a)、图(b)中弹簧的长度L1、L2如下表所示。
已知重力加速度g＝9.8 m/s2，计算弹簧甲的劲度系数k1＝　　　　 N/m，弹簧乙的劲度系数k2＝　　　　N/m(结果保留3位有效数字)。
钩码个数 1 2 3 4
L1/cm 30.02 31.02 32.02 33.02
L2/cm 29.33 29.65 29.97 30.29
答案　49.0　104
解析　由表格中的数据可知，当弹力的变化量ΔF＝mg＝0.05×9.8 N＝0.49 N时，弹簧甲的伸长量为Δx1＝×[(33.02－32.02)＋(32.02－31.02)＋(31.02－30.02)] cm＝1.00 cm
根据胡克定律知弹簧甲的劲度系数k1＝＝49.0 N/m
把弹簧甲和弹簧乙并联起来时弹簧的伸长量
Δx2＝×[(30.29－29.97)＋(29.97－29.65)＋(29.65－29.33)] cm＝0.32 cm
根据胡克定律知弹簧甲、乙合并后的劲度系数k＝＝153 N/m
根据k并＝k甲＋k乙，可计算出弹簧乙的劲度系数k乙＝153 N/m－49 N/m＝104 N/m。
3.(2025·河南信阳模拟)某同学用如图甲所示实验装置“探究弹簧的弹力与伸长量之间的关系”，实验时将弹簧a上端固定在铁架台的横杆上，弹簧a的右侧固定一刻度尺，记录不挂钩码时弹簧a的长度l0，在弹簧a下端悬挂不同质量的钩码，记录每次实验钩码的质量m及对应的弹簧a的长度l，重力加速度g取9.8 m/s2。
(1)由x＝l－l0求出每次弹簧a的伸长量x，根据测量数据作出x－m图像，如图乙所示中的图线A。由图线A可得弹簧a的劲度系数k＝　　　　N/m(结果保留2位有效数字)。由图像可以得出的结论是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
(2)该同学再用弹簧b重做实验，得到的x－m图像如图乙所示中的图线B，由图像可知，弹簧b的劲度系数　　　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)弹簧a的劲度系数。若继续增大悬挂钩码的质量，测得的数值绘出的图像发现向上弯曲，其原因是 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。
(3)若将a、b弹簧首尾相连串接在一起后悬挂在铁架台的横杆上，在最下端悬挂50 g的钩码，则稳定后，两根弹簧的总伸长量为　　　　cm。
答案　(1)49　在弹性限度内，弹簧的弹力与其伸长量成正比　(2)大于　弹簧超出了弹性限度　(3)1.6
解析　(1)由mg＝kx可得x＝m，结合图像得
m/kg＝0.2 m/kg，解得k＝49 N/m
由图像得到的结论是:在弹性限度内，弹簧的弹力与其伸长量成正比。
(2)由x＝m可知，图像的斜率越小，对应弹簧的劲度系数越大，因此弹簧b的劲度系数大于弹簧a的劲度系数。图像向上弯曲的原因是弹簧超出了弹性限度。
(3)由图像可知，两根弹簧的总伸长量为1.6 cm。
4.(2025·海南海口模拟)在探究弹力与弹簧伸长量的关系、并测定弹簧的劲度系数的实验中，实验装置如图所示，所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力。实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度。
(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据描点在坐标图中，请作出F－L图线。
(2)由此图线可得出的结论是　　　　　　　　　，该弹簧的原长为L0＝　　　　cm，劲度系数k＝　　　　N/m。
(3)试根据以上该同学的实验情况，请你帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)。
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，
优点在于:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;
缺点在于:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)见解析图　(2)在弹性限度内，弹力和弹簧的伸长量成正比　10　25　(3)见解析　(4)避免弹簧自身所受重力对实验的影响　弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差
解析　(1)根据题意可知，应将题中给出的各点用直线连接，让各点均匀的分布在直线两侧，如图所示。
(2)此图像为一次函数图像，结合胡克定律可知，由此图线可得出的结论是在弹性限度内，弹力和弹簧的伸长量成正比。由图像可知，当F＝0时，此时L即为弹簧的原长，L0＝10 cm。此图像结合胡克定律可知，图像的斜率即为弹簧的劲度系数，即k＝ N/m＝25 N/m。
(3)实验记录数据表格如下:
次数 1 2 3 4 5 6
弹力F/N
弹簧的长度 L/(×10－2 m)
(4)弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，优点在于避免弹簧自身所受重力对实验的影响;缺点在于弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差。
5.小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下:
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g。
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表:
序号 1 2 3 4 5
硬币数量n/枚 5 10 15 20 25
长度l/cm 10.51 12.02 13.54 15.05 16.56
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线。
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此时橡皮筋的长度为　　　　 cm。
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为　　　　 g(计算结果保留3位有效数字)。
答案　(3)见解析图　(4)15.35　(5)128
解析　(3)根据表格数据描点连线如图所示。
(4)由题图(c)可知刻度尺的分度值为1 mm，故读数为l＝15.35 cm。
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为l0，则
n1mg＝k(l1－l0)，n2mg＝k(l2－l0)
则橡皮筋的劲度系数为k＝
从作出的l－n图线读取数据可得k＝mg (N/cm)
l0＝＝9.00 cm
设冰墩墩的质量为m1，则有m1g＝k(l－l0)
可得m1＝×6.05×(15.35－9.00) g≈128 g。(共40张PPT)
实验二　探究弹簧弹力与形变量的关系
第二章　相互作用——力
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
原理装置图 操作要求 注意事项
平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等 1.将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然长度l0，即原长。 2.如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，得出弹簧的伸长量x1，将这些数据填入自己设计的表格中。 3.改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5。 1.操作:弹簧竖直悬挂，待钩码静止时测出弹簧长度。
2.作图:坐标轴标度要适中，单位要标注，连线时要使各数据点均匀分布在图线的两侧，明显偏离图线的点要舍去。
3.适量:弹簧下端所挂钩码不要太多以免伸长量超出弹性限度。
4.多测:要使用轻质弹簧尽可能多测几组数据。
5.统一:弹力及伸长量对应关系及单位应统一。
数据 处理 1.列表法:将实验数据填入表中，研究测量的数据，可发现在实验误差允许的范围内，弹力与弹簧伸长量的比值不变。 2.图像法:根据测量数据，在建好直角坐标系的坐标纸上描点。以弹簧的弹力F为纵轴，弹簧的伸长量x为横轴，根据描点的情况，作出一条经过原点的倾斜直线。
研透核心考点
2
考点二　创新拓展实验
考点一　教材原型实验
考点一　教材原型实验
作图处理数据的规则
(1)要在坐标轴上标明代表的物理量符号、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图像尽可能占满整个坐标图纸。若弹簧原长较长，则横坐标的起点可以不从零开始。
(2)作图线时，尽可能使直线通过较多的点，不在直线上的点也要尽可能均匀分布在直线的两侧(若有个别点偏离太远，则是因偶然误差太大所致，应舍去)。
(3)要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图像的斜率、截距的意义。
角度　　实验原理及操作
例1 (2025·安徽黄山高三期末)某同学在做探究弹力和弹簧伸长量的关系的实验中，设计了如图甲所示的实验装置。
(1)在实验中，以下说法正确的是　　　　(填正确答案标号)。
A.弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度
B.用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
C.用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
D.用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等
解析　弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度，否则弹簧会损坏，故A正确;用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，要保证弹簧位于竖直位置，使钩码的重力等于弹簧的弹力，要待钩码平衡时再读数，故B正确;弹簧的长度不等于弹簧的伸长量，伸长量等于弹簧的长度减去原长，故C错误;用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出每组的弹力与形变量之比不相等，故D错误。
答案　AB　
(2)如图乙所示，是探究某根弹簧的伸长量x与所受拉力F之间的关系图，由图可知，弹簧的劲度系数是　　　N/m。
解析　根据胡克定律F＝kx，可知图像的斜率等于弹簧的劲度系数，由图像求出弹簧的劲度系数为k＝ N/m＝300 N/m。
答案　300　
(3)该同学用此弹簧制作成一弹簧测力计，丙图所示为某次测力时的示数，指针位置表示力的大小为　　　　N。
解析　弹簧测力计的最小分度值为0.1 N，指针在1.7与1.8之间，故读数为1.75 N。
答案　1.75(1.73~1.77均对)
角度　　数据处理及误差分析
例2 (2025·湖南长沙模拟)某同学采用图甲所示装置探究弹簧弹力与伸长量的关系，安装好实验装置，让刻度尺与弹簧平行放置，弹簧下端连有水平指针。实验时，在弹簧下端逐个加挂钩码，静止时，记下钩码个数及指针所指刻度L，填入表格如下。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 25.85 27.84 29.65 31.78 33.9 36.02
请回答下列问题∶
(1)表中有一个数值记录不规范，这是挂　　　　个钩码时的读数。
解析　根据表格中数据可知，刻度尺的精度为0.1 cm，读数时，若单位为cm，则需要保留两位小数，可知表中挂5个钩码时的读数不规范。
答案　5　
(2)为减小误差，采用逐差法计算弹簧伸长量。利用ΔLn＝Ln＋3－Ln(n＝1，2，3)计算弹簧的伸长量，则有ΔL1＝5.93 cm，ΔL2＝6.06 cm，ΔL3＝6.37 cm，伸长量的平均值ΔL＝＝　　　　cm。
解析　伸长量的平均值ΔL＝ cm＝6.12 cm。
答案　6.12
(3)实验中，每个钩码的质量均为m＝50.0 g，g取9.8 m/s2，该弹簧的劲度系数为　　　　N/m(结果保留3位有效数字)。
解析　结合上述，采用逐差法计算弹簧伸长量。计算弹簧的伸长量是利用表达式ΔLn＝Ln＋3－Ln(n＝1，2，3)可知，该伸长量对应的弹力等于三个钩码的重力，根据胡克定律有3mg＝kΔL
结合上述解得k≈24.0 N/m。
答案　24.0　
(4)图乙是该同学根据另一次实验数据描绘的弹簧的伸长量ΔL与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
解析　图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是所挂钩码过多，导致弹簧超过了弹性限度。
答案　所挂钩码过多，导致弹簧超过了弹性限度
考点二　创新拓展实验
创新角度:实验装置的改进
装置时代化 求解智能化
1.弹力的获得:弹簧竖直悬挂，重物的重力作为弹簧的拉力，存在弹簧自重的影响→弹簧水平放置，重物的重力作为弹簧的拉力，消除了弹簧自重的影响
2.图像的获得:由坐标纸作图得F－x图像→由传感器和计算机输入数据直接得F－x图像
例3 (2025·四川内江一模)某实验小组利用如图所示的实验装置来测量橡皮绳的劲度系数k。将手机悬挂在橡皮绳下，用手机软件中的位移传感器，可以测量手机在竖直方向上的位移。该实验小组进行了如下主要的实验步骤:
a.将橡皮绳分别与手机和铁架台相连接，使手机重心和橡皮绳在同一竖直线上;
b.用手掌托着手机，使橡皮绳处于原长状态，打开手机中的位移传感器软件;
c.缓慢释放手机，当手机平衡时记录手机下降的高度x0;
d.在手机正下方悬挂不同个数的钩码，每个钩码的质量m＝50 g，缓慢释放，当钩码平衡时，记录下从橡皮绳原长开始下降的伸长量x;
e.重复上述d步操作;
f.作出悬挂钩码数量n及对应手机从橡皮绳原长开始下降的伸长量x的关系图像，如图所示。
根据n－x图像，回答以下问题:
(1)不挂钩码时，橡皮绳的伸长量为x0＝　　　　cm。
解析　根据图像可知不挂钩码时，橡皮绳的伸长量为x0＝1.5 cm。
答案　1.5　
(2)钩码个数n与橡皮绳从原长开始下降的伸长量x之间的函数关系式为n＝　　　　　　(用字母k、x、x0、m、g表示)。
解析　根据胡克定律有nmg＝k(x－x0)
整理得n＝x－。
答案　x－　
(3)该橡皮绳的劲度系数k＝　　　　N/m(g＝10 m/s2)。
解析　由图像可知，图线的斜率为k'＝＝2 cm－1
该橡皮绳的劲度系数k＝k'mg＝100 N/m。
答案　100
跟踪训练
某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下:先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个
钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数L0，数据如表所示，实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
n 1 2 3 4 5 6
Ln/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
(1)利用ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1，2，3)计算弹簧的压缩量:ΔL1＝6.03 cm，ΔL2＝6.08 cm，ΔL3＝　　　　cm，压缩量的平均值Δ＝　　　　cm。
解析　根据压缩量的变化量为ΔL3＝L6－L3＝(18.09－12.05) cm＝6.04 cm
压缩量的平均值为Δ cm＝6.05 cm。
答案　6.04 6.05
(2)上述Δ是管中增加　　　　个钢球时产生的弹簧平均压缩量。
解析　因三个ΔL是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量。
答案　3
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为　　　N/m(结果保留3位有效数字)。
解析　根据钢球的平衡条件有3mgsin θ＝k·Δ
解得k＝ N/m＝48.6 N/m。
答案　48.6
提升素养能力
3
1.(2024·河北邯郸模拟)某实验小组用压力传感器设计测量弹簧劲度系数的实验方案。如图所示，压力传感器放在水平地面上，一轻质弹簧下端与重物连接，上端与跨过定滑轮的轻绳连接，轻绳的另一端连着托盘。托盘中不放砝码时，传感器读数为F0，在托盘中放置n(n＝0，1，2，3，4，5)个砝码，对应弹簧长度的变化量为xn，传感器的读数为Fn，记录下相应的数据。
(1)数据处理时采用画F－x图像的方法，试分析该图像　　　　(选填“过”或“不过”)坐标原点，该图像的　　　　　　可表示弹簧的劲度系数。
(2)滑轮的摩擦力对实验结果　　　　(选填“产生”或“不产生”)影响。
答案　(1)不过　斜率绝对值　(2)不产生
解析　(1)弹簧中弹力的增加量kx＝F0－F，整理得F＝F0－kx，可知该图线是一条不过原点的直线;斜率的绝对值为弹簧的劲度系数。
(2)由表达式F＝F0－kx，可知滑轮的摩擦力不影响实验结果。
2.在探究弹力和弹簧伸长的关系时，某同学先按图(a)所示对弹簧甲进行探究，然后把等长的弹簧乙(直径小于甲)套在弹簧甲内，两弹簧悬挂在同一点按图(b)所示进行探究。在弹性限度内，将质量m＝50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，测得图(a)、图(b)中弹簧的长度L1、L2如下表所示。
已知重力加速度g＝9.8 m/s2，计算弹簧甲的劲度系数k1＝　　　　 N/m，弹簧乙的劲度系数k2＝　　　　N/m(结果保留3位有效数字)。
钩码个数 1 2 3 4
L1/cm 30.02 31.02 32.02 33.02
L2/cm 29.33 29.65 29.97 30.29
答案　49.0　104
解析　由表格中的数据可知，当弹力的变化量
ΔF＝mg＝0.05×9.8 N＝0.49 N时，弹簧甲的伸长量为
Δx1＝×[(33.02－32.02)＋(32.02－31.02)＋(31.02－30.02)] cm
＝1.00 cm
根据胡克定律知弹簧甲的劲度系数k1＝＝49.0 N/m
把弹簧甲和弹簧乙并联起来时弹簧的伸长量
Δx2＝×[(30.29－29.97)＋(29.97－29.65)＋(29.65－29.33)] cm＝0.32 cm
根据胡克定律知弹簧甲、乙合并后的劲度系数k＝＝153 N/m
根据k并＝k甲＋k乙，可计算出弹簧乙的劲度系数k乙＝153 N/m－49 N/m＝104 N/m。
3.(2025·河南信阳模拟)某同学用如图甲所示实验装置“探究弹簧的弹力与伸长量之间的关系”，实验时将弹簧a上端固定在铁架台的横杆上，弹簧a的右侧固定一刻度尺，记录不挂钩码时弹簧a的长度l0，在弹簧a下端悬挂不同质量的钩码，记录每次实验钩码的质量m及对应的弹簧a的长度l，重力加速度g取9.8 m/s2。
(1)由x＝l－l0求出每次弹簧a的伸长量x，根据测量数据作出x－m图像，如图乙所示中的图线A。由图线A可得弹簧a的劲度系数k＝　　　　N/m(结果保留2位有效数字)。由图像可以得出的结论是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
(2)该同学再用弹簧b重做实验，得到的x－m图像如图乙所示中的图线B，由图像可知，弹簧b的劲度系数　　　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)弹簧a的劲度系数。若继续增大悬挂钩码的质量，测得的数值绘出的图像发现向上弯曲，其原因是 　　　　　　　　　　　　 。
(3)若将a、b弹簧首尾相连串接在一起后悬挂在铁架台的横杆上，在最下端悬挂50 g的钩码，则稳定后，两根弹簧的总伸长量为　　　　cm。
答案　(1)49　在弹性限度内，弹簧的弹力与其伸长量成正比　(2)大于　弹簧超出了弹性限度　(3)1.6
解析　(1)由mg＝kx可得x＝m，结合图像得
m/kg＝0.2 m/kg，解得k＝49 N/m
由图像得到的结论是:在弹性限度内，弹簧的弹力
与其伸长量成正比。
(2)由x＝m可知，图像的斜率越小，对应弹簧的劲度系数越大，因此弹簧b的劲度系数大于弹簧a的劲度系数。图像向上弯曲的原因是弹簧超出了弹性限度。
(3)由图像可知，两根弹簧的总伸长量为1.6 cm。
4.(2025·海南海口模拟)在探究弹力与弹簧伸长量的关系、并测定弹簧的劲度系数的实验中，实验装置如图所示，所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力。实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度。
(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据描点在坐标图中，请作出F－L图线。
(2)由此图线可得出的结论是　　　　　　　　　，该弹簧的原长为L0＝　　　　cm，劲度系数k＝　　　　N/m。
(3)试根据以上该同学的实验情况，请你帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)。
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，
优点在于:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;
缺点在于:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)见解析图　(2)在弹性限度内，弹力和弹簧的伸长量成正比　10　25　(3)见解析　(4)避免弹簧自身所受重力对实验的影响　弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差
解析　(1)根据题意可知，应将题中给出的各点用直线连接，让各点均匀的分布在直线两侧，如图所示。
(2)此图像为一次函数图像，结合胡克定律可知，由此图线可得出的结论是在弹性限度内，弹力和弹簧的伸长量成正比。由图像可知，当F＝0时，此时L即为弹簧的原长，L0＝10 cm。此图像结合胡克定律可知，图像的斜率即为弹簧的劲度系数，即k＝ N/m＝25 N/m。
(3)实验记录数据表格如下:
次数 1 2 3 4 5 6
弹力F/N
弹簧的长度L/(×10－2 m)
(4)弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，优点在于避免弹簧自身所受重力对实验的影响;缺点在于弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差。
5.小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下:
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g。
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表:
序号 1 2 3 4 5
硬币数量n/枚 5 10 15 20 25
长度l/cm 10.51 12.02 13.54 15.05 16.56
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线。
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此时橡皮筋的长度为　　　　 cm。
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为　　　　 g(计算结果保留3位有效数字)。
答案　(3)见解析图　(4)15.35　(5)128
解析　(3)根据表格数据描点连线如图所示。
(4)由题图(c)可知刻度尺的分度值为1 mm，故读数为l＝15.35 cm。
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为l0，则
n1mg＝k(l1－l0)，n2mg＝k(l2－l0)
则橡皮筋的劲度系数为k＝
从作出的l－n图线读取数据可得k＝mg (N/cm)
l0＝＝9.00 cm
设冰墩墩的质量为m1，则有m1g＝k(l－l0)
可得m1＝×6.05×(15.35－9.00) g≈128 g。

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