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专题强化三　动态平衡　平衡中的临界与极值问题
学习目标　1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。
考点一　动态平衡问题
1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。
2.做题流程
方法　解析法
1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。
3.根据自变量的变化确定因变量的变化。
例1 (2025·河北保定一模)如图，质量为0.2 kg的小球A在水平力F作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g取10 m/s2。则以下说法正确的是(　　)
A.B对A的支持力大小为2 N
B.水平地面对B的摩擦力方向水平向右
C.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F减小
D.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，地面对B的支持力减小
答案　B
解析　对A受力分析，如图所示，根据平衡条件，B对A的支持力FN＝＝4 N，故A错误;对A、B整体受力分析，在水平方向，根据平衡条件，摩擦力与水平力F等大反向，即摩擦力水平向右，故B正确;对A受力分析，则F＝mgtan θ，增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F增大，故C错误;对A、B整体受力分析，在竖直方向，根据平衡条件，地面对B的支持力与A、B的重力二力平衡，大小相等，与θ角无关，即地面对B的支持力不变，故D错误。
方法　图解法
用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
例2 (2025·河北石家庄高三期末)如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是(　　)
A.B对A的作用力不变 B.墙对B的作用力不变
C.地面对A的摩擦力不变 D.地面对A的支持力不变
答案　D
解析　对物体B受力分析，受到重力mg、A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB，如图甲所示，当A向左移动后，A对B的支持力FNAB的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可知A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB都在不断减小，由牛顿第三定律可知B对A的作用力不断减小，故A、B错误;对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面的支持力FN、地面的摩擦力Ff和墙壁的弹力FN1，如图乙所示，根据平衡条件，有Ff＝FN1，FN＝G，故地面对A的支持力不变，地面对A的摩擦力Ff逐渐减小，故C错误，D正确。
方法　相似三角形法
物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
例3 (多选)(2025·江西鹰潭模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　)
A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝
B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝
C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小
D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大
答案　AC
解析　对小球受力分析如图所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图所示闭合三角形。由图可知力的三角形与几何三角形△AOO'相似，则有，得FN＝，FT＝，故A正确，B错误;缓慢地拉绳，小球由A到B的过程中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，由上式可知，FN不变，FT变小，故C正确，D错误。
方法　矢量圆法(正弦定理法)
1.矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
2.正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。
例4 (2025·山东烟台高三期末)一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心О点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中(　　)
A.AO绳中的拉力一直增大 B.AO绳中最大拉力为2mg
C.BO绳中的拉力先减小后增大 D.BO绳中最小拉力为mg
答案　B
解析　物体始终保持静止，合力为零，由于重力不变，以及F1和F2的夹角α＝150°不变，β＝30°，则mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，可知在AO绳由水平转动至竖直的过程中，AO绳中的拉力F1先增大后减小，BO绳中的拉力F2一直减小，故A、C错误;当F1为直径时，F1最大，则AO绳中最大拉力为F1m＝＝2mg，故B正确;在AO绳竖直时，BO绳中拉力最小，为零，故D错误。
方法总结　动态平衡模型分析方法
矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定 水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大 挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小
相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似
辅助圆法: (1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。 (2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定 正弦定理
考点二　平衡中的临界与极值问题
1.临界、极值问题特征
(1)临界问题:当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
常见的临界状态有:
①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
③刚好离开接触面，支持力FN＝0。
(2)极值问题:平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
2.解决临界和极值问题的三种方法
极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析 法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
物理 分析 法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
例5 (2025·山东临沂模拟)如图所示，半径均为R的光滑球和不光滑的半球由同种材料制成的，球和半球放置在竖直墙壁的左侧。当半球的球心到竖直墙壁的距离大于2.2R时，半球将向左滑动。当半球球心到墙壁的距离为L时，即使给球体向下沿通过球心的竖直方向施加的力再大，半球和球始终保持静止，则L的最大值为(　　)
A.R B.R
C.R D.R
答案　D
解析　设半球质量为m，则光滑球质量为2m，对光滑球和不光滑的半球受力分析，如图所示，当半球的球心到竖直墙壁的距离为2.2R时，由几何关系，有sin θ＝＝0.6，对整体，根据平衡条件可得Ff＝FN2＝2mgtan θ，FN3＝mg＋2mg，又Ff＝μFN3，联立解得μ＝0.5。给球体向下沿通过球心的竖直方向施加力，半球和球始终保持静止，需要满足(F＋2mg)tan α≤μ(mg＋F＋2mg)，即tan α≤μ，当半球球心到墙壁的距离为最大值L时，有tan α＝μ，由几何关系，有L＝2Rsin α＋R，联立解得L＝R，故D正确。
跟踪训练
如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力和B与木板间的摩擦力均达到最大静摩擦力，隔离A分析受力，由平衡条件可得F＝FfAB＋mgsin 45°，FNA＝mgcos 45°，FfAB＝μFNA，对A、B整体，由平衡条件可得2F＝3mgsin 45°－Ff，FN＝3mgcos 45°，Ff＝μFN，联立解得μ＝，选项C正确。
A级　基础对点练
对点练1　动态平衡问题
1.(2025·天津南开一模)千斤顶在汽车维修、地震救灾中经常用到。如图所示是剪式(菱形)千斤顶，当摇动把手时，螺纹杆迫使A、B间距离变小，千斤顶的两臂靠拢(螺旋杆始终保持水平)，从而将重物缓慢顶起。若物重为G，AB与AC间的夹角为θ，不计千斤顶杆件自重，下列说法正确的是(　　)
A.AC、BC两杆受到的弹力大小均为
B.当θ＝60°时，AC、BC两杆受到的弹力大小均为G
C.摇动把手将重物缓慢顶起的过程，AC、BC杆受到的弹力将减小
D.摇动把手将重物缓慢顶起的过程，重物受到的支持力将增大
答案　C
解析　设AC、BC两杆受到的弹力大小均为F，由平衡条件及几何关系有2Fcos＝G，解得F＝，故A错误;当θ＝60°时，AC、BC两杆受到的弹力大小均为F＝G，故B错误;摇动把手将重物缓慢顶起的过程，θ增大，sin θ增大，则F减小，故C正确;摇动把手将重物缓慢顶起的过程，重物所受合力为零，则重物受到的支持力大小一直等于重物重力的大小，保持不变，故D错误。
2.(2025·山东济南模拟)如图所示，某款手机支架由L形挡板和底座构成，挡板使用一体成型材料制成，其AB、BC部分相互垂直，可绕O点的轴在竖直面内自由调节，AB、BC部分对手机的弹力分别为F1和F2(不计手机与挡板间的摩擦)，在L形挡板AB部分由图示位置顺时针缓慢转至水平的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.F1逐渐增大，F2逐渐减小 B.F1逐渐减小，F2逐渐增大
C.支架对手机的作用力逐渐增大 D.支架对手机的作用力先增大后减小
答案　A
解析　对手机受力分析，如图所示，F1与F2分别是AB与BC对手机的弹力，两力的合力F12竖直向上与重力平衡，F1始终垂直于AB，F2始终垂直BC，在支架顺时针缓慢转至AB水平的过程中，F1与F2之间的夹角不变，两者的合力F12不变，即支架对手机的作用力始终与手机的重力大小相等，方向相反，该过程中F1一直增大，F2一直减小，故A正确。
3.(2024·四川遂宁模拟)如图所示，轻绳一端固定于天花板上的O点，另一端系于质量为m的三角板abc上的a点，水平拉力F作用于三角板上的c点，当三角板静止时，轻绳与竖直方向夹角为30°。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.轻绳拉力大小为mg
B.外力F大小为mg
C.若保持轻绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，则外力F先增大后减小
D.若保持外力F的方向不变，使轻绳绕O点逆时针缓慢转动，则轻绳的拉力先增大后减小
答案　A
解析　根据题意，对三角板受力分析，受重力mg、轻绳的拉力FT和水平拉力F，如图甲所示，由平衡条件有FTsin 30°＝F，FTcos 30°＝mg，解得FT＝mg，F＝mg，故A正确，B错误;若保持轻绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，如图乙所示，可知，外力F先减小后增大，故C错误;若保持外力F的方向不变，使轻绳绕O点逆时针缓慢转动，轻绳与竖直方向的夹角α逐渐增大，由平衡条件有FTcos α＝mg，可得FT＝，可知，轻绳的拉力逐渐增大，故D错误。
4.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小
C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小
答案　C
解析　小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由三角形相似，得，当小球上移过程中，半径R不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确。
5.(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)
A.F1逐渐增大
B.F2先增大再减小
C.F1与F2的水平分量大小相等
D.F1与F2的竖直分量大小相等
答案　AC
解析　小球始终保持静止，所受合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小，故A正确，B错误;F1与F2的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。
对点练2　平衡中的临界与极值问题
6.(2024·浙江金华模拟)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧靠着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的动摩擦因数最小。对整体分析有FN＝2mg，Ff＝F板，设O1O2与水平面的夹角为θ，对甲受力分析，由平衡条件得F板＝，联立解得Ff＝，可知θ越小，Ff越大，由几何关系得，θ最小为30°，则Ff＝＝μFN＝μ·2mg，解得μ＝，故A正确。
7.(2025·重庆高三期末)如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加外力F，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.AC绳的拉力为mg B.CD绳的拉力为mg
C.外力F的最小值为mg D.外力F的最小值为mg
答案　D
解析　令AC绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有sin θ＝，解得θ＝30°，对C点与重物进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有TACcos θ＝mg，TACsin θ＝TCD，解得TAC＝mg，TCD＝mg，故A、B错误;对D点进行受力分析，作出矢量动态三角形如图乙所示，可知，当外力F方向与绳BD垂直时，外力F最小，则有Fmin＝TCDcos θ＝mg，故C错误，D正确。
8.如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　对光滑球体受力分析如图甲所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图乙所示，根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故D正确。
B级　综合提升练
9.(2025·辽宁一模)如图所示，轻杆AC和轻杆BC的一端用光滑铰链连接在C点，另一端用光滑铰链分别固定在竖直墙壁上，将一物块通过细线连接在C点并保持静止状态。若对C端施加一水平向右的作用力F，则下列说法正确的是(　　)
A.轻杆AC中的弹力一定变大
B.轻杆AC中的弹力可能减小
C.轻杆BC中的弹力一定变大
D.轻杆BC中的弹力一定减小
答案　A
解析　对C点受力分析如图所示，由三角形定则可知，重力mg、轻杆AC的拉力TAC以及轻杆BC的支持力TBC组成封闭的三角形;若加水平力F，C点仍平衡，则此时四个力组成封闭的四边形，TAC和重力mg方向不变，TBC方向仍与原来平行，则随F的增加，TAC一定增加，TBC先减小，当减到零后反向增加，故A正确。
10.(2025·山东济南一模)抖空竹是国家非物质文化遗产之一、在某次抖空竹表演时，表演者的左右手所持杆和空竹位置如图所示，此时左手高于右手，轻绳两端位置之间的连线与水平方向成θ角，空竹悬挂在轻绳上。现保持右手所持杆水平且位置不动，只人为改变一个条件，始终保持空竹处于平衡状态，不考虑空竹的转动及轻绳与空竹之间的摩擦，下列说法正确的是(　　)
A.若更换为更长的轻绳，绳子的拉力将变小
B.若更换为更长的轻绳，绳子的拉力将不变
C.若使左手持杆缓慢竖直向下移动至θ＝0°的过程中，绳子拉力逐渐变小
D.若使左手持杆顺时针缓慢以右杆为圆心画圆弧移动至θ＝0°的过程中，绳子拉力逐渐变小
答案　A
解析　设两段绳子之间的夹角为2α，由平衡条件可知2Fcos α＝mg，解得F＝，设绳子的总长度为L，两杆之间的水平距离为s，悬挂点两边的绳子长度分别为L1、L2，由几何关系知L1sin α＋L2sin α＝s，解得sin α＝。若更换为更长的轻绳，L变大，α变小，cos α变大，所以绳子的拉力变小，故A正确，B错误;左手持杆缓慢竖直向下移动过程中，L、s都不变，则α不变，所以绳子的拉力不变，故C错误;左手持杆顺时针缓慢以右杆为圆心画圆弧移动，s变大，则α变大，cos α变小，绳子拉力变大，故D错误。
11.(2025·山东泰安模拟)如图所示，斜面静止在水平地面上，斜面顶端装有光滑定滑轮O，轻绳跨过滑轮一端连接斜面上的物块M，另一端竖直悬挂物块N，两物块均处于静止状态。现在ON间的某点Q施加与细绳OQ段始终垂直的外力F，使N缓慢上升，直到OQ处于水平，该过程中斜面和物块M始终静止，则此过程中(　　)
A.外力F先增大后减小
B.OQ段绳子拉力逐渐增大
C.物块M所受摩擦力一直增大
D.斜面受到地面的摩擦力先增大后减小
答案　D
解析　设OQ段绳子拉力为T，与竖直方向的夹角为θ，对Q点受力分析如图所示，由正弦定理知，即＝mg，θ由0°逐渐增大到90°过程中，sin θ一直增大，cos θ一直减小，则F一直增大，FT一直减小，故A、B错误;由于刚开始物块M所受摩擦力方向不确定，当摩擦力沿斜面向上时，随着FT的减小，摩擦力不断增大;当摩擦力沿斜面向下时，随着FT的减小，摩擦力不断减小接着反向增大，故C错误;把物块M与斜面视为整体，整体受到地面的摩擦力Ff＝FTsin θ＝mgsin 2θ，θ由0°逐渐增大到90°的过程中，Ff先增大后减小，故D正确。
C级　培优加强练
12.如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(　　)
A.轻绳的合拉力大小为
B.轻绳的合拉力大小为
C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
答案　B
解析　设轻绳的合拉力为FT，地面对石墩的支持力为FN，对石墩受力分析，由平衡条件可知FTcos θ＝Ff，Ff＝μFN，FTsin θ＋FN＝mg，联立解得FT＝，A错误，B正确;轻绳的合拉力大小为FT＝，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，则减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C错误;摩擦力大小为Ff＝FTcos θ＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。(共50张PPT)
专题强化三　动态平衡　平衡中的临界与极值问题
第二章　相互作用——力
1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。
学习目标
目 录
CONTENTS
考点
01
提升素养能力
02
考点
1
考点二　平衡中的临界与极值问题
考点一　动态平衡问题
1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。
考点一　动态平衡问题
2.做题流程
方法 　解析法
1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。
3.根据自变量的变化确定因变量的变化。
例1 (2025·河北保定一模)如图，质量为0.2 kg的小球A在水平力F作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g取10 m/s2。则以下说法正确的是(　　)
B
A.B对A的支持力大小为2 N
B.水平地面对B的摩擦力方向水平向右
C.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F减小
D.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，地面对B的支持力减小
解析　对A受力分析，如图所示，根据平衡条件，B对A的支持力FN＝＝4 N，故A错误;对A、B整体受力分析，在水平方向，根据平衡条件，摩擦力与水平力F等大反向，即摩擦力水平向右，故B正确;对A受力分析，则F＝mgtan θ，增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F增大，故C错误;对A、B整体受力分析，在竖直方向，根据平衡条件，地面对B的支持力与A、B的重力二力平衡，大小相等，与θ角无关，即地面对B的支持力不变，故D错误。
方法 　图解法
用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
例2 (2025·河北石家庄高三期末)如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是(　　)
D
A.B对A的作用力不变 B.墙对B的作用力不变
C.地面对A的摩擦力不变 D.地面对A的支持力不变
解析　对物体B受力分析，受到重力mg、A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB，如图甲所示，当A向左移动后，A对B的支持力FNAB的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可知A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB都在不断减小，由牛顿第三定律可知B对A的作用力不断减小，故A、B错误;对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面的支持力FN、地面的摩擦力Ff和墙壁的弹力FN1，如图乙所示，根据平衡条件，有Ff＝FN1，FN＝G，故地面对A的支持力不变，地面对A的摩擦力Ff逐渐减小，故C错误，D正确。
方法 　相似三角形法
物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
C
例3 (多选)(2025·江西鹰潭模拟)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　)
A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝
B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝
C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小
D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大
AC
解析　对小球受力分析如图所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图所示闭合三角形。由图可知力的三角形与几何三角形△AOO'相似，则有，得FN＝，FT＝，故A正确，B错误;缓慢地拉绳，小球由A到B的过程中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，由上式可知，FN不变，FT变小，故C正确，D错误。
1.矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
方法　 矢量圆法(正弦定理法)
2.正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。
例4 (2025·山东烟台高三期末)一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心О点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中(　　)
A.AO绳中的拉力一直增大 B.AO绳中最大拉力为2mg
C.BO绳中的拉力先减小后增大 D.BO绳中最小拉力为mg
B
解析　物体始终保持静止，合力为零，由于重力不变，以及F1和F2的夹角α＝150°不变，β＝30°，则mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，可知在AO绳由水平转动至竖直的过程中，AO绳中的拉力F1先增大后减小，BO绳中的拉力F2一直减小，故A、C错误;当F1为直径时，F1最大，则AO绳中最大拉力为F1m＝＝2mg，故B正确;在AO绳竖直时，BO绳中拉力最小，为零，故D错误。
方法总结　动态平衡模型分析方法
矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定
水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大
挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小
相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似
辅助圆法: (1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。 (2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定
正弦定理
1.临界、极值问题特征
考点二　平衡中的临界与极值问题
(1)临界问题:当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
常见的临界状态有:
①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
③刚好离开接触面，支持力FN＝0。
(2)极值问题:平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
2.解决临界和极值问题的三种方法
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
物理 分析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
例5 (2025·山东临沂模拟)如图所示，半径均为R的光滑球和不光滑的半球由同种材料制成的，球和半球放置在竖直墙壁的左侧。当半球的球心到竖直墙壁的距离大于2.2R时，半球将向左滑动。当半球球心到墙壁的距离为L时，即使给球体向下沿通过球心的竖直方向施加的力再大，半球和球始终保持静止，则L的最大值为(　　)
D
A.R B.R
C.R D.R
解析　设半球质量为m，则光滑球质量为2m，对光滑球和不
光滑的半球受力分析，如图所示，当半球的球心到竖直墙壁
的距离为2.2R时，由几何关系，有sin θ＝＝0.6，对整体，
根据平衡条件可得Ff＝FN2＝2mgtan θ，FN3＝mg＋2mg，又Ff＝
μFN3，联立解得μ＝0.5。给球体向下沿通过球心的竖直方向施加力，半球和球始终保持静止，需要满足(F＋2mg)tan α≤μ(mg＋F＋2mg)，即tan α≤μ，当半球球心到墙壁的距离为最大值L时，有tan α＝μ，由几何关系，有L＝2Rsin α＋R，联立解得L＝R，故D正确。
跟踪训练
如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　)
A. B. C. D.
C
解析　根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力和B与木板间的摩擦力均达到最大静摩擦力，隔离A分析受力，由平衡条件可得F＝FfAB＋mgsin 45°，FNA＝mgcos 45°，FfAB＝μFNA，对A、B整体，由平衡条件可得2F＝3mgsin 45°－Ff，FN＝3mgcos 45°，Ff＝μFN，联立解得μ＝，选项C正确。
提升素养能力
2
A级　基础对点练
C
对点练1　动态平衡问题
1.(2025·天津南开一模)千斤顶在汽车维修、地震救灾中经常用到。如图所示是剪式(菱形)千斤顶，当摇动把手时，螺纹杆迫使A、B间距离变小，千斤顶的两臂靠拢(螺旋杆始终保持水平)，从而将重物缓慢顶起。若物重为G，AB与AC间的夹角为θ，不计千斤顶杆件自重，下列说法正确的是(　　)
A.AC、BC两杆受到的弹力大小均为
B.当θ＝60°时，AC、BC两杆受到的弹力大小均为G
C.摇动把手将重物缓慢顶起的过程，AC、BC杆受到的弹力将减小
D.摇动把手将重物缓慢顶起的过程，重物受到的支持力将增大
解析　设AC、BC两杆受到的弹力大小均为F，由平衡条件及几何关系有2Fcos＝G，解得F＝，故A错误;当θ＝60°时，AC、BC两杆受到的弹力大小均为F＝G，故B错误;摇动把手将重物缓慢顶起的过程，θ增大，sin θ增大，则F减小，故C正确;摇动把手将重物缓慢顶起的过程，重物所受合力为零，则重物受到的支持力大小一直等于重物重力的大小，保持不变，故D错误。
A
2.(2025·山东济南模拟)如图所示，某款手机支架由L形挡板和底座构成，挡板使用一体成型材料制成，其AB、BC部分相互垂直，可绕O点的轴在竖直面内自由调节，AB、BC部分对手机的弹力分别为F1和F2(不计手机与挡板间的摩擦)，在L形挡板AB部分由图示位置顺时针缓慢转至水平的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.F1逐渐增大，F2逐渐减小 B.F1逐渐减小，F2逐渐增大
C.支架对手机的作用力逐渐增大 D.支架对手机的作用力先增大后减小
解析　对手机受力分析，如图所示，F1与F2分别是AB与BC对手机的弹力，两力的合力F12竖直向上与重力平衡，F1始终垂直于AB，F2始终垂直BC，在支架顺时针缓慢转至AB水平的过程中，F1与F2之间的夹角不变，两者的合力F12不变，即支架对手机的作用力始终与手机的重力大小相等，方向相反，该过程中F1一直增大，F2一直减小，故A正确。
A
3.(2024·四川遂宁模拟)如图所示，轻绳一端固定于天花板上的O点，另一端系于质量为m的三角板abc上的a点，水平拉力F作用于三角板上的c点，当三角板静止时，轻绳与竖直方向夹角为30°。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.轻绳拉力大小为mg
B.外力F大小为mg
C.若保持轻绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，则外力F先增大后减小
D.若保持外力F的方向不变，使轻绳绕O点逆时针缓慢转动，则轻绳的拉力先增大后减小
解析　根据题意，对三角板受力分析，受重力mg、轻绳的拉力FT和水平拉力F，如图甲所示，由平衡条件有FTsin 30°＝F，FTcos 30°＝mg，解得FT＝mg，F＝mg，故A正确，B错误;若保持轻绳拉力方向不变，使外力F逆时针缓慢转动，如图乙所示，可知，外力F先减小后增大，故C错误;若保持外力F的方向不变，使轻绳绕O点逆时针缓慢转动，轻绳与竖直方向的夹角α逐渐增大，由平衡条件有FTcos α＝mg，可得FT＝，可知，轻绳的拉力逐渐增大，故D错误。
C
4.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小
C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小
解析　小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由三角形相似，得，当小球上移过程中，半径R不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确。
AC
5.(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)
A.F1逐渐增大
B.F2先增大再减小
C.F1与F2的水平分量大小相等
D.F1与F2的竖直分量大小相等
解析　小球始终保持静止，所受合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小，故A正确，B错误;F1与F2的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。
A
对点练2　平衡中的临界与极值问题
6.(2024·浙江金华模拟)如图所示，甲、乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧靠着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的动摩擦因数最小。对整体分析有FN＝2mg，Ff＝F板，设O1O2与水平面的夹角为θ，对甲受力分析，由平衡条件得F板＝，联立解得Ff＝，可知θ越小，Ff越大，由几何关系得，θ最小为30°，则Ff＝＝μFN＝μ·2mg，解得μ＝，故A正确。
D
7.(2025·重庆高三期末)如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加外力F，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.AC绳的拉力为mg B.CD绳的拉力为mg
C.外力F的最小值为mg D.外力F的最小值为mg
解析　令AC绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有sin θ＝，解得θ＝30°，对C点与重物进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有TACcos θ＝mg，TACsin θ＝TCD，解得TAC＝mg，TCD＝mg，故A、B错误;对D点进行受力分析，作出矢量动态三角形如图乙所示，可知，当外力F方向与绳BD垂直时，外力F最小，则有Fmin＝TCDcos θ＝mg，故C错误，D正确。
D
8.如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B. C. D.
解析　对光滑球体受力分析如图甲所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图乙所示，根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故D正确。
B级　综合提升练
A
9.(2025·辽宁一模)如图所示，轻杆AC和轻杆BC的一端用光滑铰链连接在C点，另一端用光滑铰链分别固定在竖直墙壁上，将一物块通过细线连接在C点并保持静止状态。若对C端施加一水平向右的作用力F，则下列说法正确的是(　　)
A.轻杆AC中的弹力一定变大
B.轻杆AC中的弹力可能减小
C.轻杆BC中的弹力一定变大
D.轻杆BC中的弹力一定减小
解析　对C点受力分析如图所示，由三角形定则可知，重力mg、轻杆AC的拉力TAC以及轻杆BC的支持力TBC组成封闭的三角形;若加水平力F，C点仍平衡，则此时四个力组成封闭的四边形，TAC和重力mg方向不变，TBC方向仍与原来平行，则随F的增加，TAC一定增加，TBC先减小，当减到零后反向增加，故A正确。
A
10.(2025·山东济南一模)抖空竹是国家非物质文化遗产之一、在某次抖空竹表演时，表演者的左右手所持杆和空竹位置如图所示，此时左手高于右手，轻绳两端位置之间的连线与水平方向成θ角，空竹悬挂在轻绳上。现保持右手所持杆水平且位置不动，只人为改变一个条件，始终保持空竹处于平衡状态，不考虑空竹的转动及轻绳与空竹之间的摩擦，下列说法正确的是(　　)
A.若更换为更长的轻绳，绳子的拉力将变小
B.若更换为更长的轻绳，绳子的拉力将不变
C.若使左手持杆缓慢竖直向下移动至θ＝0°的过程中，绳子拉力逐渐变小
D.若使左手持杆顺时针缓慢以右杆为圆心画圆弧移动至θ＝0°的过程中，绳子拉力逐渐变小
解析　设两段绳子之间的夹角为2α，由平衡条件可知2Fcos α＝mg，解得F＝，设绳子的总长度为L，两杆之间的水平距离为s，悬挂点两边的绳子长度分别为L1、L2，由几何关系知L1sin α＋L2sin α＝s，解得sin α＝。若更换为更长的轻绳，L变大，α变小，cos α变大，所以绳子的拉力变小，故A正确，B错误;左手持杆缓慢竖直向下移动过程中，L、s都不变，则α不变，所以绳子的拉力不变，故C错误;左手持杆顺时针缓慢以右杆为圆心画圆弧移动，s变大，则α变大，cos α变小，绳子拉力变大，故D错误。
D
11.(2025·山东泰安模拟)如图所示，斜面静止在水平地面上，斜面顶端装有光滑定滑轮O，轻绳跨过滑轮一端连接斜面上的物块M，另一端竖直悬挂物块N，两物块均处于静止状态。现在ON间的某点Q施加与细绳OQ段始终垂直的外力F，使N缓慢上升，直到OQ处于水平，该过程中斜面和物块M始终静止，则此过程中(　　)
A.外力F先增大后减小
B.OQ段绳子拉力逐渐增大
C.物块M所受摩擦力一直增大
D.斜面受到地面的摩擦力先增大后减小
解析　设OQ段绳子拉力为T，与竖直方向的夹角为θ，对Q点受力分析如图所示，由正弦定理知，即＝mg，θ由0°逐渐增大到90°过程
中，sin θ一直增大，cos θ一直减小，则F一直增大，FT一直减小，故A、B错误;由于刚开始物块M所受摩擦力方向不确定，当摩擦力沿斜面向上时，随着FT的减小，摩擦力不断增大;当摩擦力沿斜面向下时，随着FT的减小，摩擦力不断减小接着反向增大，故C错误;把物块M与斜面视为整体，整体受到地面的摩擦力Ff＝FTsin θ＝mgsin 2θ，θ由0°逐渐增大到90°的过程中，Ff先增大后减小，故D正确。
B
12.如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(　　)
C级　培优加强练
A.轻绳的合拉力大小为
B.轻绳的合拉力大小为
C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
解析　设轻绳的合拉力为FT，地面对石墩的支持力为FN，
对石墩受力分析，由平衡条件可知FTcos θ＝Ff，Ff＝μFN，
FTsin θ＋FN＝mg，联立解得FT＝，A错误，B正确;
轻绳的合拉力大小为FT＝，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，则减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C错误;摩擦力大小为Ff＝FTcos θ＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。

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