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实验四　探究加速度与物体受力、物体质量的关系
原理装置图 操作要求 注意事项
1.控制变量法 (1)保持小车质量不变，探究加速度与合力的关系。 (2)保持小车所受合力不变，探究加速度与质量的关系。 2.改变小车质量M或槽码质量m时，无需重新平衡阻力。 3.使用力传感器或弹簧测力计可测出细绳拉力时，无需满足M m。 1.用天平测量槽码的质量m和小车的质量M。 2.根据设计要求安装实验装置，只是不把悬挂槽码的细绳系在小车上。 3.在长木板不带定滑轮的一端下面垫上一块薄木块，使小车能匀速下滑。 4.槽码通过细绳绕过定滑轮系于小车上，接通电源后放开小车，断开电源取下纸带，编写号码，保持小车质量M不变，改变槽码质量m，重复实验得到纸带;保持槽码的质量m不变，改变小车的质量M，重复实验得到纸带。 1.平衡阻力:平衡阻力时，不要把悬挂槽码的细绳系在小车上，让小车连着纸带匀速运动。 2.质量:槽码质量m远小于小车质量M。 3.平行:使细绳与长木板平行。 4.靠近:小车从靠近打点计时器的位置释放。 5.先后:实验时先接通电源后释放小车。
1.利用Δx＝aT2及逐差法求a。 2.以a为纵坐标，F为横坐标，描点、画线，如果该线为过原点的直线，说明a与F成正比。 3.以a为纵坐标，为横坐标，描点、画线，如果该线为过原点的直线，就能判定a与M成反比。
考点一　教材原型实验
例1 (2024·浙江1月选考，16Ⅰ)如图甲所示是“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置。
　　　　　　　　　　　　　　　
(1)该实验中同时研究三个物理量间关系是很困难的，因此我们采用的研究方法是　　　　。
A.放大法 B.控制变量法
C.补偿法
(2)该实验过程中操作正确的是　　　　。
A.平衡阻力时小车未连接纸带
B.先接通打点计时器电源，后释放小车
C.调节滑轮高度使细绳与水平桌面平行
(3)在小车质量　　　　(选填“远大于”或“远小于”)槽码质量时，可以认为细绳拉力近似等于槽码的重力。上述做法引起的误差为　　　　(选填“偶然误差”或“系统误差”)。为减小此误差，下列可行的方案是　　　　。
A.用气垫导轨代替普通导轨，滑块代替小车
B.在小车上加装遮光条，用光电计时系统代替打点计时器
C.在小车与细绳之间加装力传感器，测出小车所受拉力大小
(4)经正确操作后获得一条如图乙所示的纸带，建立以计数点0为坐标原点的x轴，各计数点的位置坐标分别为0、x1、…、x6。已知打点计时器的打点周期为T，则打计数点5时小车速度的表达式v＝　　　　;小车加速度的表达式是　　　　(选填正确选项前的字母)。
A.a＝ B.a＝
C.a＝
答案　(1)B　(2)B　(3)远大于　系统误差　C　(4)　A
解析　(1)该实验中同时研究三个物理量间关系是很困难的，因此我们可以控制其中一个物理量不变，研究另外两个物理量之间的关系，即采用了控制变量法，故B正确。
(2)平衡阻力时小车需要连接纸带，通过纸带上的点间距判断小车是否在长木板上做匀速直线运动，故A错误;由于小车速度较快，且运动距离有限，打出的纸带长度也有限，为了能在纸带上尽可能多地获取计数点，实验时应先接通打点计时器电源，后释放小车，故B正确;为使小车所受拉力与速度同向，应调节滑轮高度使细绳与长木板平行，故C错误。
(3)设小车质量为M，槽码质量为m，根据牛顿第二定律分别对小车和槽码有F＝Ma，mg－F＝ma，联立解得F＝，可知在小车质量远大于槽码质量时，可以认为细绳拉力近似等于槽码的重力;上述做法引起的误差是由于实验方法或原理不完善造成的，属于系统误差;该误差是将细绳拉力用槽码重力近似替代所引入的，不是由于车与木板间存在阻力(实验中已经平衡了阻力)或是速度测量精度低造成的，为减小此误差，可在小车与细绳之间加装力传感器，测出小车所受拉力大小，故C正确。
(4)相邻两计数点间的时间间隔为t＝5T，打计数点5时小车速度的表达式为v＝;根据逐差法可得小车加速度的表达式是a＝，故A正确。
跟踪训练
1.用如图甲所示的装置“探究小车的加速度与小车受力、小车质量的关系”的实验。
(1)除了图中所给器材以及交流电源和导线外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是　　　　(选填正确选项的字母)。
A.秒表 B.天平(含砝码)
C.弹簧测力计 D.刻度尺
(2)实验前平衡阻力的做法是:把实验器材安装好，先不挂沙桶，将小车放在木板上，后面固定一条纸带，纸带穿过打点计时器。用垫块把木板不带滑轮一端垫高，接通打点计时器，让小车以一定初速度沿木板向下运动，并不断调节木板的倾斜度，直到小车拖动纸带沿木板做　　　　　　运动。
(3)为使沙桶和沙的总重力在数值上近似等于小车运动时受到的拉力，需满足的条件是沙桶及沙的总质量　　　　小车的总质量(选填“远大于”“远小于”或“近似等于”)。
(4)实验中打出的一条纸带的一部分如图乙所示。纸带上标出了连续的3个计数点A、B、C，相邻计数点之间还有4个点没有标出。打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源上。则打点计时器打B点时，小车的速度vB＝　　　　m/s。多测几个点的速度作出v－t图像，就可以算出小车的加速度。
(5)为研究加速度和力的关系，要保证　　　　的总质量不变，改变沙桶内沙的质量，重复做几次实验，通过实验数据来研究加速度和力的关系。
(6)在研究加速度与力的关系时，该同学根据实验数据作出的a－F图像如图丙所示，发现该图线不通过坐标原点且BC段明显偏离直线，分析其产生的原因，下列说法正确的是　　　　。
A.不通过坐标原点可能是因为平衡阻力不足
B.不通过坐标原点可能是因为平衡阻力过度
C.图线BC段弯曲可能是沙桶及沙的总质量未满足远小于小车总质量的条件
D.图线BC段弯曲可能是沙桶及沙的总质量未满足远大于小车总质量的条件
(7)在探究加速度与质量的关系时，要保证沙和沙桶的质量不变。若沙和沙桶的质量m与小车的总质量M间的关系不满足第(3)问题中的条件，且已正确平衡阻力，由实验数据作出a－图线，则图线应如图中的　　　　所示(选填正确选项的字母)。
答案　(1)BD　(2)匀速直线　(3)远小于　(4)0.44 (5)小车　(6)AC　(7)C
解析　(1)利用天平测量质量，利用打点计时器可以计时，打出的纸带需测量长度求加速度，所以还需要天平和刻度尺，A、C错误，B、D正确。
(2)平衡阻力时应使小车拖动纸带在木板上做匀速直线运动。
(3)为了使沙桶及沙的重力在数值上近似等于小车运动时受到的拉力，需要使沙桶及沙的总质量远小于小车的总质量。
(4)由某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间运动过程的平均速度，可得
vB＝ m/s＝0.44 m/s。
(5)探究加速度与力的关系时，需要保持小车的总质量不变。
(6)从题图丙可以看出，图像不过原点，即当F为某一值时，但加速度却为零，所以是未平衡阻力或补偿阻力不足，故A正确，B错误;随着拉力F增大(即沙桶及沙的重力增大)，已经不满足沙桶及沙的总质量远小于小车总质量的条件，造成BC段弯曲，故C正确，D错误。
(7)在探究加速度与质量的关系时，由于补偿了阻力，所以图像过原点，且分别对小车和沙桶及沙受力分析，由牛顿第二定律可得T＝Ma，mg－T＝ma，联立解得mg＝(M＋m)a，整理得a＝，因为保证了沙和沙桶的质量不变，所以由实验数据作出a－图线，不会发生弯曲，故选C。
考点二　创新拓展实验
　　　　　　　　　　　　　　　　
创新角度 实验举例
实验 器材 创新 位移传感器，速度传感器，拉力传感器，气垫导轨，光电门
实验 原理 创新 挂上托盘和砝码，改变木板的倾角，使质量为M的小车拖着纸带沿木板匀速下滑，取下托盘和砝码，测出其总质量为m，让小车沿木板下滑，可知小车所受合力为mg。改变砝码质量，多次重复实验探究加速度与物体受力的关系。
实验 目的 创新 (1)求出物块通过两光电门的速度，由＝2ax得出物块的加速度 (2)结合牛顿第二定律，由mg－μMg＝(M＋m)a得出物块与水平桌面间的动摩擦因数
角度　改进测量力的方案
拉力传感器、弹簧测力计“近似等于小盘和砝码的总重力”，因此不需要满足m M。
例2 (2025·湖南师大附中开学考试)图甲为“探究加速度与物体所受合外力关系”的实验装置，实验中所用小车的质量为M，重物的质量为m，实验时改变重物的质量，记下测力计对应的读数F。
(1)实验过程中，　　　　　(填“需要”或“不需要”)满足M m。
(2)实验过程中得到如图乙所示的纸带，已知所用交流电的频率为50 Hz。其中A、B、C、D、E为五个计数点，相邻两个计数点之间还有4个点没有标出，根据纸带提供的数据，可求出小车加速度的大小为　　　　m/s2(计算结果保留3位有效数字)。
(3)当重物质量合适时，小车做匀速运动，此时测力计的读数为F0。更换重物，用a表示小车的加速度，F表示弹簧测力计的示数，下列描绘的a－F关系图像合理的为　　　　。
答案　(1)不需要　(2)0.638　(3)D
解析　(1)实验中，细线对动滑轮和小车的作用力通过弹簧测力计测量，不需要满足M m。
(2)相邻计数点间的时间间隔为T＝ s＝0.1 s
根据逐差法可得小车的加速度为
a＝×10－2 m/s2＝0.638 m/s2。
(3)小车匀速运动时有2F0＝Ff
当更换重物后，由牛顿第二定律有2F－Ff＝Ma
解得a＝F－
可知上式为一次函数，图像为一条倾斜直线，与横轴交于一点，故D正确。
角度　改进测量加速度的方案
例3 (2024·江西卷，11)某小组探究物体加速度与其所受合外力的关系。实验装置如图(a)所示，水平轨道上安装两个光电门，小车上固定一遮光片，细线一端与小车连接，另一端跨过定滑轮挂上钩码。
(1)实验前调节轨道右端滑轮高度，使细线与轨道平行，再适当垫高轨道左端以平衡小车所受摩擦力。
(2)小车的质量为M1＝320 g。利用光电门系统测出不同钩码质量m时小车加速度a。钩码所受重力记为F，作出a－F图像，如图(b)中图线甲所示。
(3)由图线甲可知，F较小时，a与F成正比;F较大时，a与F不成正比。为了进一步探究，将小车的质量增加至M2＝470 g，重复步骤(2)的测量过程，作出a－F图像，如图(b)中图线乙所示。
(4)与图线甲相比，图线乙的线性区间　　　　，非线性区间　　　　。再将小车的质量增加至M3＝720 g，重复步骤(2)的测量过程，记录钩码所受重力F与小车加速度a，如表所示(表中第9~14组数据未列出)。
序号 1 2 3 4 5
钩码所受重力 F/(×9.8 N) 0.020 0.040 0.060 0.0.80 0.100
小车加速度 a/(m·s－2) 0.26 0.55 0.82 1.08 1.36
序号 6 7 8 9~14 15
钩码所受重力 F/(×9.8 N) 0.120 0.140 0.160 …… 0.300
小车加速度 a/(m·s－2) 1.67 1.95 2.20 …… 3.92
(5)请在图(b)中补充描出第6至8三个数据点，并补充完成图线丙。
(6)根据以上实验结果猜想和推断:小车的质量　　　　时，a与F成正比。结合所学知识对上述推断进行解释:　　　　　　　　　　　。
答案　(4)较大　较小　(5)见解析图　(6)远大于钩码的质量　见解析
解析　(4)根据题图(b)分析可知，与图线甲相比，图线乙的线性区间较大，非线性区间较小。
(5)在坐标系中进行描点，结合其他点用平滑的曲线拟合，使尽可能多的点在线上，不在线上的点均匀分布在线的两侧，如图所示。
(6)对钩码，根据牛顿第二定律有F－FT＝ma，对小车，根据牛顿第二定律有FT＝Ma，联立解得F＝(M＋m)a，变形得a＝F，当m M时，可认为m＋M≈M，则a＝F，即a与F成正比。
衔接教材 粤教版教材必修第一册P103(如图4－2－1)
4－2－1探究加速度与力、质量之间的定量关系
衔接分析　教材中的实验通过控制滑块质量不变，改变小桶中的橡皮泥使滑块受到的合外力的变化，得到a－F图像，实验中通过光电门求得加速度。2024江西卷第11题实验题求加速度的方案与教材相同，高考题还改变了小车的质量进行了多次实验，可以说是教材实验的升华。
考点三　教材实验拓展——测动摩擦因数或物体的质量
例4 (2025·辽宁丹东一模)某实验小组的同学设计了测量物体质量的实验，所用器材如图甲所示。主要步骤如下:
(1)用游标卡尺测量滑块上遮光条的宽度d，读数如图乙所示，则d＝　　　　mm。
(2)滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间为Δt1，通过第二个光电门的时间为Δt2，遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为t，则滑块的加速度大小的表达式为a＝　　　　(用Δt1、Δt2、t和d表示)。
(3)依次增加所挂槽码的个数，记录每次实验槽码的总质量m，并计算出滑块相应的加速度a，以为横轴、为纵轴，建立直角坐标系，通过描点连线得到图像如图丙中Ⅰ所示，图线Ⅰ的斜率为k1，在纵轴上的截距为b。
(4)将待测物体固定在滑块的凹槽内，重复上述实验步骤(2)和(3)，在图丙中画出新的图线Ⅱ，若图线Ⅱ的斜率为k2，在纵轴上的截距也为b。已知当地的重力加速度为g，则下列关系式中正确的是　　　　。
A.b＝g 　　B.b＝
C.b＝g2 　　D.b＝
(5)则待测物体的质量M＝　　　　(用k1、k2、b表示)。
答案　(1)5.30　(2)　(4)B　(5)
解析　(1)20分度的游标卡尺精确度为0.05 mm，由题图乙可知读数为5 mm＋6×0.05 mm＝5.30 mm。
(2)在极短时间内的平均速度等于该时刻的瞬时速度，则滑块通过光电门1的速度为v1＝
滑块通过光电门2的速度为v2＝
根据a＝，可得a＝。
(4)设滑块的质量为M0，待测物体的质量为M，滑块受到拉力为F，由牛顿第二定律有F＝(M0＋M)a
对槽码有mg－F＝ma
联立得·，纵轴截距为b＝，故选B。
(5)由上述分析可知斜率为＝k1，＝k2
解得M＝。
跟踪训练
2.(2023·湖北卷，11)某同学利用测质量的小型家用电子秤，设计了测量木块和木板间动摩擦因数μ的实验。
如图(a)所示，木板和木块A放在水平桌面上，电子秤放在水平地面上，木块A和放在电子秤上的重物B通过跨过定滑轮的轻绳相连。调节滑轮，使其与木块A间的轻绳水平，与重物B间的轻绳竖直。在木块A上放置n(n＝0，1，2，3，4，5)个砝码(电子秤称得每个砝码的质量m0为20.0 g)，向左拉动木板的同时，记录电子秤的对应示数m。
(1)实验中，拉动木板时　　　　(填“必须”或“不必”)保持匀速。
(2)用mA和mB分别表示木块A和重物B的质量，则m和mA、mB、m0、μ、n所满足的关系式为m＝　　　　　　　　。
(3)根据测量数据在坐标纸上绘制出m－n图像，如图(b)所示，可得木块A和木板间的动摩擦因数μ＝　　　　(保留2位有效数字)。
答案　(1)不必　(2)mB－μ(mA＋nm0)　(3)0.40
解析　(1)木块与木板间的滑动摩擦力与两者之间的相对速度的大小无关，则实验中拉动木板时不必保持匀速。
(2)对木块、砝码以及重物B分析可知μ(mA＋nm0)g＋mg＝mBg
解得m＝mB－μ(mA＋nm0)。
(3)根据m＝mB－μmA－μm0·n
结合图像可知μm0＝k＝ g＝8 g
则μ＝0.40。
1.(2024·甘肃卷，11)用图甲所示实验装置探究外力一定时加速度与质量的关系。
(1)以下操作正确的是　　　　(单选，填正确答案标号)。
A.使小车质量远小于槽码质量
B.调整垫块位置以补偿阻力
C.补偿阻力时移去打点计时器和纸带
D.释放小车后立即打开打点计时器
(2)保持槽码质量不变，改变小车上砝码的质量，得到一系列打点纸带。其中一条纸带的计数点如图乙所示，相邻两点之间的距离分别为s1，s2，…，s8，时间间隔均为T。下列加速度算式中，最优的是　　　　(单选，填正确答案标号)。
A.a＝
B.a＝
C.a＝
D.a＝
(3)以小车和砝码的总质量M为横坐标，加速度的倒数为纵坐标，甲、乙两组同学分别得到的－M图像如图丙所示。
由图丙可知，在所受外力一定的条件下，a与M成　　　　(选填“正比”或“反比”);甲组所用的　　　　(选填“小车”“砝码”或“槽码”)质量比乙组的更大。
答案　(1)B　(2)D　(3)反比　槽码
解析　(1)为使细绳上的拉力近似等于槽码重力，需使小车及车中砝码的质量远大于槽码质量，A错误;补偿阻力时，需调整垫块的位置，使小车拖动纸带打出点迹均匀的点，B正确，C错误;应先接通打点计时器电源，待打点稳定后，再释放小车，D错误。
(2)根据逐差法求加速度可知，用尽量多的各段位移数据进行求解，方法最优，则加速度的最优计算式为a＝，D正确。
(3)根据题图丙可知，与M成正比，则a与M成反比;根据牛顿第二定律可得mg＝Ma，变形得M，甲组图像的斜率小，则甲组所用槽码的质量m比乙组的更大。
2.(2025·江西上饶模拟)某实验小组用如图甲所示的装置做“探究加速度与力关系”实验。打点计时器所接电源的频率为50 Hz，滑轮、长木板均光滑。
(1)按正确的方法实验操作后，得到的一条纸带部分如图乙所示，纸带上各点均为计时点，由此可得打点计时器打出B点时小车的速度大小vB＝　　　　m/s，小车的加速度大小a＝　　　　m/s2(结果均保留2位有效数字)。
(2)改变重物，多次实验，得到多组弹簧测力计示数F和对应的小车加速度大小a，以F为横轴、a为纵轴作出a－F图像，该图像的斜率为k，则小车的质量M＝　　　　(用k表示)。
(3)某次实验时弹簧测力计的示数为F0，则此次实验中重物的加速度为　　　　。
答案　(1)1.6　3.2　(2)　(3)kF0
解析　(1)相邻两计数点的时间间隔为T＝2×＝2× s＝0.04 s
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，打出B点时小车的速度大小为
vB＝×10－2 m/s≈1.6 m/s
根据逐差法求出小车的加速度大小a＝×10－2 m/s2≈3.2 m/s2。
(2)根据牛顿第二定律F＝Ma
得a＝
则k＝得M＝。
(3)当某次弹簧测力计的示数为F0时，根据(2)可知＝k
得到此时小车的加速度a0＝kF0
则重物的加速度为a0＝kF0。
3.某同学在做探究加速度与力和质量的关系的实验中，设计了如图甲所示的实验装置。
(1)利用游标卡尺测量遮光条的宽度，测量结果如图乙所示，遮光条的宽度d＝　　　　cm。
(2)实验中是否需要保证钩码的质量m远小于滑块的质量M。　　　　(选填“需要”或“不需要”)。
(3)将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平;将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离s;打开气源，释放滑块，读出遮光条通过光电门的挡光时间t，可得滑块经过光电门时的速度大小v＝　　　　，滑块运动的加速度大小a＝　　　　(用d、t、s表示)。
(4)实验时用拉力传感器直接测得的拉力F，则滑块运动的加速度a与拉力F的关系图像最符合本实验实际情况的是　　　　(选填选项前的字母)。
答案　(1)0.540　(2)不需要　(3)　　(4)C
解析　(1)20分度游标卡尺的精确值为0.05 mm，则滑块的宽度为d＝0.5 cm＋0.05×8 mm＝0.540 cm。
(2)实验中，滑块受到的拉力等于传感器的示数，因此不需要满足码的质量m远小于滑块的质量M。
(3)滑块经过光电门时的速度大小v＝
根据a＝，将v＝，v0＝0
代入可得a＝。
(4)传感器的读数直接得出了拉力F，滑块在气垫导轨上运动不受摩擦力作用，F就是滑块所受的合外力，没有系统误差，所以图像应该是一条通过原点的倾斜的直线，故选C。
4.在天宫课堂中、我国航天员演示了利用牛顿第二定律测量物体质量的实验，受此启发。某同学利用气垫导轨、力传感器、无线加速度传感器、轻弹簧和待测物体等器材设计了测量物体质量的实验，如图甲所示。
主要步骤如下:
①将力传感器固定在气垫导轨左端支架上，加速度传感器固定在滑块上;
②接通气源，放上滑块。调平气垫导轨;
③将弹簧左端连接力传感器，右端连接滑块。弹簧处于原长时滑块左端位于O点。A点到O点的距离为5.00 cm，拉动滑块使其左端处于A点，由静止释放并开始计时;
④计算机采集获取数据，得到滑块所受弹力F、加速度a随时间t变化的图像，部分图像如图乙所示。
回答以下问题(结果均保留2位有效数字):
(1)弹簧的劲度系数为　　　　 N/m。
(2)该同学从图乙中提取某些时刻F与a的数据，画出a－F图像如图丙中Ⅰ所示，由此可得滑块与加速度传感器的总质量为　　　　 kg。
(3)该同学在滑块上增加待测物体，重复上述实验步骤，在图丙中画出新的a－F图像Ⅱ，则待测物体的质量为　　　　 kg。
答案　(1)12　(2)0.20　(3)0.13
解析　(1)由题意及图乙的F－t图像有Δx＝5.00 cm，F＝0.610 N
根据胡克定律有k＝
可得k≈12 N/m。
(2)根据牛顿第二定律有F＝ma，则a－F图像的斜率表示滑块与加速度传感器的总质量的倒数，根据题图丙中Ⅰ，有
kg－1＝5 kg－1
则滑块与加速度传感器的总质量为m＝0.20 kg。
(3)滑块上增加待测物体，同理，根据题图丙中Ⅱ，则有 kg－1＝3 kg－1
则滑块、待测物体与加速度传感器的总质量为m'≈0.33 kg
则待测物体的质量为Δm＝m'－m＝0.13 kg。
5.(2024·重庆巴蜀模拟)某兴趣小组利用图甲所示装置“测量滑块与水平放置的长木板间的动摩擦因数”，已知当地重力加速度为g。主要实验步骤如下:
①测量滑块(含遮光条)的质量m;
②测量动滑轮悬挂的重物的质量m0;
③安装装置，让滑块从水平长木板上固定位置A点由静止释放，记录遮光条通过光电门的遮光时间t和力传感器的示数F;
④更换动滑轮悬挂的重物，重复步骤②③;
⑤以F为纵轴、t－2为横轴，作出如图乙所示的图像，其中a、b、c已知。
(1)以上实验步骤中，多余且没有必要的一步是第　　　　步(填序号)。
(2)去掉多余步骤后，滑块与水平长木板间的动摩擦因数μ＝　　　　(用题给物理量符号表示)。
(3)若实验时水平长木板左侧略高，则μ的测量值　　　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)其真实值。
答案　(1)②　(2)　(3)小于
解析　(1)力传感器可以直接读出力的大小，没有必要测量动滑轮悬挂的重物的质量m0，多余且没有必要的一步是第②步。
(2)设遮光条宽度为d，A点到光电门中心的水平距离为L，对滑块(含遮光条)有
F－μmg＝ma'，2a'L＝
联立可得F＝μmg＋·t－2
结合图像可得a＝μmg
因此μ＝。
(3)若实验时水平长木板左侧略高，设该斜面倾角为θ，对滑块(含遮光条)有
F＋mgsin θ－μ真mgcos θ＝ma'
则F＝μ真mgcos θ－mgsin θ＋·t－2
结合图像可得μ真mgcos θ－mgsin θ＝a
故μ真＝>μ
因此，μ的测量值小于其真实值。(共63张PPT)
实验四　探究加速度与物体受力、物体质量的关系
第三章　运动和力的关系
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
原理装置图 操作要求 注意事项
1.控制变量法 (1)保持小车质量不变，探究加速度与合力的关系。 (2)保持小车所受合力不变，探究加速度与质量的关系。 2.改变小车质量M或槽码质量m时，无需重新平衡阻力。 3.使用力传感器或弹簧测力计可测出细绳拉力时，无需满足M m。 1.用天平测量槽码的质量m和小车的质量M。 2.根据设计要求安装实验装置，只是不把悬挂槽码的细绳系在小车上。 3.在长木板不带定滑轮的一端下面垫上一块薄木块，使小车能匀速下滑。 4.槽码通过细绳绕过定滑轮系于小车上，接通电源后放开小车，断开电源取下纸带，编写号码，保持小车质量M不变，改变槽码质量m，重复实验得到纸带;保持槽码的质量m不变，改变小车的质量M，重复实验得到纸带。 1.平衡阻力:平衡阻力时，不要把悬挂槽码的细绳系在小车上，让小车连着纸带匀速运动。
2.质量:槽码质量m远小于小车质量M。
3.平行:使细绳与长木板平行。
4.靠近:小车从靠近打点计时器的位置释放。
5.先后:实验时先接通电源后释放小车。
1.利用Δx＝aT2及逐差法求a。 2.以a为纵坐标，F为横坐标，描点、画线，如果该线为过原点的直线，说明a与F成正比。 3.以a为纵坐标，为横坐标，描点、画线，如果该线为过原点的直线，就能判定a与M成反比。
研透核心考点
2
考点二　创新拓展实验
考点一　教材原型实验
考点三　教材实验拓展——测动摩擦因数或物体的质量
考点一　教材原型实验
例1 (2024·浙江1月选考，16Ⅰ)如图甲所示是“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置。
(1)该实验中同时研究三个物理量间关系是很困难的，因此我们采用的研究方法是　　　　。
A.放大法 B.控制变量法 C.补偿法
解析　该实验中同时研究三个物理量间关系是很困难的，因此我们可以控制其中一个物理量不变，研究另外两个物理量之间的关系，即采用了控制变量法，故B正确。
答案　B　
(2)该实验过程中操作正确的是　　　　。
A.平衡阻力时小车未连接纸带
B.先接通打点计时器电源，后释放小车
C.调节滑轮高度使细绳与水平桌面平行
解析　平衡阻力时小车需要连接纸带，通过纸带上的点间距判断小车是否在长木板上做匀速直线运动，故A错误;由于小车速度较快，且运动距离有限，打出的纸带长度也有限，为了能在纸带上尽可能多地获取计数点，实验时应先接通打点计时器电源，后释放小车，故B正确;为使小车所受拉力与速度同向，应调节滑轮高度使细绳与长木板平行，故C错误。
答案　B　
(3)在小车质量　　　　(选填“远大于”或“远小于”)槽码质量时，可以认为细绳拉力近似等于槽码的重力。上述做法引起的误差为　　　　(选填“偶然误差”或“系统误差”)。为减小此误差，下列可行的方案是　　　　。
A.用气垫导轨代替普通导轨，滑块代替小车
B.在小车上加装遮光条，用光电计时系统代替打点计时器
C.在小车与细绳之间加装力传感器，测出小车所受拉力大小
解析　设小车质量为M，槽码质量为m，根据牛顿第二定律分别对小车和槽码有F＝Ma，mg－F＝ma，联立解得F＝，可知在小车质量远大于槽码质量时，可以认为细绳拉力近似等于槽码的重力;上述做法引起的误差是由于实验方法或原理不完善造成的，属于系
统误差;该误差是将细绳拉力用槽码重力近似替代所引入的，不是由于车与木板间存在阻力(实验中已经平衡了阻力)或是速度测量精度低造成的，为减小此误差，可在小车与细绳之间加装力传感器，测出小车所受拉力大小，故C正确。
答案　远大于　系统误差　C　
(4)经正确操作后获得一条如图乙所示的纸带，建立以计数点0为坐标原点的x轴，各计数点的位置坐标分别为0、x1、…、x6。已知打点计时器的打点周期为T，则打计数点5时小车速度的表达式v＝　　　　;小车加速度的表达式是　　　　(选填正确选项前的字母)。
A.a＝ B.a＝ C.a＝
解析　相邻两计数点间的时间间隔为t＝5T，打计数点5时小车速度的表达式为v＝;根据逐差法可得小车加速度的表达式是a＝，故A正确。
答案　　A
1.用如图甲所示的装置“探究小车的加速度与小车受力、小车质量的关系”的实验。
跟踪训练
(1)除了图中所给器材以及交流电源和导线外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是　　　　(选填正确选项的字母)。
A.秒表 B.天平(含砝码)
C.弹簧测力计 D.刻度尺
(2)实验前平衡阻力的做法是:把实验器材安装好，先不挂沙桶，将小车放在木板上，后面固定一条纸带，纸带穿过打点计时器。用垫块把木板不带滑轮一端垫高，接通打点计时器，让小车以一定初速度沿木板向下运动，并不断调节木板的倾斜度，直到小车拖动纸带沿木板做　　　　　　运动。
(3)为使沙桶和沙的总重力在数值上近似等于小车运动时受到的拉力，需满足的条件是沙桶及沙的总质量　　　　小车的总质量(选填“远大于”“远小于”或“近似等于”)。
(4)实验中打出的一条纸带的一部分如图乙所示。纸带上标出了连续的3个计数点A、B、C，相邻计数点之间还有4个点没有标出。打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源上。则打点计时器打B点时，小车的速度vB＝　　　　m/s。多测几个点的速度作出v－t图像，就可以算出小车的加速度。
(5)为研究加速度和力的关系，要保证　　　　的总质量不变，改变沙桶内沙的质量，重复做几次实验，通过实验数据来研究加速度和力的关系。
(6)在研究加速度与力的关系时，该同学根据实验数据作出的a－F图像如图丙所示，发现该图线不通过坐标原点且BC段明显偏离直线，分析其产生的原因，下列说法正确的是　　　　。
A.不通过坐标原点可能是因为平衡阻力不足
B.不通过坐标原点可能是因为平衡阻力过度
C.图线BC段弯曲可能是沙桶及沙的总质量未满足远小于小车总质量的条件
D.图线BC段弯曲可能是沙桶及沙的总质量未满足远大于小车总质量的条件
(7)在探究加速度与质量的关系时，要保证沙和沙桶的质量不变。若沙和沙桶的质量m与小车的总质量M间的关系不满足第(3)问题中的条件，且已正确平衡阻力，由实验数据作出a－图线，则图线应如图中的　　　　所示(选填正确选项的字母)。
答案　(1)BD　(2)匀速直线　(3)远小于　(4)0.44 (5)小车　(6)AC　(7)C
解析　(1)利用天平测量质量，利用打点计时器可以计时，打出的纸带需测量长度求加速度，所以还需要天平和刻度尺，A、C错误，B、D正确。
(2)平衡阻力时应使小车拖动纸带在木板上做匀速直线运动。
(3)为了使沙桶及沙的重力在数值上近似等于小车运动时受到的拉力，需要使沙桶及沙的总质量远小于小车的总质量。
(4)由某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间运动过程的平均速度，可得
vB＝ m/s＝0.44 m/s。
(5)探究加速度与力的关系时，需要保持小车的总质量不变。
(6)从题图丙可以看出，图像不过原点，即当F为某一值时，但加速度却为零，所以是未平衡阻力或补偿阻力不足，故A正确，B错误;随着拉力F增大(即沙桶及沙的重力增大)，已经不满足沙桶及沙的总质量远小于小车总质量的条件，造成BC段弯曲，故C正确，D错误。
(7)在探究加速度与质量的关系时，由于补偿了阻力，所以图像过原点，且分别对小车和沙桶及沙受力分析，由牛顿第二定律可得T＝Ma，mg－T＝ma，联立解得mg＝(M＋m)a，整理得a＝，因为保证了沙和沙桶的质量不变，所以由实验数据作出a－图线，不会发生弯曲，故选C。
考点二　创新拓展实验
创新角度 实验举例
实验 器材 创新
位移传感器，速度传感器，拉力传感器，气垫导轨，光电门
创新角度 实验举例
实验 原理 创新
挂上托盘和砝码，改变木板的倾角，使质量为M的小车拖着纸带沿木板匀速下滑，取下托盘和砝码，测出其总质量为m，让小车沿木板下滑，可知小车所受合力为mg。改变砝码质量，多次重复实验探究加速度与物体受力的关系。
创新角度 实验举例
实验 目的 创新
(1)求出物块通过两光电门的速度，由＝2ax得出物块的加速度
(2)结合牛顿第二定律，由mg－μMg＝(M＋m)a得出物块与水平桌面间的动摩擦因数
角度　　改进测量力的方案
拉力传感器、弹簧测力计 “近似等于小盘和砝码的总重力”，因此不需要满足m M。
例2 (2025·湖南师大附中开学考试)图甲为“探究加速度与物体所受合外力关系”的实验装置，实验中所用小车的质量为M，重物的质量为m，实验时改变重物的质量，记下测力计对应的读数F。
(1)实验过程中，　　　　　(填“需要”或“不需要”)满足M m。
解析　实验中，细线对动滑轮和小车的作用力通过弹簧测力计测量，不需要满足M m。
答案　不需要　
(2)实验过程中得到如图乙所示的纸带，已知所用交流电的频率为50 Hz。其中A、B、C、D、E为五个计数点，相邻两个计数点之间还有4个点没有标出，根据纸带提供的数据，可求出小车加速度的大小为　　　　m/s2(计算结果保留3位有效数字)。
解析　相邻计数点间的时间间隔为T＝ s＝0.1 s
根据逐差法可得小车的加速度为
a＝×10－2 m/s2＝0.638 m/s2。
答案　0.638　
(3)当重物质量合适时，小车做匀速运动，此时测力计的读数为F0。更换重物，用a表示小车的加速度，F表示弹簧测力计的示数，下列描绘的a－F关系图像合理的为　　　　。
解析　小车匀速运动时有2F0＝Ff
当更换重物后，由牛顿第二定律有2F－Ff＝Ma
解得a＝F－
可知上式为一次函数，图像为一条倾斜直线，与横轴交于一点，故D正确。
答案　D
角度　　改进测量加速度的方案
例3 (2024·江西卷，11)某小组探究物体加速度与其所受合外力的关系。实验装置如图(a)所示，水平轨道上安装两个光电门，小车上固定一遮光片，细线一端与小车连接，另一端跨过定滑轮挂上钩码。
(1)实验前调节轨道右端滑轮高度，使细线与轨道平行，再适当垫高轨道左端以平衡小车所受摩擦力。
(2)小车的质量为M1＝320 g。利用光电门系统测出不同钩码质量m时小车加速度a。钩码所受重力记为F，作出a－F图像，如图(b)中图线甲所示。
(3)由图线甲可知，F较小时，a与F成正比;F较大时，a与F不成正比。为了进一步探究，将小车的质量增加至M2＝470 g，重复步骤(2)的测量过程，作出a－F图像，如图(b)中图线乙所示。
(4)与图线甲相比，图线乙的线性区间　　　　，非线性区间　　　　。再将小车的质量增加至M3＝720 g，重复步骤(2)的测量过程，记录钩码所受重力F与小车加速度a，如表所示(表中第9~14组数据未列出)。
序号 1 2 3 4 5
钩码所受重力F/(×9.8 N) 0.020 0.040 0.060 0.0.80 0.100
小车加速度a/(m·s－2) 0.26 0.55 0.82 1.08 1.36
序号 6 7 8 9~14 15
钩码所受重力F/(×9.8 N) 0.120 0.140 0.160 …… 0.300
小车加速度a/(m·s－2) 1.67 1.95 2.20 …… 3.92
解析　根据题图(b)分析可知，与图线甲相比，图线乙的线性区间较大，非线性区间较小。
答案　较大　较小　
(5)请在图(b)中补充描出第6至8三个数据点，并补充完成图线丙。
解析　在坐标系中进行描点，结合其他点用平滑的曲线拟合，使尽可能多的点在线上，不在线上的点均匀分布在线的两侧，如图所示。
答案　见解析图　
(6)根据以上实验结果猜想和推断:小车的质量　　　　时，a与F成正比。结合所学知识对上述推断进行解释:　　　　　　　　　　　。
解析　对钩码，根据牛顿第二定律有F－FT＝ma，对小车，根据牛顿第二定律有FT＝Ma，联立解得F＝(M＋m)a，变形得a＝F，当m M时，可认为m＋M≈M，则a＝F，即a与F成正比。
答案　远大于钩码的质量　见解析
衔接教材 粤教版教材必修第一册P103(如图4－2－1)
4－2－1探究加速度与力、质量之间的定量关系
衔接分析　教材中的实验通过控制滑块质量不变，改变小桶中的橡皮泥使滑块受到的合外力的变化，得到a－F图像，实验中通过光电门求得加速度。2024江西卷第11题实验题求加速度的方案与教材相同，高考题还改变了小车的质量进行了多次实验，可以说是教材实验的升华。
例4 (2025·辽宁丹东一模)某实验小组的同学设计了测量物体质量的实验，所用器材如图甲所示。主要步骤如下:
考点三　教材实验拓展——测动摩擦因数或物体的质量
(1)用游标卡尺测量滑块上遮光条的宽度d，读数如图乙所示，则d＝　　　　mm。
解析　20分度的游标卡尺精确度为0.05 mm，由题图乙可知读数为5 mm＋6×0.05 mm＝5.30 mm。
答案　5.30
(2)滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间为Δt1，通过第二个光电门的时间为Δt2，遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为t，则滑块的加速度大小的表达式为a＝　　　　(用Δt1、Δt2、t和d表示)。
解析　在极短时间内的平均速度等于该时刻的瞬时速度，则滑块通过光电门1的速度为v1＝
滑块通过光电门2的速度为v2＝
根据a＝，可得a＝。
答案　　
(3)依次增加所挂槽码的个数，记录每次实验槽码的总质量m，并计算出滑块相应的加速度a，以为横轴、为纵轴，建立直角坐标系，通过描点连线得到图像如图丙中Ⅰ所示，图线Ⅰ的斜率为k1，在纵轴上的截距为b。
(4)将待测物体固定在滑块的凹槽内，重复上述实验步骤(2)和(3)，在图丙中画出新的图线Ⅱ，若图线Ⅱ的斜率为k2，在纵轴上的截距也为b。已知当地的重力加速度为g，则下列关系式中正确的是　　　　。
A.b＝g 　　B.b＝ C.b＝g2 　　D.b＝
解析　设滑块的质量为M0，待测物体的质量为M，滑块受到拉力为F，由牛顿第二定律有F＝(M0＋M)a
对槽码有mg－F＝ma
联立得·，纵轴截距为b＝，故选B。
答案　B　
(5)则待测物体的质量M＝　　　　(用k1、k2、b表示)。
解析　由上述分析可知斜率为＝k1，＝k2
解得M＝。
答案　
跟踪训练
2.(2023·湖北卷，11)某同学利用测质量的小型家用电子秤，设计了测量木块和木板间动摩擦因数μ的实验。
如图(a)所示，木板和木块A放在水平桌面上，电子秤放在水平地面上，木块A和放在电子秤上的重物B通过跨过定滑轮的轻绳相连。调节滑轮，使其与木块A间的轻绳水平，与重物B间的轻绳竖直。在木块A上放置n(n＝0，1，2，3，4，5)个砝码(电子秤称得每个砝码的质量m0为20.0 g)，向左拉动木板的同时，记录电子秤的对应示数m。
(1)实验中，拉动木板时　　　　(填“必须”或“不必”)保持匀速。
(2)用mA和mB分别表示木块A和重物B的质量，则m和mA、mB、m0、μ、n所满足的关系式为m＝　　　　　　　　。
(3)根据测量数据在坐标纸上绘制出m－n图像，如图(b)所示，可得木块A和木板间的动摩擦因数μ＝　　　　(保留2位有效数字)。
答案　(1)不必　(2)mB－μ(mA＋nm0)　(3)0.40
解析　(1)木块与木板间的滑动摩擦力与两者之间的相对速度的大小无关，则实验中拉动木板时不必保持匀速。
(2)对木块、砝码以及重物B分析可知μ(mA＋nm0)g＋mg＝mBg
解得m＝mB－μ(mA＋nm0)。
(3)根据m＝mB－μmA－μm0·n
结合图像可知μm0＝k＝ g＝8 g
则μ＝0.40。
提升素养能力
3
1.(2024·甘肃卷，11)用图甲所示实验装置探究外力一定时加速度与质量的关系。
(1)以下操作正确的是　　　　(单选，填正确答案标号)。
A.使小车质量远小于槽码质量
B.调整垫块位置以补偿阻力
C.补偿阻力时移去打点计时器和纸带
D.释放小车后立即打开打点计时器
(2)保持槽码质量不变，改变小车上砝码的质量，得到一系列打点纸带。其中一条纸带的计数点如图乙所示，相邻两点之间的距离分别为s1，s2，…，s8，时间间隔均为T。下列加速度算式中，最优的是　　　　(单选，填正确答案标号)。
A.a＝
B.a＝
C.a＝
D.a＝
(3)以小车和砝码的总质量M为横坐标，加速度的倒数为纵坐标，甲、乙两组同学分别得到的－M图像如图丙所示。
由图丙可知，在所受外力一定的条件下，a与M成　　　　(选填“正比”或“反比”);甲组所用的　　　　(选填“小车”“砝码”或“槽码”)质量比乙组的更大。
答案　(1)B　(2)D　(3)反比　槽码
解析　(1)为使细绳上的拉力近似等于槽码重力，需使小车及车中砝码的质量远大于槽码质量，A错误;补偿阻力时，需调整垫块的位置，使小车拖动纸带打出点迹均匀的点，B正确，C错误;应先接通打点计时器电源，待打点稳定后，再释放小车，D错误。
(2)根据逐差法求加速度可知，用尽量多的各段位移数据进行求解，方法最优，则加速度的最优计算式为a＝，D正确。
(3)根据题图丙可知，与M成正比，则a与M成反比;根据牛顿第二定律可得mg＝Ma，变形得M，甲组图像的斜率小，则甲组所用槽码的质量m比乙组的更大。
2.(2025·江西上饶模拟)某实验小组用如图甲所示的装置做“探究加速度与力关系”实验。打点计时器所接电源的频率为50 Hz，滑轮、长木板均光滑。
(1)按正确的方法实验操作后，得到的一条纸带部分如图乙所示，纸带上各点均为计时点，由此可得打点计时器打出B点时小车的速度大小vB＝　　　　m/s，小车的加速度大小a＝　　　　m/s2(结果均保留2位有效数字)。
(2)改变重物，多次实验，得到多组弹簧测力计示数F和对应的小车加速度大小a，以F为横轴、a为纵轴作出a－F图像，该图像的斜率为k，则小车的质量M＝　　　　(用k表示)。
(3)某次实验时弹簧测力计的示数为F0，则此次实验中重物的加速度为　　　　。
答案　(1)1.6　3.2　(2)　(3)kF0
解析　(1)相邻两计数点的时间间隔为T＝2×＝2× s＝0.04 s
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，打出B点时小车的速度大小为vB＝×10－2 m/s≈1.6 m/s
根据逐差法求出小车的加速度大小
a＝×10－2 m/s2≈3.2 m/s2。
(2)根据牛顿第二定律F＝Ma
得a＝
则k＝得M＝。
(3)当某次弹簧测力计的示数为F0时，根据(2)可知＝k
得到此时小车的加速度a0＝kF0
则重物的加速度为a0＝kF0。
3.某同学在做探究加速度与力和质量的关系的实验中，设计了如图甲所示的实验装置。
(1)利用游标卡尺测量遮光条的宽度，测量结果如图乙所示，遮光条的宽度d＝　　　　cm。
(2)实验中是否需要保证钩码的质量m远小于滑块的质量M。　　　　(选填“需要”或“不需要”)。
(3)将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平;
将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离s;打开气源，
释放滑块，读出遮光条通过光电门的挡光时间t，可得滑块经过光电门时的速度大小v＝　　　　，滑块运动的加速度大小a＝　　　　(用d、t、s表示)。
(4)实验时用拉力传感器直接测得的拉力F，则滑块运动的加速度a与拉力F的关系图像最符合本实验实际情况的是　　　　(选填选项前的字母)。
答案　(1)0.540　(2)不需要　(3)　　(4)C
解析　(1)20分度游标卡尺的精确值为0.05 mm，则滑块的宽度为d＝0.5 cm＋0.05×8 mm＝0.540 cm。
(2)实验中，滑块受到的拉力等于传感器的示数，因此不需要满足码的质量m远小于滑块的质量M。
(3)滑块经过光电门时的速度大小v＝
根据a＝，将v＝，v0＝0
代入可得a＝。
(4)传感器的读数直接得出了拉力F，滑块在气垫导轨上运动不受摩擦力作用，F就是滑块所受的合外力，没有系统误差，所以图像应该是一条通过原点的倾斜的直线，故选C。
4.在天宫课堂中、我国航天员演示了利用牛顿第二定律测量物体质量的实验，受此启发。某同学利用气垫导轨、力传感器、无线加速度传感器、轻弹簧和待测物体等器材设计了测量物体质量的实验，如图甲所示。
主要步骤如下:
①将力传感器固定在气垫导轨左端支架上，加速度传感器固定在滑块上;
②接通气源，放上滑块。调平气垫导轨;
③将弹簧左端连接力传感器，右端连接滑块。弹簧处于原长时滑块左端位于O点。A点到O点的距离为5.00 cm，拉动滑块使其左端处于A点，由静止释放并开始计时;
④计算机采集获取数据，得到滑块所受弹力F、加速度a随时间t变化的图像，部分图像如图乙所示。
回答以下问题(结果均保留2位有效数字):
(1)弹簧的劲度系数为　　　　 N/m。
(2)该同学从图乙中提取某些时刻F与a的数据，画出a－F图像如图丙中Ⅰ所示，由此可得滑块与加速度传感器的总质量为　　　　 kg。
(3)该同学在滑块上增加待测物体，重复上述实验步骤，在图丙中画出新的a－F图像Ⅱ，则待测物体的质量为　　　　 kg。
答案　(1)12　(2)0.20　(3)0.13
解析　(1)由题意及图乙的F－t图像有Δx＝5.00 cm，F＝0.610 N
根据胡克定律有k＝
可得k≈12 N/m。
(2)根据牛顿第二定律有F＝ma，则a－F图像的斜率表示滑块与加速度传感器的总质量的倒数，根据题图丙中Ⅰ，有
kg－1＝5 kg－1
则滑块与加速度传感器的总质量为m＝0.20 kg。
(3)滑块上增加待测物体，同理，根据题图丙中Ⅱ，则有 kg－1＝3 kg－1
则滑块、待测物体与加速度传感器的总质量为m'≈0.33 kg
则待测物体的质量为Δm＝m'－m＝0.13 kg。
5.(2024·重庆巴蜀模拟)某兴趣小组利用图甲所示装置“测量滑块与水平放置的长木板间的动摩擦因数”，已知当地重力加速度为g。主要实验步骤如下:
①测量滑块(含遮光条)的质量m;
②测量动滑轮悬挂的重物的质量m0;
③安装装置，让滑块从水平长木板上固定位置A点由静止释放，记录遮光条通过光电门的遮光时间t和力传感器的示数F;
④更换动滑轮悬挂的重物，重复步骤②③;
⑤以F为纵轴、t－2为横轴，作出如图乙所示的图像，其中a、b、c已知。
(1)以上实验步骤中，多余且没有必要的一步是第　　　　步(填序号)。
(2)去掉多余步骤后，滑块与水平长木板间的动摩擦因数μ＝　　　　(用题给物理量符号表示)。
(3)若实验时水平长木板左侧略高，则μ的测量值　　　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)其真实值。
答案　(1)②　(2)　(3)小于
解析　(1)力传感器可以直接读出力的大小，没有必要测量动滑轮悬挂的重物的质量m0，多余且没有必要的一步是第②步。
(2)设遮光条宽度为d，A点到光电门中心的水平距离为L，对滑块(含遮光条)有
F－μmg＝ma'，2a'L＝
联立可得F＝μmg＋·t－2
结合图像可得a＝μmg
因此μ＝。
(3)若实验时水平长木板左侧略高，设该斜面倾角为θ，对滑块(含遮光条)有
F＋mgsin θ－μ真mgcos θ＝ma'
则F＝μ真mgcos θ－mgsin θ＋·t－2
结合图像可得μ真mgcos θ－mgsin θ＝a
故μ真＝>μ
因此，μ的测量值小于其真实值。

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