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增分微点5 等时圆模型
第三章　运动和力的关系
1.“等时圆”模型
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
2.模型的三种情况
“同顶”等时圆 各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2Rsin θ＝gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3
“同底”等时圆 各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，可推得t1＝t2＝t3
“双圆周”等时圆 两圆心在同一竖直线上且两圆相切。各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置。可推得t1＝t2＝t3
例1 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示。已知圆半径为R，在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为3R且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。
(1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系;
解析　设AB与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度为a＝gsin θ，由运动学规律有xAB＝a，由几何关系可知xAB＝2Rsin θ，联立解得tAB＝，由上式可知小朋友的下滑时间与滑梯倾斜程度无关，则两次沿滑梯运动的时间关系为tAB＝tAC＝。
答案　tAB＝tAC＝
解析　根据第(1)问的结论，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图所示，两圆相切时，时间最短，有
(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2
解得r＝R
由第(1)问的结论有t＝。
(2)若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。
答案　
例2 (多选)(2024·广西南宁模拟)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.t1>t2 B.t3＝t4
C.t2BC
解析　1号小球的加速度为a1＝gsin 60°＝g，位移为x1＝2r·sin 60°＝r，运动时间为t1＝＝2;2号小球的加速度为a2＝gsin 30°＝g，位移为x2＝2r·sin 30°＝r，运动时间为t2＝＝2;3
号小球的加速度为a3＝gsin 60°＝g，位移为x3＝＝2r，运动时间为t3＝;4号小球的加速度为a4＝gsin 30°＝g，位移为x4＝＝2r，运动时间为t4＝;则t1＝t2，t3＝t4，t3－t1＝t4－t2＝2(－1)，t1＝t2D
1.(2025·江苏泰州一模)如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板AO'、BO'、CO'，其下端都固定于容器底部O'点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度BO'>AO'>CO'。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑(忽略阻力)，则(　　)
A.A处滑块最先到达O'点 B.B处滑块最先到达O'点
C.C处滑块最先到达O'点 D.三个滑块同时到达O'点
解析　令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，根据位移公式有2Rsin θ＝gsin θ·t2，解得t＝2，可知时间t与滑板的倾角θ和板的长度均无关，故三个滑块同时到达O'点，故D正确。
2.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　)
A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEF
C.tABB
解析　如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确。　　　　　　　　等时圆模型
1.“等时圆”模型
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
2.模型的三种情况
“同顶”等时圆 各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上。由2Rsin θ＝gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3
“同底”等时圆 各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的不同点，可推得t1＝t2＝t3
“双圆周”等时圆 两圆心在同一竖直线上且两圆相切。各斜面过两圆的公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置。可推得t1＝t2＝t3
例1 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示。已知圆半径为R，在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为3R且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。
(1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系;
(2)若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。
答案　(1)tAB＝tAC＝　(2)
解析　(1)设AB与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度为a＝gsin θ，由运动学规律有xAB＝a，由几何关系可知xAB＝2Rsin θ，联立解得tAB＝，由上式可知小朋友的下滑时间与滑梯倾斜程度无关，则两次沿滑梯运动的时间关系为tAB＝tAC＝。
(2)根据第(1)问的结论，画出以P点为最高点的半径为r的等时圆，如图所示，两圆相切时，时间最短，有
(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2
解得r＝R
由第(1)问的结论有t＝。
例2 (多选)(2024·广西南宁模拟)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4，已知竖直固定的圆环半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.t1>t2 B.t3＝t4
C.t2答案　BC
解析　1号小球的加速度为a1＝gsin 60°＝g，位移为x1＝2r·sin 60°＝r，运动时间为t1＝＝2;2号小球的加速度为a2＝gsin 30°＝g，位移为x2＝2r·sin 30°＝r，运动时间为t2＝＝2;3号小球的加速度为a3＝gsin 60°＝g，位移为x3＝＝2r，运动时间为t3＝;4号小球的加速度为a4＝gsin 30°＝g，位移为x4＝＝2r，运动时间为t4＝;则t1＝t2，t3＝t4，t3－t1＝t4－t2＝2(－1)，t1＝t2跟踪训练
1.(2025·江苏泰州一模)如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板AO'、BO'、CO'，其下端都固定于容器底部O'点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度BO'>AO'>CO'。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑(忽略阻力)，则(　　)
A.A处滑块最先到达O'点
B.B处滑块最先到达O'点
C.C处滑块最先到达O'点
D.三个滑块同时到达O'点
答案　D
解析　令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，根据位移公式有2Rsin θ＝gsin θ·t2，解得t＝2，可知时间t与滑板的倾角θ和板的长度均无关，故三个滑块同时到达O'点，故D正确。
2.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEF
C.tAB答案　B
解析　如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确。

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