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(共40张PPT)
微专题8 简单几何体和球的表面积、
体积、结构特征
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
简单几何体和球的表面积、体积、结构特征是高考的必考内容，
试题主要以选择题、填空题的形式考查，试题的难度不大，易得满
分.试题主要考查求解柱、锥、台、球的表面积、体积，其中球侧重
考查与简单几何体的切、接问题.高考备考要侧重对有关公式的熟记，
也要熟练掌握球与几何体切、接时确定球心和求解半径的常用方法.
微点1 空间几何体的表面积、体积
例1（1）[2024·新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积
相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 .
由题可知,解得,则,
, 圆锥的体积 .故选B.
√
（2）[2024·新课标Ⅱ卷]已知正三棱台的体积为 ,
,,则与平面 所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
√
[解析] 方法一：设正三棱台的高为 ,
由 ,
,
，解得.设,分别为和 的中心，
如图，连接,,，过作于，易知 平面
，即为与平面 所成的角.易知
, ,
所以 .
方法二：设正三棱台的高为 .如图，
延长,,,则三条直线交于一点，设,
分别为,的中心，连接,则 在线
段上， 平面，连接,则 即
为与平面所成的角.
由题知，得 , .
由题得, ,由
，得,易知 ,所以 .
【规律提炼】
简单几何体的表面积和体积问题的求解策略：
（1）熟练掌握各个几何体的结构特征、表面积公式和体积公式，尤
其台体的表面积公式和体积公式.
（2）求解多面体和旋转体的表面积问题时，首先要能够根据结构特
征得到求解表面积所需的相应元素，一般都是构建直角三角形，利
用勾股定理进行求解.
（3）求解简单几何体的体积问题，要充分利用简单几何体的结构特
征，构建直角三角形，进而求得相关元素.
（4）非规则几何体的表面积和体积常常通过分割的方法将其转化为
规则几何体进行求解.
【巩固训练】
1.[2024·内蒙古呼和浩特模拟]已知圆锥的顶点为 ，其三条母线
,,所在直线两两垂直，且母线长为，则圆锥 的侧面积
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接，， ，如图，因为三条母线
，，所在直线两两垂直，且母线长为 ，
所以 为圆锥底面圆的内接正三角形，
且 ，由正弦定理可得底面圆的半径
，所以圆锥 的侧面积为 .
故选D.
2.[2024·天津北辰区三模]如图，该几何体由一个圆锥和一
个圆柱组合而成.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高
为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度
为7，则该容器中液体的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，取轴截面，如图所示，,, 分别为
,,的中点，连接，可知 ，
且,,,,则 ，
可得，即 ，
所以该容器中液体的体积为
.
故选A.
3.[2024·沈阳二模] 已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该
圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的
小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为_____.
[解析] 如图所示，，，设 ，由
，得 ，故截得的小圆锥的
侧面积 ，截得的圆台的侧面积
，
，故截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之
比为 .
微点2 与球有关的“切、接”问题
例2（1）[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上下底面的
边长分别为和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，设球的球心为，半径为 ，正三棱台的上、下底面
分别为，，，， 均为正三棱台的棱，
则，都是等边三角形.设， 的外
接圆圆心分别为,，连接，则.
连接，， 等边三角形和等边三角形的边长
分别为, , ，.连接,，
若点在线段 上，则 ，
即，可得，矛盾，
故点 在线段 的延长线上.
由题意得，可得,，
该球的表面积 .
（2）[2024·西安模拟]已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，半径为2
的扇形，则此圆锥的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可得，圆锥的底面半径满足 ，解
得 ，所以该圆锥的轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰
三角形，底边上的高为.
设内切球的半径为 ，由等面积法可得，
则 ，所以圆锥内切球的表面积为 .故选D.
√
【规律提炼】
求解球与简单几何体的切、接问题的关键点是“定球心、确定球半径”.
（1）定球心.球心满足：①到球面上各个点的距离都相等；②两个过
截面圆圆心且与截面垂直的直线的交点为球心.也要熟练掌握常见几
何体的外接球球心位置，比如正三棱锥的外接球球心在正三棱锥的
高所在直线上，圆柱、圆锥的外接球球心在旋转轴上，长方体的外
接球球心在体对角线上等.
（2）确定球半径.关键是构建球心到截面的距离、截面圆半径 、
球半径 的直角三角形，利用勾股定理进行求解.其中求解截面圆半
径 时，若对应的内接多边形为正三角形、直角三角形，则可以通过
常用结论进行求解，若为其他非特殊三角形，则可应用正弦定理求
解 .
【巩固训练】
1.[2024·成都模拟]在菱形中，，现将菱形 沿对角线
折起，当时，三棱锥的体积为 ，则三棱锥
外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，不妨设菱形的边长为，为
中点，连接，，设,分别为正三角形 ,
正三角形的中心，在三棱锥中，过 ,
分别作平面和平面 的垂线，两条垂线交于
点，连接，，则点为三棱锥 外接球
的球心.
在等腰三角形中， ,，
因为，，，, 平面，
所以 平面 ，
则
，所以 ，
即，故，故
.在 中，由余弦定理得
，故，则在直角三角形中， ，.设外接球的半径为 ，则，故外接球的表面积为 .故选A.
2.[2024·呼和浩特二模]已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直
线的夹角是 ，且上、下底面的面积之比为 ，则该圆台外接球
的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设上、下底面圆心分别为, ，外接球球
心为，连接，，，, .因为上、下底面的
面积之比为，所以上底面半径与下底面半径之比为 ，
即，又母线与轴所在直线的夹角是 , 所以 ，
结合,得, ，故, .
记圆台的外接球半径为, ，在直角三角形和直角三角形
中，由勾股定理知， ，
则有，可得，故 ，
则该圆台外接球的表面积 .故选C.
微点3 空间几何体的情景问题
例3（1）[2022·新高考全国Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水
资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为;水位为海拔 时，相
应水面的面积为 .将该水库在这两个水位间的形状看作一个
棱台，则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量
约为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的上
底面）的面积为,水库水位为海拔
时，相应水面（棱台的下底面）的面积为 ,
水面上升的高度为 ，
所以增加的水量（棱台的体积）
.故选C.
（2）[2024·天津滨海新区三模]我国有着丰富悠久的“印章文化”，古
时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文
件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来
使用.图①是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作
是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图②.已知正四棱
柱和正四棱锥的底面边长均为4，体积之比为 ，且该几何体的顶
点都在球的表面上，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 正四棱柱和正四棱锥的底面边长均为4，
体积之比为，
正四棱柱和正四棱锥的高相等. 设正四棱柱和正
四棱锥的高为 ，该几何体外接球的半径为，
如图，易知球的球心为 的中 点，连接，
则 可得
故球的表面积为 .故选A.
【规律提炼】
空间几何体的情景问题的求解策略：
（1）根据题意能够确定对应的简单几何体和其结构特征，并且能够
画出直观图；
（2）应用相应的几何知识进行求解有关的元素，进而求解有关问题；
（3）注意实际问题中元素的实际意义或范围.
【巩固训练】
[2024·北京海淀区三模]十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式
之一，图①中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶，其上部可视为由
两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图②），这两个三棱柱有
一个公共侧面.在底面中，若, ，
则该几何体的体积为( )
A. B. C.27 D.
√
[解析] 如图所示，该几何体可视为直三棱柱
与两个三棱锥，
拼接而成.记直三棱柱的底面 的
面积为，高为，所求几何体的体积为 ，
则 ，
因为两个直三棱柱相同，所以 ，
所以 .故选C.
1.简单几何体的体积的最值或范围问题的解决思路主要是运用转化思
想，将问题转化为三角形问题、均值不等式问题、函数问题、数列
问题等.
2.简单几何体在实际问题中的应用，主要将实际问题转化为我们学习
的简单几何体问题，应用简单几何体的性质和相应方法进行求解.
例1 [2022·全国乙卷] 已知球的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面
的四个顶点均在球 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一（基本不等式）
设该四棱锥的底面为四边形，四边形 所在小圆的半径为
，设四边形的对角线的夹角为 ，则
（当且仅当四边形
为正方形时等号成立）,即当四棱锥的顶点 到底面所在小圆距
离一定时，底面面积的最大值为 .
当底面面积最大时，设四棱锥的高为，则 ，所以
,当
且仅当，即 时等号成立.故选C.
方法二（统一变量基本不等式）
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设此时正四棱
锥的底面边长为，底面所在圆的半径为，则 ，所以该四棱
锥的高 ，体积 ,所以该四棱锥的体积最大时，其高 .故选C.
方法三（利用导数求最值）
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设此时正四棱
锥的底面边长为，底面所在圆的半径为，则 ，所以该四棱
锥的高，体积，令 ，
则.设，则 ，
当时，，单调递增，当 时，
，单调递减，所以当时，取得最大值，即 取
得最大值，此时 .故选C.
例2 [2023·全国甲卷] 在正方体中，， 为
的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球 的半径
的取值范围是___________.
[解析] 设球的半径为.当球是正方体的外接球时，
球 恰好经过正方体的每个顶点，此时球 的半径最大，
正方体的外接球直径 ，
则，所以 ；
分别取棱,,,的中点,,,，显然四边形 是边
长为4的正方形，为正方形的对角线的交点，连接 ，则
，当球的一个大圆恰好是四边形 的外
接圆时，球的半径最小，所以.综上可知，球 的半径的
取值范围为 .
例3 日晷（如图）是中国古代用来测定时间的仪
器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来
测定时间.把地球看成一个球球心记为 ，地球
上一点的纬度是指 与地球赤道所在平面所成
A. B. C. D.
角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点 处放置一个
日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬 ，则晷
针与点 处的水平面所成角为( )
√
[解析] 画出截面图如图所示，其中 是赤道所
在平面的截线， 是点A处的水平面的截线，依
题意可知，是晷针所在直线， 是晷
面的截线.依题意,晷面和赤道所在平面平行，晷
针与晷面垂直，根据面面平行的性质定理可得
，根据线面垂直的定义可得.由于 ,
，所以 ，
由于 ，所以
，即晷针与点A处的水平面所成角为 .故选B.

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