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安徽省江淮十校2025届高三第三次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.在直棱柱中，，且，是棱上的一点，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.下列关于函数说法正确的是( )
A. 是函数图象的一个对称中心
B. 的值域为
C. 在区间上单调递减
D. 直线是函数图象的一条对称轴
7.多项式的展开式的常数项是( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若一组数据，，，的方差为，则所有数据都相同
B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D. 已知一组数据为，，，，，，，，，，则它的第百分位数为
10.设、是曲线上两个不同的点，则( )
A. B.
C. D.
11.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于年，雅各布伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线曲线是双纽线，则下列结论正确的是( )
A. 已知，，则曲线上满足的点有且只有一个
B. 曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则的离心率为 ．
13.已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 ．
14.已知表示不超过的最大整数，记，设，且，当时，所有满足条件的的和等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，三个角、、所对的边分别为、、，点在边上，且，B.
求
若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围．
16.本小题分
如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形，为平面外一点，且，，是的中点．
证明平面
求二面角的余弦值．
17.本小题分
年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统算力瓶颈，代表了在科学计算 的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天和雨天，变化规律预测如下：
如果今天是晴天，明天有的概率仍然是晴天，的概率会下雨
如果今天是雨天，明天有的概率仍然是雨天，的概率会转晴．
假设今天天气是晴天，回答以下问题：
从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量表示，求的分布列和数学期望
长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定从今天算起第天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为．
求椭圆的方程
设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，
(ⅰ)求点到直线距离的最大值
(ⅱ)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程
讨论函数极值点的个数
设，，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
记点到的距离为，则
，，，
，．
由知，，，
设在中，由正弦定理得到，
，，，
，
为锐角三角形， ，
又，在均为递增函数，
故．
16.解：设圆的半径为，
，
当且仅当时取等，
所以当为正方形时，面积最大，
所以，交于点，连接，
因为为中点，为中点，
所以，面，面，
所以平面；
因为，
所以，，
又，所以为正三角形，所以，
又因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
连接，又平面，所以，
，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以为的平面角，
又，，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为．

17.解：记“明天起第天是晴天”，可取，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
；
设“从今天算起第天预测是晴天”，，
当时，
，
当时，，
，
即，
长期来看即趋近于无限大时，将趋近于，将趋近于．
18.解：因为离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为，
所以，，，解得，，所以椭圆的方程为；
首先求得，令，与联立，根据，解得，此时点到直线距离的最大值为；
由上一问可得的面积最大值为．
下证四边形的面积为定值：
易知，，
设
则，即，则直线的方程为，
令，得，
同理，直线的方程为，
令，得，
所以
，
所以四边形的面积为定值，
面积的最大值为．
19.解：当时，，
于是，求导得，于是，
所以曲线在处的切线方程为
函数的定义域为，对函数求导得，
当时，，，
函数在上单调递增，无极值点
当时，，
当时，，函数在上单调递增
当时，，函数在上单调递减
当时，，函数在上单调递增，
所以函数有极大值点和极小值点．
综上所述，当时，函数极值点个数为
当时，函数极值点个数为
由知，当时，若，则即
当时，若，则即．
当时，，不等式成立，
假设，不等式成立，即，
则当时，由条件知，
又函数与函数在上单调递增，
所以，
，
即即时不等式成立，
综上所述，对，都有成立．
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