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8.1与三角形有关的边和角 课前导学
知识填空
1.由不在同一直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形．
如图，线段 、 、 是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母a，b，c来表示，a＝ 、b＝ 、c＝ ，点A、点B、点C是三角形的 ， 、 、 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作 ．
2.三角形的分类
①按内角的大小分类 ②按边的相等关系分类
3.三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的 ．
4.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的 ，简称 ．如图，线段 是BC边上的高．
5.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．
6.三角形的中线将这个三角形分为面积 的两个三角形
7.三角形内角和定理：
文字语言：三角形三个内角的和等于________
符号语言：在中，____________________
8.直角三角形的两个锐角 ，直角三角形可以用符号“ ”表示，直角三角形ABC可以写成 ．
9.由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是 三角形．
10.三角形的外角与内角的关系：三角形的一个外角与它相邻的内角 ；
三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角．
11.三角形的外角和等于 .
12.三角形的三边关系
①三角形两边的和_________第三边
②三角形两边的差_________第三边
13.三角形具有 ，四边形没有 .
基础练习
1.如图,人字梯中间一般会设计一根“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,其中蕴含的数学依据是( )
A.两点确定一条直线 B.两点之间,线段最短
C.垂线段最短 D.三角形具有稳定性
2.下列各图中,作边上的高,正确的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.8
5.如图,D、E分别是边、的中点,若的面积为3,则的面积为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6.在一个三角形中,若其中一个内角等于另外两个内角的差,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.都有可能
7.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E.若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图,在中,是高,是角平分线,是中线,则下列说法中错误的是( )
A. B.
C. D.
9.如图,是的外角,若,,则______.
10.已知三角形的三边长分别是8、10、x,则x的取值范围是______.
11.在中，，则_____.
12.如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则________.
13.如图,在中,,,,求的度数.
14.如图,,,,求的度数.
答案以及解析
一、知识填空
1. 首尾顺次连结 AB BC AC BC AC AB 顶点 ∠A ∠B ∠C △ABC
2.；
3. 角平分线
4.高线 三角形的高 AD
5. 中线
6. 相等
7.；
8.互余 Rt△ Rt△ABC
9.直角
10.互补 等于 大于
11.360°.
12.大于；小于
13.稳定性 稳定性
二、基础练习
1.答案：D
解析：人字梯中间一般会设计一根“拉杆”,可以构造一个三角形,根据三角形具有稳定性可以增加使用梯子时的安全性,
故选：D.
2.答案：D
解析：A、是边上的高,不符合题意；
B、是边上的高,不符合题意；
C、是边上的高,不符合题意；
D、是边上的高,符合题意；
故选：D.
3.答案：B
解析：在中，，，
.
故选：B.
4.答案：C
解析：由三角形三边关系定理得：,
即,
由此可得,符合条件的只有选项C,
故选：C.
5.答案：D
解析：∵D、E分别是边、的中点,
∴,,
∴,,
∴,
故选：D.
6.答案：A
解析：设这个三角形为,且,
则,
∵,
∴,
∴,
∴为直角三角形,
故选：A.
7.答案：D
解析：，，
，
是的平分线，
，
.
故选：D.
8.答案：C
解析：∵是的中线,
,A说法正确,不符合题意；
是高,
,
,B说法正确,不符合题意；
是角平分线,
,而与不一定相等,C说法错误,符合题意；
,
,D说法正确,不符合题意；
故选：C.
9.答案：/140度
解析：∵,,
∴.
故答案为：.
10.答案：
解析：根据三角形的三边关系可得：,
即,
故答案为：.
11.答案：60°
解析：设一份是x°，则，，
则有，
.
则；
故答案是：60°.
12.答案：
解析：，是边上的高，
解得：，
是边上的中线，
.
故答案为：.
13.答案：
解析：∵,,
∴,
∵,
∴.
14.答案：
解析：∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得,
∵,,
∴,
∴.8.3用正多边形铺设地面 课前导学
知识填空
1.用相同的正多边形铺设地面：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个 时，就可以铺满地面.
2.在正多边形里，用相同正多边形铺满地面的只有 ，而其他的正多边形不可以．
3.用多种正多边形铺满地面与用相同的正多边形铺满地面的原理相同，即是否能铺满地面，主要是看几种正多边形在一个顶点处的几个内角的和是否等于 °.
思维拓展
1.列举几个两种正多边形铺满地面的常见类型.
2.列举几个三种正多边形铺满地面的常见类型.
基础练习
1.正三角形地砖广泛应用于园林景观设计中,如花坛边缘、露天步道等,还常与其他形状的正多边形地砖组合作为铺装材料.现有若干正三角形地砖,打算再购买另一种不同形状的正多边形地砖,与正三角形地砖进行密铺,则不应购买的地砖形状是( )
A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
2.用正三角形和正方形组合能够铺满地面,每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形(m、n均为正整数),则的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.用同一种正多边形地砖镶嵌地板,这种正多边形地砖不能是( )
A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形
4.能够铺满地面的正多边形组合是( )
A.正三角形和正五边形 B.正方形和正六边形
C.正方形和正五边形 D.正三角形和正方形
5.如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形.用n个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6.如图，如果只用一种若干个正多边形镶嵌整个平面，如图是由其拼成的无缝隙且不重叠的图形的一部分，这种正多边形的边数是_________________.
7.用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和_________个正六边形密铺而成.
答案以及解析
一、知识填空
1.周角
2.正三角形、正四边形、正六边形
3.360
二、思维拓展
1.正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正方形与正八边形等.
2.正三角形、正方形与正六边形，正方形、正六边形与正十二边形，正三角形、正方形与正十二边形等.
三、基础练习
1.答案：C
解析：A、正方形的每个内角是,,所以能密铺,故不符合题意;
B、正六边形每个内角是,,所以能密铺,故不符合题意;
C、正八边形每个内角是,与无论怎样也不能组成的角,所以不能密铺,故符合题意;
D、正十二边形每个内角是,,所以能密铺,故不符合题意.
故选:C.
2.答案：B
解析：正三角形和正方形的一个内角分别是,,
,且m,n为正整数,
,,.
故选:B.
3.答案：D
解析：A、等边三角形的每个内角是,能整除,能密铺;
B、正方形的每个内角是,4个能密铺;
C、正六边形的每个内角是,能整除,3个能密铺;
D、正八边形每个内角是,不能整除不能密铺.
故选:D.
4.答案：D
解析：A、正五边形和正三边形内角分别为、,不能构成,不符合题意；
B、正方形和正六边形的内角分别为,,不能构成,不符合题意；
C、正方形和正五边形的内角分别为,,不能构成,不符合题意；
D、正三角形和正方形的内角分别为,,,可以构成,符合题意；
故选D.
5.答案：C
解析：对于正五边形，每一个内角为，
两个正五边形拼成一个角，，
题中是由两个正五边形与一个正多边形的内角拼成一个周角，则拼接成的正多边形内角为，
拼成的正多边形的一个外角为，
，故选：C.
6.答案：6
解析：是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，
每个内角度数，
那么边数为：.
故答案为：6.
7.答案：2
解析：正三角形的每个内角为，
正六边形的每个内角为，
还需正多边形的每个内角为，
需要正六边形的个数为：.
故答案为：2.8.2多边形的内角和与外角和 课前导学
知识填空
1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 ．多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……其中， 是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做 边形．（）
2.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 ．如图中的线段 、 、 ．n多边形从一个顶点出发的对角线条数为 条（），它们将n边形分为 个三角形，凸多边形共有对角线 条（）．
3.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 ．
4.一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将n边形分为 个三角形，n边形的内角和等于180°× ．
多边形内角和公式：n边形内角和等于 .
5.多边形的外角和等于 ．
基础练习
1.若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线,则这个多边形是( )
A.六边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
2.已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为( )
A.10 B.9 C.8 D.6
3.已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为( )
A. B. C. D.
4.如果n边形的内角和等于,那么n边形的对角线有( )
A.6条 B.7条 C.9条 D.14条
5.若一个多边形的内角和与外角和之差是,则此多边形是( )边形.
A.6 B.7 C.8 D.9
6.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是______.
7.如图，是正五边形，延长、交于点F，则________°.
8.已知一个多边形的边数为n.
（1）若,求这个多边形的内角和.
（2）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多,求n的值.
答案以及解析
一、知识填空
1. 多边形 三角形 n
2.对角线 AD EB EC （n－3） （n－2）
3.正多边形
4.（n－3） （n－2） （n－2） （n－2）×180°
5. 360°
二、基础练习
1.答案：B
解析：设这个多边形的边数为n,根据题意得：
,
解得：,
即这个多边形是八边形,故B正确.
故选：B.
2.答案：A
解析：,
故选：A.
3.答案：B
解析：∵正多边形的一个外角为，
∴正多边形的边数为，
∴这个正多边形的内角和为，
故选：B.
4.答案：C
解析：根据题意,得,
解得,
∴n边形的对角线有条,
故选：C.
5.答案：C
解析：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°,多边形的外角和是360°,
∴这个多边形的内角和为,
设多边形的边数为n,
则,解得：,
即多边形的边数为8,
故选：C.
6.答案：8
解析：设边数为n,由题意得,
,
解得.
所以这个多边形的边数是8.
故答案为：8.
7.答案：36
解析：由题意得，、为正五边形的外角，
正五边形的外角和为，
，
.
故答案为：36.
8.答案：（1）
（2）12
解析：（1）多边形的内角和公式为,
,这个多边形的内角和;
（2）多边形的内角和公式为,四边形的外角和为,
由题意可得,解得.

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