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第五章　分式与分式方程
类型一 分式的有关概念
1.上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：，，，，，a＋.其中正确的个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.使分式无意义的x的值是( )
A.x＝ B.x＝－
C.x≠－ D.x≠
3.下列分式中，最简分式是( )
A. B.
C. D.
类型二 分式的性质
4.小明把分式中的x，y的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案( )
A.不变 B.扩大2倍
C.扩大4倍 D.缩小一半
5.，，的最简公分母是( )
A.(a2－4ab＋4b2)(a－2b)(a＋2b)
B.(a－2b)2(a＋2b)
C.(a－2b)2(a2－4b2)
D.(a－2b)2(a＋2b)2
类型三 分式的计算
6.[2023·洛阳]若＝2，则＝ .
7.[2024·海口二模]化简：＝ .
8.计算·÷的结果是 .
9.化简：·.
10.[2023春·长春期末]计算：
(1)－；
(2)＋－.
11.[2023秋·濮阳期末]已知a2－a－3＝0，求代数式÷的值.
12.[2023秋·赣州期末]先化简：(－)÷，再从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值.
类型四 分式方程
13.若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为( )
A.1 B.
C.1或 D.以上都不是
14.[鸡西中考]若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是( )
A.3 B.5
C.3或5 D.3或4
15.[2023·福州模拟]A，B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是( )
A.－＝30 B.－＝
C.－＝ D.＋＝30
16.解方程：
(1)＋＝1；
(2)＋1＝.
17.某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元.
(1)若商店用6 000元购进甲款篮球的数量是用2 400元购进乙款篮球的数量的2倍.求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？
(2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？
易错点 对分式方程无解与增根理解不透彻
18.对于关于x的分式方程－1＝，以下说法错误的是( )
A.分式方程的增根是x＝0或x＝3
B.若分式方程有增根，则m＝－
C.若分式方程无解，则m＝－或m＝－
D.分式方程的增根是x＝3第五章　分式与分式方程
类型一 分式的有关概念
1.上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：，，，，，a＋.其中正确的个数为( B )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.使分式无意义的x的值是( A )
A.x＝ B.x＝－
C.x≠－ D.x≠
3.下列分式中，最简分式是( C )
A. B.
C. D.
类型二 分式的性质
4.小明把分式中的x，y的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案( D )
A.不变 B.扩大2倍
C.扩大4倍 D.缩小一半
5.，，的最简公分母是( B )
A.(a2－4ab＋4b2)(a－2b)(a＋2b)
B.(a－2b)2(a＋2b)
C.(a－2b)2(a2－4b2)
D.(a－2b)2(a＋2b)2
类型三 分式的计算
6.[2023·洛阳]若＝2，则＝3.
7.[2024·海口二模]化简：＝2a＋4.
8.计算·÷的结果是－.
9.化简：·.
解：原式＝·＝.
10.[2023春·长春期末]计算：
(1)－；
(2)＋－.
解：(1)－
＝
＝
＝a＋b；
(2)＋－
＝＋＋
＝＋＋
＝
＝.
11.[2023秋·濮阳期末]已知a2－a－3＝0，求代数式÷的值.
解：÷
＝·
＝·
＝，
∵a2－a－3＝0，
∴a2＝a＋3，
∴原式＝＝1.
12.[2023秋·赣州期末]先化简：(－)÷，再从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值.
解：(－)÷
＝·
＝·
＝，
∵分式有意义，
∴x≠0，x－2≠0，x－4≠0，
∵0≤x≤4，
∴x＝1或x＝3，
∴当x＝1时，原式＝＝1；
当x＝3时，原式＝＝1.
类型四 分式方程
13.若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为( C )
A.1 B.
C.1或 D.以上都不是
解析：＋＝2a，
去分母，得x－3a＝2a(x－3)，
去括号，得x－3a＝2ax－6a，
移项，合并同类项，得(2a－1)x＝3a，
当2a－1＝0，即a＝时，此时有0＝，故原方程无解，
当2a－1≠0时，则x＝，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴x－3＝0，
∴＝3，
解得a＝1；
综上所述，a＝或a＝1.
14.[鸡西中考]若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是( D )
A.3 B.5
C.3或5 D.3或4
15.[2023·福州模拟]A，B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是( B )
A.－＝30 B.－＝
C.－＝ D.＋＝30
16.解方程：
(1)＋＝1；
(2)＋1＝.
解：(1)去分母，得x－5＝2x－5，
解得x＝0，
经检验，x＝0是分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝0；
(2) 去分母，得8＋x2－1＝x2＋4x＋3，
移项，合并同类项，得4x＝4，
系数化为1，得x＝1，
经检验x＝1是增根，所以原分式方程无解.
17.某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元.
(1)若商店用6 000元购进甲款篮球的数量是用2 400元购进乙款篮球的数量的2倍.求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？
(2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？
解：(1)设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为(x＋30)元，
根据题意，得＝×2，解得x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋30＝120＋30＝150，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
(2)设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球(2m－10)个，
根据题意，得2m－10≤m，解得m≤10，
设商店共获利w元，则w＝30m＋20(2m－10)＝70m－200，即w＝70m－200，
∵70>0，
∴w随m的增大而增大，且m≤10，
∴当m＝10时，w取得最大值，最大值为500.
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元.
易错点 对分式方程无解与增根理解不透彻
18.对于关于x的分式方程－1＝，以下说法错误的是( A )
A.分式方程的增根是x＝0或x＝3
B.若分式方程有增根，则m＝－
C.若分式方程无解，则m＝－或m＝－
D.分式方程的增根是x＝3

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