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第五章　分式与分式方程
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.下列各式(1－x)，，，＋x，.其中分式共有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.下列变形从左到右一定正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.[2023春·郏县期末]下列计算中，错误的是( )
A.＝ B.＝
C.＝－1 D.＝(c≠0)
4.[2024·雅安]已知＋＝1(a＋b≠0).则＝( )
A. B.1
C.2 D.3
5.[2023·连平县二模]分式方程＋＝0的解为( )
A.x＝ B.x＝
C.x＝－ D.x＝－
6.计算：＋a－2的结果为( )
A. B.
C. D.4
7.[2023春·东明县期末]若解关于x的分式方程＝4时，出现了增根，则m的值为( )
A.4 B.－4
C.2 D.－2
8.[2022·杭州]照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝＋(v≠f) 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝＋(v≠f)，
∴＝－，∴＝，∴u＝.
9.[2023·宁德模拟]为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天.求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是( )
A.－＝3 B.×1.5＝
C.－＝3 D.＝×1.5
10.[2024春·阜阳期中]绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为( )
A. B.
C. D.
11.[2023·枣庄二模]已知关于x的方程＝3解是正数，那么m的取值范围为( )
A.m>－6且m≠2 B.m<6
C.m>－6且m≠－4 D.m<6且m≠－2
12.[2024春·南通期末]设x>0，2x＋的最小值为m，使得2x＋取最小值的x值为n，则m－n＝( )
A.8 B.6
C.－2 D.3
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.如果分式有意义，那么x的取值范围是 .
14.[2024春·武汉期末]若分式的值为零，则x的值是 .
15.[2023·锦江区模拟]如果a2－2a－1＝0，那么代数式(－a)·＝ .
16.[2024·北京模拟]方程－＝0的解为 .
17. [2023春·泰兴期末]为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵.由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的 倍，结果提前4天完成任务.设原计划每天种树x棵，则可列方程为 .
18.[2022·达州]人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设a＝，b＝，记S1＝＋，S2＝＋，…，S100＝＋，则S1＋S2＋…＋S100＝ _ .
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)[2024春·滨海新区期末]计算：
(1)＋；
(2)÷(m＋2)·.
20.(6分)[2023秋·武汉期末]解方程：
(1)＝；
(2)－＝1.
21.(8分)[2024春·浙江期末]若a>0，M＝，N＝.
(1)当a＝4时，计算M，N的值；
(2)猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想.
22.(8分)[2022·贵港]为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
23. (8分)[2023·牡丹江模拟]“五一”劳动节期间，某公司计划购买A，B两种型号的保温杯发给公司员工，已知每个A型保温杯的售价比B型保温杯的售价少10元，用1 200元购进A型保温杯的个数是用1 000元购进B型保温杯个数的.请解答下列问题：
(1)A，B两种型号的保温杯每个售价各是多少元？
(2)若该公司购进B型保温杯比A型保温杯的个数少9个，且A型保温杯不少于38个，购进A，B两种保温杯的总费用不超过3 150元，请你求出该公司有哪几种购买方案；
(3)为奖励公司的模范工作者，公司准备购买甲、乙两种奖品，所花费的金额与(2)中最少的费用相同，已知甲种奖品每个270元，乙种奖品每个240元，直接写出甲、乙两种奖品的个数.
24.(10分)[2023春·仪征期末]定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A－B＝AB，则称分式B是分式A的“友好分式”.
如与，因为－＝，·＝，所以是的“友好分式”.
(1)分式 分式的“友好分式”；(填“是”或“不是”)
(2)小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法；
设的“友好分式”为N，则－N＝·N，
∴(＋1)N＝，∴N＝.
请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”；
(3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”： ；
②若是的“友好分式”，则m＋n的值为 .第五章　分式与分式方程
一、选择题(共12小题，每题3分，共36分)
1.下列各式(1－x)，，，＋x，.其中分式共有( A )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.下列变形从左到右一定正确的是( C )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.[2023春·郏县期末]下列计算中，错误的是( A )
A.＝ B.＝
C.＝－1 D.＝(c≠0)
4.[2024·雅安]已知＋＝1(a＋b≠0).则＝( C )
A. B.1
C.2 D.3
5.[2023·连平县二模]分式方程＋＝0的解为( B )
A.x＝ B.x＝
C.x＝－ D.x＝－
6.计算：＋a－2的结果为( A )
A. B.
C. D.4
7.[2023春·东明县期末]若解关于x的分式方程＝4时，出现了增根，则m的值为( A )
A.4 B.－4
C.2 D.－2
8.[2022·杭州]照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝＋(v≠f) 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝( C )
A. B.
C. D.
解析：∵＝＋(v≠f)，
∴＝－，∴＝，∴u＝.
9.[2023·宁德模拟]为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天.求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是( A )
A.－＝3 B.×1.5＝
C.－＝3 D.＝×1.5
10.[2024春·阜阳期中]绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为( D )
A. B.
C. D.
11.[2023·枣庄二模]已知关于x的方程＝3解是正数，那么m的取值范围为( C )
A.m>－6且m≠2 B.m<6
C.m>－6且m≠－4 D.m<6且m≠－2
12.[2024春·南通期末]设x>0，2x＋的最小值为m，使得2x＋取最小值的x值为n，则m－n＝( D )
A.8 B.6
C.－2 D.3
二、填空题(共6小题，每题3分，共18分)
13.如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠－3.
14.[2024春·武汉期末]若分式的值为零，则x的值是－2.
15.[2023·锦江区模拟]如果a2－2a－1＝0，那么代数式(－a)·＝－1.
16.[2024·北京模拟]方程－＝0的解为x＝3.
17. [2023春·泰兴期末]为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵.由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的 倍，结果提前4天完成任务.设原计划每天种树x棵，则可列方程为－＝4.
18.[2022·达州]人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设a＝，b＝，记S1＝＋，S2＝＋，…，S100＝＋，则S1＋S2＋…＋S100＝5_050.
三、解答题(共6小题，共46分)
19.(6分)[2024春·滨海新区期末]计算：
(1)＋；
(2)÷(m＋2)·.
解：(1)＋
＝＋
＝＋
＝；
(2)÷(m＋2)·
＝··
＝.
20.(6分)[2023秋·武汉期末]解方程：
(1)＝；
(2)－＝1.
解：(1)去分母，得4(x＋1)＝3(x－6)，
去括号，得4x＋4＝3x－18，
移项，得4x－3x＝－18－4，
解得x＝－22，
经检验，x＝－22是原方程的解；
(2)去分母，得(x＋1)2－4＝x2－1，
去括号，得x2＋2x＋1－4＝x2－1，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，原方程无解.
21.(8分)[2024春·浙江期末]若a>0，M＝，N＝.
(1)当a＝4时，计算M，N的值；
(2)猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想.
解：(1)当a＝4时，M＝＝，
N＝＝；
(2)猜想：M证明：N－M＝－
＝
＝，
∵a>0，
∴(a＋2)(a＋1)>0，
∴>0，
即M22.(8分)[2022·贵港]为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
解：(1)设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x＋23)元.
根据题意，得＝，
解得x＝7，
经检验，x＝7是所列方程的解，且满足实际意义，
∴x＋23＝30.
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元；
(2)设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条.
根据题意，得7×3m＋30m＝510，
解得m＝10，∴3m＝30.
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个.
23. (8分)[2023·牡丹江模拟]“五一”劳动节期间，某公司计划购买A，B两种型号的保温杯发给公司员工，已知每个A型保温杯的售价比B型保温杯的售价少10元，用1 200元购进A型保温杯的个数是用1 000元购进B型保温杯个数的.请解答下列问题：
(1)A，B两种型号的保温杯每个售价各是多少元？
(2)若该公司购进B型保温杯比A型保温杯的个数少9个，且A型保温杯不少于38个，购进A，B两种保温杯的总费用不超过3 150元，请你求出该公司有哪几种购买方案；
(3)为奖励公司的模范工作者，公司准备购买甲、乙两种奖品，所花费的金额与(2)中最少的费用相同，已知甲种奖品每个270元，乙种奖品每个240元，直接写出甲、乙两种奖品的个数.
解：(1)设每个A型保温杯的售价是x元，则每个B型保温杯的售价是(x＋10)元，
根据题意，得＝×，
解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋10＝40＋10＝50.
答：每个A型保温杯的售价是40元，每个B型保温杯的售价是50元；
(2)设购进y个A型保温杯，则购进(y－9)个B型保温杯，
根据题意，得
解得38≤y≤40，
又∵y为正整数，
∴y可以为38，39，40，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进38个A型保温杯，29个B型保温杯；
方案2：购进39个A型保温杯，30个B型保温杯；
方案3：购进40个A型保温杯，31个B型保温杯；
(3)由(2)可知选择购买方案1所需费用最少，为40×38＋50×29＝2 970(元).
设购买m个甲种奖品，n个乙种奖品，
根据题意，得270m＋240n＝2 970，
∴m＝11－n，
又∵m，n均为正整数，
∴
∴该公司购买3个甲种奖品，9个乙种奖品.
24.(10分)[2023春·仪征期末]定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A－B＝AB，则称分式B是分式A的“友好分式”.
如与，因为－＝，·＝，所以是的“友好分式”.
(1)分式________分式的“友好分式”；(填“是”或“不是”)
(2)小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法；
设的“友好分式”为N，则－N＝·N，
∴(＋1)N＝，∴N＝.
请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”；
(3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：________；
②若是的“友好分式”，则m＋n的值为________.
解：(1)∵－
＝－
＝
＝，
·＝，
∴－＝·，
即分式是分式的“友好分式”，
故答案为：是；
(2)设的“友好分式”为N，
则－N＝·N，
∴(＋1)N＝，
∴N＝.
∴的“友好分式”为；
(3)规律：“友好分式”的分母是另一个分式的分子与分母的和，两个“友好分式”的分子一样；
①的“友好分式”是；
②根据题意，得
变形为
把①代入②，得3(m＋n)＝3－1，
∴m＋n＝.
故答案为：①；②.

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